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INTRODUCCIÓN
Una frase muy conocida es La práctica hace al maestro. A pesar de la antigüedad de esta sentencia, sigue vigente. Por ello los cuatro autores de esta obra, nos propusimos poner a la disposición de los estudiantes una selección de ejercicios de álgebra, con el objetivo de que los conceptos aprendidos en sus cursos los puedan utilizar para resolverlos y la práctica adquirirla con su desarrollo para lograr un aprendizaje significativo. El libro tiene como orígenes un cuaderno de ejercicios de álgebra, primera parte, que durante varios años ha sido publicado por esta Facultad y otro material inédito con los temas no incluidos en el anterior. La conjunción de estas dos obras y el trabajo en equipo de los cuatro ha dado por resultado este material que anhelamos sea de utilidad tanto para nuestros estudiantes como para los profesores que busquen un apoyo para sus cursos. Estamos conscientes de que, aún cuando hayamos revisado exhaustivamente el material, todavía puedan existir errores u omisiones, por ello agradeceremos enormemente a aquellas personas que nos hagan saber de estas deficiencias para que en futuras ediciones la obra pueda ser más confiable y de mayor utilidad.
El cuaderno de ejercicios consta de seis capítulos. En los dos primeros se presenta lo relativo a los sistemas numéricos más comúnmente empleados en ingeniería; es decir, en el primer capítulo se presentan ejercicios sobre números reales y en el segundo, sobre números complejos. En el tercer capítulo se trabaja con el álgebra de los polinomios, para utilizarla en lo relativo a la determinación de sus raíces. El cuarto capítulo está dedicado a los sistemas de ecuaciones lineales. Las matrices y los determinantes se trabajan en el quinto capítulo y se termina con el sexto en el que el objeto de estudio son las estructuras algebraicas.
Cabe la aclaración de que no pocos autores consideran que los conceptos tratados en los capítulos cuatro, cinco y seis, forman parte ya del álgebra lineal.
Es de justicia manifestar un agradecimiento infinito a la Maestra María Cuairán Ruidíaz por su apoyo inconmensurable y a la señorita Ana María Sánchez Téllez por la captura de una parte muy importante del material. Sin su ayuda, seguramente esta obra hubiese tardado mucho más tiempo en poder salir a la luz.
Ciudad Universitaria, Distrito Federal, a 3 de noviembre de 2010
LOS AUTORES
CAPÍTULO 1
NÚMEROS REALES
A través de la historia, pocos conceptos han sido tan utilizados desde épocas tan remotas como el
concepto de número. No obstante su antigüedad y su continuo y variado empleo, su definición y
su formalización no se pudieron establecer de manera satisfactoria hasta fechas relativamente
recientes. Aún en nuestros días es común confundir este concepto, puramente abstracto, con su
representación escrita llamada numeral.
Es hasta finales del siglo XIX cuando las ideas Weierstrass, Boole, Cantor, Dedekind y Peano,
entre otros, cristalizaron en la concepción formal de la estructura algebraica llamada campo de
los números reales. Esto no quiere decir que se haya llegado a colmar este casillero del
conocimiento matemático. Actualmente en muchas partes del mundo, son varios los científicos
preocupados en profundizar más en esta apasionante rama del saber. Pero para el lector, estudioso
de la ingeniería, que utilizará las matemáticas como una herramienta en su vida dentro de las
aulas y, posteriormente, en sus actividades profesionales, el objetivo en este capítulo será la
determinación precisa y rigurosa de las estructuras numéricas de mayor relevancia, hasta concluir
con el campo de los números reales ; también se pretende propiciar el adecuado manejo de los
elementos numéricos que conforman estas estructuras algebraicas.
CAPÍTULO 1. N ÚMEROS R EALES
2. Sean los conjuntos:
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
A
B
C
Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar las respuestas
a) A B
b) A C 1
c) A B
d) 1 C
e) (^) A B (^) C
Solución:
a) Falso
A es un conjunto de conjuntos y B es un conjunto de números. Por lo tanto no pueden ser
iguales, pues sus elemenentos no son de la misma naturaleza.
b) Verdadero
Tanto A como C son conjunto de conjuntos y el conjunto 1 ^ es el único que es elemento
común de A y de C.
c) Verdadero
No existe ningún elemento común entre los conjuntos A y B
d) Falso
El número 1 no pertenece al conjunto C , mientras que el conjunto (^) 1 sí.
