cuadernillo ejercicios estadística, Ejercicios de Estadística

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Cuadernillo de

Ejercicios de

Estadística Teórica

Doble Grado en Derecho-ADE. Curso 2017/

Departamento de Economía Aplicada

UDI de Estadística, Departamento de Economía Aplicada.

Tema 1

Estadística Teórica

Introducción a la Probabilidad

1.- En una sala multicine funcionan simultáneamente dos salas de proyección A y B.

Representamos por SA el suceso de que en una determinada sesión la sala A se llene antes de empezar la proyección y por SB el suceso de que en la misma sesión se llene la sala B antes del

comienzo. Sabemos que P(SA)=0,7; P(SB)=0,5 y P(SA∩SB)=0,45.

Calcule:

a) Probabilidad de que al menos una sala se llene. Sol. 0, b) Probabilidad de que la sala A se llene y la B no se llene. Sol. 0, c) Probabilidad de que una sala se llene y la otra no. Sol. 0, d) Probabilidad de que ninguna de las dos se llene. Sol. 0, e) Probabilidad de que al menos una de las dos no se llene. Sol 0, f) Probabilidad de que se llene B, supuesto que ya se ha llenado A. Sol. 0, g) ¿Son incompatibles SA y SB? Razona la respuesta. Sol No h) ¿Son independientes SA y SB? Razone su respuesta. Sol. No

2.- Se ha realizado un estudio a 9.200 clientes de una tienda de telefonía móvil sobre sus

preferencias en las marcas de los terminales móviles para la próxima renovación de sus smartphones. Los resultados se resumen en la siguiente tabla: (cambiar opciones por redes

sociales)

Hombre Mujer

Huawei 1.739 1.

Samsung 1.542 889

BQ 683 483

Iphone 576 383

Otros 795 912

Calcule:

• Probabilidad de que se prefiera Huawei Sol. 0,
• Probabilidad de que entre los hombres se prefiera BQ Sol. 0,
• Probabilidad de que sea una mujer y prefiera Huawei Sol. 0,
• Analiza si son independiente del sexo las preferencias por sistemas operativos. Sol. No

3.- Se sabe que un 1% de deportistas de alto nivel desarrolla una lesión importante en algún

momento de su carrera deportiva. Un equipo de doctores deportivos está desarrollando un test de esfuerzo para deportistas, obteniendo como resultado que el 80% de los deportistas que desarrollan una lesión han dado positivo en el test, mientras que un 9,6% de deportistas que no

tienen ninguna lesión también han dado positivo. Para valorar la fiabilidad del test, calcule la

probabilidad de que, habiendo dado positivo en el test, el deportista tenga una lesión. Sol. 7,76%

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Tema 3

Estadística Teórica

Modelos de Probabilidad: variables discretas y continuas

1.- Un vendedor (A) de enciclopedias sabe, por su experiencia, que la probabilidad de que le

compre un cliente al que visita es de un 15%. Otro vendedor (B), consigue que le compren uno de cada diez clientes que visita (se supone que las ventas son independientes).

a) Si un día cualquiera, el vendedor A visita a 5 clientes, y el vendedor B visita a 7. ¿Cuál es la probabilidad de que el vendedor A venda, al menos, una enciclopedia? Sol. 0, b) Cuál es la probabilidad de que en el día descrito en el apartado a, el número de enciclopedias vendidas entre los dos vendedores sea una. Sol. 0,

2.- El porcentaje de pastillas defectuosas de cierto medicamento detectado por una máquina de control de calidad es del 1%. Se pide:

a) Si las pastillas se colocan en tubos de 20 ¿cuál es la probabilidad de que un tubo contenga al menos dos pastillas defectuosas? Sol. 0, b) Si los tubos son empaquetados en cajas de 25 unidades ¿Cuál es la probabilidad de que una caja contenga 20 tubos sin pastillas defectuosas? Sol. 0,

3.- En una centralita se recibe un promedio de 5 llamadas entre las 9 y las 10 horas en días laborables, recibiéndolas al azar. Encuentre la probabilidad:

a) De que se reciba una o más llamadas entre las 9 y las 10 en un día determinado. Sol. 0, b) De que se reciban exactamente dos llamadas. Sol. 0, c) De que durante una semana de 5 días haya exactamente dos días en que no se reciban llamadas durante ese tiempo. Sol. 0,

