Criptografia: una breve historia, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

¡Descarga Criptografia: una breve historia y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

ABSTRACT

Índe

• INTRODUCCIÓ............................................................................................................ x
• IMATGE GENERAL DE LA CRIPTOGRAFIA....................................................................
  • Els mètodes criptogràfics....................................................................................................
  • El principi de Kerchoff.........................................................................................................
• EVOLUCIÓ HISTÒRICA DE LA CRIPTOGRAFIA..............................................................
  • L’edat antiga:......................................................................................................................
    • Esteganografia.....................................................................................................................
    • Criptografia per transposició...............................................................................................
    • Criptografia per substitució.................................................................................................
  • L’edat mitjana:..................................................................................................................
  • L’edat moderna:................................................................................................................
    • Leon Battista Alberti..........................................................................................................
    • El xifrat de Vigenère..........................................................................................................
  • La Primera Guerra Mundial...............................................................................................
    • El telegrama Zimmermann................................................................................................
    • La xifra ADVFGX.................................................................................................................
  • La segona guerra mundial.................................................................................................
    • El seu desxiframent...........................................................................................................
  • L’era dels computadors i de la clau pública.......................................................................
    • La clau pública...................................................................................................................
• PART PRÀCTICA........................................................................................................
• ANNEXOS.................................................................................................................
  • Aritmètica modular...........................................................................................................

a criminals que volen robar informació sensible, que important. Llavors per protegir-nos utilitzem la criptografia. Les aplicacions, els comptes bancaris, les nostres comunicacions estan encriptades, avui en dia no hi ha res que no ho estigui.

IMATGE GENERAL DE LA CRIPTOGRAFIA

La criptografia ve d’una disciplina anomenada criptologia. Aquesta és la ciència que estudia les diverses formes d’escriptura secreta i és subdivideix en diverses seccions. Una d’elles es la ja anomenada criptografia. La paraula prové del grec, on criptos significa ocult o amagat, i grafos escriptura. A partir d’aquí la podem definir com l’apartat de la criptologia que estudia l’escriptura oculta. L’utilitzarem quan volem que un missatge només sigui llegit per una persona indicada. Per això amagarem el vertader significat del que volem enviar encriptant-ho, mitjançant claus o xifres. Quan arribi al destinatari, ell haurà de fer l’operació inversa: desencriptar. El missatge que no està encriptat s’anomena text pla i el que està encriptat text xifrat o criptograma. Normalment quan ens comuniquem per escrit no tenim la pressió de que algú ens espií. Però les nacions, els comerciants si que poden arribar a tenir por. A la competència els hi seria molt interessant descobrir els plans futurs que tenen. Una bona forma de saber-ho es interceptant el que han enviat, per exemple, als seus aliats. Llavors intentaran llegir el que està escrit, però es trobaran que no entenen res, ja que està codificat. Per revertir la situació els enemics contractaran a criptoanalistes, persones que s’especialitzen en desxifrar el criptograma sense conèixer la clau. Aquesta és una altra subdisciplina i s’anomena criptoanàlisis. Acabem de veure dues subdivisions de la criptologia, però encara ens queden dues més. L’esteganografia en grec és steganos , encobert i grafos, escriptura. Es a dir, consisteix en amagar el missatge en si en un suport determinat anomenat portador, de tal forma que es vegi que no hi ha res. Això es pot fer, per exemple, utilitzant la tinta invisible. Com que sempre hi ha la possibilitat de trobar el missatge també se l’encripta. El contrari de l’esteganografia és l’estegoanàlisi, subdisciplina que consisteix en trobar els missatges ocults amb tècniques esteganogràfiques.

Els mètodes criptogràfics

En la criptografia entenem que es pot encriptar un missatge de dos formes diferents. Primerament hi ha els sistemes de transposició. Aquest tipus de sistema consisteix en reordenar les lletres d’una paraula, frase... convertint-se

EVOLUCIÓ HISTÒRICA DE LA CRIPTOGRAFIA

L’ús de la criptografia va començar a una època semblant a la de la escriptura. A reis, diplomàtics i generals els hi interessava que es pugui enviar informació de forma segura i secreta. Amb tots els anys que han passat, aquesta disciplina ha anat evolucionant. És el que explicarem en el capítol, aprofundint en els mètodes criptogràfics més rellevants de la seva història.