4.- Si Z es una variable aleatoria que se distribuye como una N (0;1), calcular:

a) P (Z>1,45) Sol. 0, b) P (0,68<Z<1,94) Sol. 0, c) P (Z>-1,53) Sol. 0, d) P (0<Z<2) Sol. 0, e) P (-3,2<Z<-0,30) Sol. 0, f) P (-1,96<Z<0,98) Sol. 0, g) P (-0,48<Z<0,48) Sol. 0,

5.- Si X es una variable aleatoria que se distribuye como una Normal con media 10 y desviación

típica 3, calcular:

a) P (X>12) Sol. 0, b) P (8<X<11) Sol. 0, c) P (7<X<13) Sol. 0, d) P (X>9) Sol. 0,

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6.- Si Z se distribuye como una N (0;1), obtenga el valor de “a”, a partir de la probabilidad dada:

a) P (Z<a) = 0,1515 Sol. a=-1, b) P (Z>a ) = 0,2358 Sol. a=0, c) P (Z<a) = 0,90 Sol a=1, d) P (Z<a ) = 0,78 Sol. a=0,

7.- Sabiendo que X se distribuye como una N (25;10), obtenga el valor de “ a” a partir de las probabilidades dadas:

a) P (X>a) = 0,27 Sol. a=31, b) P (X<a) = 0,99 Sol. a=48,

8.- Las calificaciones de la asignatura Estadística Teórica (entre 0 y 10) se distribuyen para un grupo como una normal de media 5,5 y desviación típica 3. Si el/la profesor/a decidiese aprobar

un 50% de personas,

a) ¿A partir de qué nota debería considerar como aprobado? Sol. 5, b) ¿Y si sólo decidiese aprobar un 20%? Sol. 8,

9.- Para seleccionar entre 2.000 aspirantes que solicitan una determinada beca de estudio en la

Universidad se sugieren los siguientes criterios alternativos:

a) Que su calificación en la prueba de lengua sea al menos 7. Sol. 0, b) Que en las dos asignaturas de lengua e inglés sea al menos 7. Sol. 0, c) Que por lo menos en una de esas dos asignaturas sea un 7 ó más. Sol. 0, d) Que la media de la calificación de lengua, matemática e inglés sea al menos un siete. Sol. 0, Sabiendo que la calificación de los alumnos en lengua se distribuyen N(5,5; 2), las de inglés N(6;

1. y las de matemáticas N(3,5; 2,5) y suponiendo que las variables sean independientes se pide:

2. Ordene los criterios de más a menos restrictivos, de acuerdo con las probabilidades. b>d>a>c

3. Si como máximo sólo pueden concederse 500 becas ¿cuáles de estos criterios pueden tenerse en cuenta? el a, b,d, si, el c no.

10.- Sea X una variable aleatoria distribuida como una χ^2 con 18 grados de libertad. Calcule:

a) P (X>7,015) Sol. 0, b) P (X<10,86) Sol. 0, c) P (9,39<X<28,86) Sol. 0, d) P (X>a) = 0,10 Sola= e) P (X<a) = 0,05 Sol. a=9,

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Tema 4

Estadística Teórica

Introducción a la Inferencia Estadística

1. La empresa Grano Sol vende galletas ecológicas en paquetes de 60 unidades. Los dueños saben que el peso de cada galleta es una variable aleatoria que tienen una media de 71 gr. y una dispersión, medida a través de la desviación típica, de 10 gr.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 60 galletas escogidas aleatoriamente, el peso medio sea superior a 70 gramos? Sol. 0, b) ¿Se podría resolver el problema de la misma forma si los paquetes son de 5 unidades? Justifique la respuesta. Sol. TCL

2. La empresa Grano Luna también vende galletas en paquetes de 60 unidades. Los dueños saben que el peso de cada galleta es una variable aleatoria que tienen una media de 71 gr y se desconoce la varianza poblacional.

a) ¿Qué información cree que necesitaría para calcular la probabilidad de que el peso medio de las galletas sea superior a 70 gramos? Sol. Varianza muestral. b) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 60 galletas escogidas aleatoriamente, el peso medio sea superior a 70 gramos?. Sol. 0,