L’edat antiga:

Esteganografia Encara que aquesta disciplina no consisteix a codificar missatges és interessant estudiar-la, per la relació que té amb la criptografia. De fet, van aparèixer en temps semblants. Va ser sobretot utilitzada pels grecs de l’antiguitat com a eina d’índole militar. Herodòt, el pare de la historiografia, va fer denotar dues tècniques esteganogràfiques que van estar presents en les guerres contra els perses. Un d’aquests moments va estar explicat en el llibre VII. Demarato, va ser un rei espartà expulsat de les seves terres. Es va exiliar en una ciutat de Pèrsia, i es va adonar que hi havia una gran concentració de soldats que es preparaven per envair un país. Intuint que volien conquerir Grècia, els va voler avisar. Per fer-ho havia d’enviar un missatge sense que els soldats de les duanes s’adonessin del contingut. Llavors va agafar un suport per escriure i hi va posar les intencions del rei. Després, mitjançant la cera va recobrir tota la superfície, amagant el text. Va poder arribar sense problemes a les autoritats gregues i es van poder preparar a temps per rebre els enemics. Gràcies a això els invasors van perdre l’avantatge de sorpresa i van ser humiliades en tan sols un dia. L’altre es troba en el Llibre III anomenat Història el Tirà de Milet. Consistia a talla el cabell d’una persona i escriure un missatge. Quan el cabell va créixer totalment, el rei va ordenar que transmeti la informació que tenia al campament d’Aristágoras. Arribant a destinació els va ensenyar el missatge que tenia, avisant-los de la treta.

Criptografia per transposició La rivalitat entre Grècia i Pèrsia va fomentar el primer sistema criptogràfic, inventat pels espartans. El seu nom és escítala espartana i funciona de la següent manera: es donen dues barres de la mateixa amplada, seguidament se l’envolta una cinta i s’escriu a damunt de forma longitudinal, de tal forma que hi hagi una lletra per costat. Quan s’acaba el procés és desenrotlla la cinta i se l’envia al destinatari (en aquest moment les lletres estan desordenades). Ell només haurà de tornar a enrotllar-la per desxifrar el missatge. La seguretat del sistema consisteix en no conèixer la mida i el grossor de l’escítala. Criptografia per substitució El 150 aC l’escriptor grec, Polibio, va inventar un sistema de senyalització basada en torxes. Posteriorment s’utilitzaria com un sistema criptogràfic anomenat quadre de Polibio. Per posar-lo en pràctica creem una quadrícula 5*5. En la primera columna a l’esquerra i a la de dalt enumerem les caselles de l’1 al 5. Al resta, començant des de la primera casella de l’esquerra de la penúltima fila, hi posem les lletres de l’abecedari en ordre.

Ex: i per desencriptar-lo: Dk (p) = (p-k) mod n Durant anys la criptografia per substitució es considerava indesxifrable. Això ha provocat un estancament en la criptografia en el món occidental.

L’edat mitjana:

Al contrari del seu veí el món oriental estaven, més concretament l’aràbic, en plena esplendor. La criptologia no era una excepció, ja que és en aquesta època que comencen a trencar els sistemes criptogràfics. És el naixement del criptoanàlisi i de la seva primera tècnica, l’anàlisi de freqüència. Es va poder inventar gràcies a la religió, ja que molts dels seus erudits intentaven datar manuscrits religiosos segons en quin percentatge apareixien certs paraules de diferents períodes. Ha partir d’aquí l’erudit Abu Yusuf al-Kindi va descriure l’anàlisi de freqüència en el llibre del segle IX, titulat Sobre el desciframiento de mensajes criptográficos. La part més important de la seva obra queda retratada en els dos paràgrafs exposats seguidament: “Una manera de resolver un mensaje cifrado, si sabemos en qué lengua está escrito, es encontrar un texto claro diferente escrito en la misma lengua y que sea lo suficientemente largo para llenar alrededor de una hoja, y luego contar cuántas veces aparece cada letra. A la letra que aparece con más frecuencia la llamamos "primera", a la siguiente en frecuencia la llamamos "segunda", a la siguiente "tercera", y así sucesivamente, hasta que hayamos cubierto todas las letras que aparecen en la muestra de texto claro. Luego observamos el texto cifrado que queremos resolver y clasificamos sus símbolos de la misma manera. Encontramos que el símbolo que aparece con más frecuencia y lo sustituimos con la forma de la letra "primera" de la muestra de texto claro, el siguiente símbolo más corriente

lo sustituimos por la forma de la letra "segunda", y el siguiente en frecuencia lo cambiamos por la forma de la letra "tercera", y así sucesivamente, hasta que hayamos cubierto todos los símbolos del criptograma que queremos resolver.” Per entendre-ho agafarem la llengua espanyola com a exemple. Primer de tot hem de saber amb quina freqüència apareixen les paraules en un text. Amb la gràfica podem suposar que si hi ha un caràcter que és repeteix molt pot ser la lletra e o la a. Hem de tindre en compte que quan el text sigui menys extens més complicat serà desxifrar-lo. Igualment, si ho seguim intentant ens adonarem de certs patrons. Les vocals tenen, mes o menys, un 50% de possibilitats d’aparició; les consonants més han aparegut són la s, la n, la r, la l i la d, i les menys freqüents la j, la f, la z, la x, la k i la w; finalment, les paraules que surten més són de, en la, es, el, que i con. Si seguim aquestes regles ens trobrarem amb paraules incompletes on nomes necessitarem trobar una o dos lletres.

L’edat moderna:

Podem començar a explicar aquesta època mitjançant una anècdota. Com a protagonista tindrem a Maria, reina d’Escòcia, però que també volia ser d’Anglaterra. El problema que tenia per a poder accedir al tro, era Isabel, reina

determinada, per exemple la f. Després, en el disc exterior, escolliran un altre lletra i l’escriuran en majúscules per avisar al receptor. Seguidament faran coincidir les dues lletres girant el disc. A partir d’aquí només hauran de transcriure les lletres corresponent. Després d’haver-ho fet amb dues o més paraules, tornaran a escollir un altre lletra majúscula repetint el procés. Com que hi han diversos alfabets de substitució podem dir que és un sistema polialfabètic. El xifrat de Vigenère El xifrat va ser creat al 1533 per Giovan Battista Belasso però va ser erròniament atribuït a Louis de Vigenere. És un sistema polialfabètic i substitut del xifrat de Cèsar, ja que en lloc d’haver-hi un abecedari n’hi ha dos.

La seva utilització és bastant senzilla i es pot entendre amb un ràpid exemple. Agafem, per exemple, la paraula POL com a text pla i a continuació l’encriptarem: La P amb la línia 4 (és a dir, anirem a la línia 4 i columna P per veure quina lletra hi ha) = S La O amb la línia 5 = S La L amb la línia 7 = R El resultat seria SSR. Per a que sigui més fàcil transmetre com hem encriptat el missatge a l’altre persona, no li direm totes les línies que hem fet servir, sinó que utilitzarem una clau secreta. Aquesta no ha de coincidir necessàriament en nombre de paraules amb el text. Missatge per encriptar

E L P O L

Clau L^ L^ E^ T^ L Missatge encriptat

P W T H W

Al segle XX un altre descobriment sorgeix i reemplaça l’anterior: la radio. Encara que tenia una gran debilitat. Com que funcionen amb ones electromagnètiques gairebé tothom podien interceptar les comunicacions. Un altre cop la criptografia es feia imprescindible i sobretot quan les guerres mundials van esclatar. A pesar de la importància d‘encriptar, ja no tenien algoritmes que siguin segurs. Tenien que inventar d’altres. Si bé en van sorgir de nous, com la xifra Playfair, tots van ser grans fracassos i en la Gran Guerra el problema és va fer ressentir.