3. Se sabe por los datos censales que la variabilidad de la altura de alumnos de una clase medida a través de la varianza es de 15,3. No obstante, para estudiar la variabilidad en el muestreo de la varianza muestral se decide tomar una m.a.s. de 15 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 15? Nota: Suponga que la estatura es una variable aleatoria normalmente distribuida. Sol. Con las tablas estará entre 0,5 y 0,25, usando un programa sería redondeando 0,4. 4. Se desea analizar las diferencias de calificaciones entre dos grupos de alumnos. Unos proceden del grupo 22 y otros del grupo 23. Para estudiar la distribución en el muestreo de la diferencia de medias se toman m.a.s. independientes de ambas poblaciones obteniéndose la siguiente tabla:

Grupo 22 Grupo 23 Tamaño de la población 200 150 Tamaño de la muestra 100 75 Media de la población 4,10 5, Media de la muestra 4,2153 5, Desviación típica de la población 1,55 1, Desviación típica de la muestra Cuasidesviación Tipica de muestra

¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de medias muestrales entre el grupo 22 y el grupo 23 sea mayor que uno? Sol: prácticamente cero.

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5. Un concesionario vende dos tipos de vehículos, unos de gama alta y otros de gama media. Las ventas de coches de gama alta suponen el 30% del total de coches vendidos. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los últimos vehículos vendidos, se elijan 100 al azar y resulte que más del 35% sean de gama alta? Sol. 0, 6. Según los resultados de un estudio exhaustivo de la población un 80% de las mujeres entrevistadas afirman utilizar algún producto cosmético todos los días, mientras que en el caso de los hombres este porcentaje en la actualidad asciende 55%. Una pequeña firma de cosmética se plantea sacar al mercado una crema hidratante de uso específico para hombres, pero antes de crear esa nueva línea de negocio, decide realizar su propia encuesta sobre una pequeña muestra aleatoria: selecciona a 50 mujeres y a 60 hombres y les pregunta sobre sus hábitos cosméticos. Calcule la probabilidad de que la diferencia entre la proporción de mujeres que utiliza cosméticos respecto a la proporción de hombres que los utiliza sea inferior al 20%. Sol. 0,

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Tema 6

Estadística Teórica

Estimación por intervalos

1. El peso (en gramos) de las cajas de cereales de una determinada marca sigue una distribución N (μ; 5). Se han tomado los pesos de 16 cajas seleccionadas aleatoriamente, y éstos han sido:

506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509 y 496.

a) Obtenga los intervalos de confianza del 90%, 95% y 99% para la media poblacional. Sol (501,70; 505,81) ; (501,30; 506,20); (500,53; 506,97) b) Determine cuál sería el tamaño muestral necesario para conseguir, con un 95% de confianza, un intervalo de longitud igual a 2 gramos. Sol n= c) Suponiendo ahora que la desviación típica poblacional es desconocida, calcule los intervalos de confianza para la media al 90%, 95% y 99%. Sol. (501,03; 506,47); (500,45; 507,05); (499,18; 508,32)

2. La afluencia de visitantes al parque natural de Monfragüe durante un mes, medida a través de una muestra aleatoria durante 10 días elegidos aleatoriamente, ha resultado ser la siguiente:

682, 553, 555, 666, 657, 649, 522, 568, 700, 552

Suponiendo que los niveles de afluencia siguen una distribución normal

a) Calcula la media muestral y la varianza muestral. Sol. 610,4; 3929, b) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional al 95% de confianza. (Nota: para facilitar los cálculos el resultado correcto de la desviación típica muestral es de 62,68 y la cuasidesviación típica muestral es de 66,07) Sol. (563,13; 657,67) c) Calcule e interprete el significado de un intervalo de confianza al 95% para la varianza poblacional. ¿qué podría decir si los adjudicatarios del parque afirman que la dispersión de la afluencia de personas es de 15 personas? Sol. IC para desviación típica (45,49; 120,64) la variabilidad es mayor que 15.

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3. El gasto diario en llamadas telefónicas de dos departamentos X e Y de una misma empresa sigue una distribución normal, con un gasto medio desconocido en ambos departamentos. Sin embargo, se conocen las desviaciones típicas, que son 100 y 110 euros, respectivamente. La dirección ha observado que una M.A.S de 20 días, el gasto medio diario en llamadas realizadas por el departamento X ha sido de 1.100 euros, y de 1.400 en el departamento Y. Obtenga un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de gastos medios entre el departamento X respecto a Y. (-354,68; -245,15) 4. Se selecciona una muestra aleatoria de 600 familias, a las que se pregunta si tienen o no ordenador en casa. Contestaron afirmativamente 240 familias. Obtenga un intervalo de confianza al nivel del 95% para la proporción real de familias que poseen ordenador en casa. Sol. (0,36; 0,44) 5. Según los dirigentes un partido político de implantación nacional la intención de voto de este partido en Andalucía es la misma que en Madrid. Se realiza una encuesta a 100 personas en Andalucía de los que 25 mostraron su apoyo al partido, y a otras 100 personas en Madrid de las que 30 se declaran simpatizantes del partido.

a) Construya un intervalo de confianza al 90% para la proporción de personas que votarían a este partido en Andalucía. Sol. (0,179; 0,321) b) ¿A cuántas personas habría que encuestar para tener un margen de error de ± puntos porcentuales en la estimación del intervalo%, al mismo nivel de confianza anterior? Sol. n= c) Construya un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de proporciones en la intención de voto al partido B entre las dos comunidades. ¿Se puede afirmar que los dirigentes del partido A tienen razón? Sol (-0.153; 0,053) Si.

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Tabla 2.- Estimación sobre la muestra de toda la Comunidad

a) ¿Qué tamaño tiene la muestra para toda la comunidad? ¿Y para los hombres? ¿Y para las mujeres? Sol. n=213; nx=109; ny=104 (siendo X hombres e Y mujeres) b) Si la Comunidad tiene una población de: 5.305.000 en total y se supone que la varianza población del ingreso en la comunidad es conocida σ^2 = 600.000, ¿qué tamaño de muestra debería haber seleccionado para garantizar con un 95% de confianza un error máximo de ± 100€? Sol. n= c) ¿Cuánto vale la estimación puntual de los ingresos medios per cápita en toda la Comunidad? Sol. 1209€ d) ¿Cuánto vale la estimación puntual de los ingresos medios per cápita para hombres? ¿Y para mujeres? Compare los resultados obtenidos. Sol. 1368 en el caso de los hombres y 1043 en el caso de las mujeres. e) Con la información que tiene ¿Considera que los datos se ajustan bien a una distribución normal? Sol. No simétrica, más apuntada que la normal. f) Interprete y compare los Intervalos de confianza al 95% para hombres y para mujeres. Sol. ver las salidas. g) Calcule el IC al 99% para los ingresos medios per cápita de hombres y mujeres. Sol. Para hombres: (1152; 1584) y para mujeres (890; 1196) h) A la luz de estos resultados ¿Considera que las diferencias observadas en el ingreso medio per cápita entre hombres y mujeres serán estadísticamente significativas teniendo en cuenta los IC del 95%? Sol. Si, IC no se solapan i) ¿Y teniendo en cuenta los IC del 99%? Sol. No, IC se solapan.

Ingresos Per cápita Todos 95% confianza Ingresos Per cápita Todos 99% confianza

Media 1209,15493 Media 1209, Error típico 51,9686513 Error típico 51, Mediana 1050 Mediana 1050 Moda 1500 Moda 1500 Desviación estándar 758,457496 Desviación estándar 758, Varianza de la muestra 575257,773 Varianza de la muestra 575257, Curtosis 3,92816475 Curtosis 3, Coeficiente de asimetría 1,41324143 Coeficiente de asimetría 1, Rango 5100 Rango 5100 Mínimo 150 Mínimo 150 Máximo 5250 Máximo 5250 Suma 257550 Suma 257550 Cuenta 213 Cuenta 213

Nivel de confianza(95,0%) 102,44149 Nivel de confianza(99,0%) 135,

Extremo Inferior 1106,71344 Extremo Inferior 1074, Extremo Superior 1311,59642 Extremo Superior 1344,