La Primera Guerra Mundial

Va ser un conflicte que va comportar dos grans fracassos criptogràfics a Alemanya: El telegrama Zimmermann La història aquí present va començar quan Alemanya va enfonsar mitjançant el seu submarí el Vaixell la Lusitania al 1915. Va ser una massacre, i dintre dels morts, hi havien 124 persones de nacionalitat estatunidenca. Davant de l’acte el govern dels Estats Units va reaccionar amb un comunicat. Deia que si tornaven a enfonsar un vaixell civil comportaria la immediata entrada del país a la guerra. També demanaven que els submarins pugin a la superfície abans de qualsevol atac, per a que s’evitessin nous accident semblants. Això suposava una clara desavantatge pels U-Boat alemanys. Al 1916 Arthur Zimmermann esdevingué el nou ministre d’assumptes exteriors d’Alemanya. Un any més tard, ell envià un telegrama xifrat a la ambaixada que tenien a Washington. L’ambaixador, Johann von Bernstorff, havia de fer arribar al seu homòleg en Mèxic, que començarien una guerra submarina sense restriccions. En cas que Estats Units entri en la guerra, Alemanya faria una aliança amb Mèxic. Gran Bretanya, havent interceptat el missatge va aconseguir desxifrar el seu contingut. Veient el que deia, van decidir comunicar-ho al govern nord-americà. Això va fer que l’USA entri en el conflicte en el bàndol dels aliats.

La xifra ADVFGX Va ser inventada pels alemanys. Al 1918 va ser desxifrada pel criptoanalista francès George Painvin. Podent desencriptar els missatges alemanys es van entera de que volien atacar París. Coneixent aquesta informació, els francesos van tindre temps per preparar-se i per evitar de perdre la seva capital. Aquesta xifra és interessant, perquè fa servir el mètode de substitució i el de transposició. Per utilitzar-la necessitarem d’una taula 6 X 6. En la fila superior i en la primera columna escriurem ADFVGX, entenent que posarem una lletra per quadrícula. Després, les caselles restants, les haurem d’omplir escrivint-hi l’abecedari de manera aleatòria i amb símbols, números.... Important, si volem desxifrar correctament, la disposició de les lletres ha de ser la mateixa per a tothom. Quan hem acabat, encriptarem la paraula MOBIL utilitzant la substitució. La M (hem de trobar on està col·locada la M, i escriure en quina columna i fila està. El resultat serà l’encriptació de la lletra.) = XA La paraula encriptada seria: XA AX DA AG XF A D F V G X A 1 7 6 8 I O D B Y N R 9 > F T A < E G P V D S Q J Z + G C K X 3 F H X M U L V 2 4 Ara haurem de transposar el resultat. Per això haurem d’inventar una clau: COTXE, i tornarem a crear una altra graella. La clau s’escriurà en la primera fila i el missatge encriptat el col·locarem de fila en fila.

persones. Una per fer-la funcionar i una altra per escriure i enviar els resultats al destinatari.

• Els rotors o modificadors: normalment hi havia tres i per cada rotor estaven les 26 lletres de l’abecedari. Cada vegada que escrivíem una lletra el rotor avançava un posició. Quan hagi fet les 26 rotacions serà el torn del segon. N’haurà de fer 26 més. La seva funció consisteix en xifra la lletra. Per fer-ho està connectat amb el teclat. Un ràpid recorregut de com aniria el circuit seria aquest. Nosaltres polsem una lletra del teclat. Això fa activar un corrent elèctric que va cap a les unitat modificadores. Quan arribà, passa pels tres rotors i el reflector (part del rotor) redirigeix la senyal un altre cop pels rotors però en sentit oposat. Bàsicament la

lletra haurà canviat set cops. Després d’això la senyal anirà al panell de llum per il·luminar la lletra resultant. A més de tot això hi havia un panell endollabe. Aquest afectava a l’hora de teclejar ja que podies intercanviat sis lletres amb unes altres sis. Ara mostrem una imatge simplificada del que realment seria. Amb els rotors quedaria d’aquesta altra forma. Ara ens podem preguntar perquè va ser tan complicat desxifrar-la. Donc la resposta es bastant senzilla i ho podem calcular:

• 3 rotors amb 26 lletres: 26 x 26 x 26 = 17.576 combinacions.
• Els tres rotors es poden posicionar en ordres diferents: 1-2-3, 3-2-1, 2-3- 1, 1-3-2, 2-1-3, 3-1-2. O sigui hi ha sis posicions possibles.

N!

( N − 2 n )! · n!· 2 n per saber quantes claus més ens aporta el panell endollable utilitzarem l’ecuació ja escrita. La N = 26 i la n = 6 el que dona com a resultat 100.391.791.500 combinacions. Si multipliquem els tres números resultants tindrem 6 · 17.576 · 100.391.791.500 = 10.586.916.764.424.000 claus.