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Tema 7

Estadística Teórica

Contraste paramétrico de hipótesis estadísticas

1. Un directivo de uno de los grandes operadores de Internet está considerando la posibilidad de ofrecer tarifa plana a sus clientes. Según sus conocimientos sobre el tema, sabe que está trabajando con una variable aleatoria que se distribuye como una normal. Mantiene la hipótesis de que los hogares que tienen Internet se conectan una media de 5 horas semanales, y sabe por otros estudios que la dispersión de 7,24 horas. No obstante, existen otros estudios que sostienen que el tiempo de conexión es más alto. Para evaluar, a un 10% de significación, dicha hipótesis, el directivo decide encuestar aleatoriamente a 300 hogares, obteniendo una media de 5,34 horas de conexión. a) Indique las hipótesis. Sol. Ho μ=5; H1 μ> b) Realice el contraste de hipótesis y analice la decisión que tomará. Sol. No se rechaza Ho. 2. Un laboratorio farmacéutico quiere lanzar un nuevo medicamento para la hipertensión, llamado HIPOTENSIL. El director de dicho laboratorio cree que la eficacia del medicamento sería de un 95%, medida ésta como la proporción de pacientes a los que se les suministra y experimentan una mejoría. Sin embargo, el inspector de sanidad del Ministerio no es tan optimista y opina que la eficacia es menor. Para analizar la eficacia del medicamento antes de su comercialización, se selecciona una muestra aleatoria de 500 pacientes, a los que se les administra HIPOTENSIL, de los cuales mejoran 467. Proporcionan los datos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula formulada por el director del laboratorio. Suponga un nivel de significación del 5%. Calcule el p- valor e interprételo. Sol. Ho p=0,95; H1 p<0,95 No rechazo Ho. p-valor = 0, 3. Un fabricante de pastas alimenticias asegura en su campaña publicitaria que el peso medio de los paquetes es de 250 gramos. Otro fabricante de la competencia pretende denunciarlo por engaño publicitario, ya que cree que es menor. Para contrastarlo selecciona una muestra aleatoria simple de 20 paquetes al azar siendo los pesos (en gramos) resultantes, 240, 225, 240, 220, 240, 250, 200, 215, 230, 140, 200, 216, 240, 250, 225, 240, 245, 220, 240, 240. Formula las hipótesis nula y alternativa y realiza un contaste a un nivel de significación del 5%? Suponga que el peso sigue una distribución normal. Sol. Ho μ=250; H1 μ<250. Rechazo Ho. 4. Las especificaciones de un tipo de báscula aseguran que los errores de los pesajes siguen una distribución N ( 0 , σ). Se quiere contrastar la afirmación de que la dispersión de los errores de pesaje es igual a un kilo, frente a que es distinta. Para ello se realizan 5 pesajes en las que el error cometido resultó ser:

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d) Interprete el intervalo de confianza y relaciónelo con el contraste de hipótesis realizado. Razone sus respuestas. (Sol. Con un nivel de confianza del 95% la diferencia de medias poblaciones se encontrarán entre -2,03 y -0,37, por lo que se puede descartar la Ho de que las medias son iguales, y parece que los voluntarios del hospital B trabajan más horas porque el intervalo que compara A y B está a la izquierda de cero, con valores negativos los dos)

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8. El Presidente de una Comunidad Autónoma está preparando un informe sobre

los ingresos per cápita y las diferencias según género. Su equipo asesor le ha

preparado unas tablas con los resultados de procesar los datos de esas muestras

con Excel, solicitando una prueba t para muestras independientes y señalando

un 5% de nivel de significación. Se preparan para responder a una serie de

cuestiones:

Tabla 1.- Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

Hombres Mujeres Media 1367,889908 1042,

Varianza 741135,3211 352301, Observaciones 109 104 Varianza agrupada 551325, Diferencia hipotética de las medias 0 Grados de libertad 211 Estadístico t 3, P(T<=t) una cola 0, Valor crítico de t (una cola) 1, P(T<=t) dos colas 0,

Valor crítico de t (dos colas) 1,

a) ¿Qué supuestos previos y qué observaciones o cautelas se tendrían que tener en cuenta a la hora de realizar e interpretar los resultados? Sol. muestras independientes, poblaciones normales, varianzas desconocidas pero iguales. b) A partir de las salidas que tiene, contraste a un 5% de significación la Ho: “ los ingresos medios per cápita son iguales para hombres y mujeres”, frente a la alternativa H1: “son distintos”. Argumente su respuesta e interprétela. (estadístico de contraste, valor experimental, valor crítico, región crítica, p- valor, decisión) Sol. al 5% bilateral cae en región crítica se rechaza la Ho. c) ¿Cambiarían las decisiones si se contrasta, a un 5% de significación, la Ho “los ingresos medios per cápita de los hombres son menores o iguales que los de las mujeres”, frente a la alternativa H1: “son mayores”? Argumenta tu respuesta. (estadístico de contraste, valor experimental, valor crítico, región crítica, p- valor, decisión) Al 5% unilateral también se rechaza. d) ¿Cómo se calcularía el p-valor unilateral? Sol. P(t 211 >3,19) = 0,