e) Falso
A^ ^ B^ ^ C 2 ,^ ^3 ,^ 4 ^ ,^ 5 , 1, 2, 3, 4, 5
CUADERNO DE EJERCICIOS DE ÁLGEBRA
3. Dada la siguiente tabla, contestar en cada cuadro con un sí, si cumple la propiedad y un no en
caso contrario
Propiedad
Conjunto
Cerradura
Adición
Cerradura
Multiplicación
Existencia
Inverso
Aditivo
Existencia
Inverso
Multiplicativo
para
z 0
Densidad
Naturales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
Solución:
N SÍ SÍ NO NO NO
Z SÍ SÍ SÍ NO NO
Q SÍ SÍ SÍ SÍ SÍ
Q' NO NO NO NO NO
SÍ^ SÍ^ SÍ^ SÍ^ SÍ
CUADERNO DE EJERCICIOS DE ÁLGEBRA
Solución:
a) (V) El conjunto unión de los racionales y de los irracionales, sí es un subconjunto de
los reales.
b) (V) Se trata de una de las leyes de De Morgan.
c) (F) Es un número irracional.
d) (V) La intersección de un conjunto con su complemento siempre es el conjunto vacío.
Además, no es posible encontrar un número que sea a la vez racional e irracional.
6. Para cada una de las siguientes afirmaciones, escribir en el paréntesis correspondiente una F o
una V según sea falsa o verdadera.
a) El número 1 es un número racional. ( )
b) 25 es un número irracional. ( )
c) 6 y
indican (representan) números diferentes. ( )
d) Cualquier número irracional es también un
número trascendente, como el número . ( )
e) La suma algebraica de dos números
irracionales es otro irracional. ( )
Solución:
a) ( V ) El número 1 se puede escribir 1/1 y cumple con la definición de número racional.
b) ( F ) 25 5 ya que 5 5 25 y, por lo tanto es racional.
c) ( F ) 6 es la mínima expresión del número racional
d) ( F ) El número 2 es irracional, pero no es trascendente.
e) ( F ) 3 (^) (^3) 0 y el número cero no es irracional.
CAPÍTULO 1. N ÚMEROS R EALES
7. Demostrar, por medio de inducción matemática, que:
3 3 3 2
1 2 n 1 2 n ; n N (1)
Solución:
El miembro derecho de la expresión (1), es el cuadrado de la suma de los primeros n números
naturales. Así que, también por inducción matemática, primero se demostrará que:
1
n n
n n N
La expresión debe satisfacerse para n 1 :
(^1) 1 1
1 1 sí se cumple para n 1
Ahora, se supone válida para n k :
1
k k
k
(3) hipótesis
Si 3 es cierta por hipótesis, la expresión 2 también debe cumplirse para n k 1 :
1 2
k k
k k
(4) tesis
sustituyendo 3 en 4:
(^1) 1 2
k k k k
k
tomando como factor común (^) k (^1) en el miembro izquierdo:
k^ k^ k
k
k k^ k
k
^ ^
^
CAPÍTULO 1. N ÚMEROS R EALES
Tomando como factor común (^)
2
k 1 :
3 2 2
k
k k k k
entonces:
3 2 2
k k
k k k
finalmente al factorizar se tiene:
2
k k
k k k N
que es la misma expresión (7), por lo tanto queda esto demostrado.
8. Demostrar que xn yn tiene como factor x y para cualquier n natural.
Solución:
Por inducción matemática:
Para n = 1:
x^1 – y^1 sí tiene como factor a x – y.
Suponiendo válida la proposición para n = k :
x^ k yk tiene como factor a x – y hipótesis
Ahora, para n = k + 1:
xk ^1 yk ^1 es divisible entre x – y tesis
En la tesis pude sumarse y restarse el término x ky y no se altera:
xk ^1 x yk^ x yk^ y k^ ^1 xk (^) x y (^) y (^) x k^ yk
El primer sumando es divisible entre x – y , pues lo contiene como factor, y el segundo también lo
es por hipótesis.
Q.E.D.
CUADERNO DE EJERCICIOS DE ÁLGEBRA
9. Sean m n , , p N , demostrar que:
m (^) n p (^) (^) m n (^) p
tomando en cuenta la definición:
i) n^ ^1 ^ n *para toda n^ ^ N.
ii) n m * (^) n m *, siempre que n + m esté definida.
Solución:
Por inducción matemática:
para p = 1:
m (^) n (^1) (^) m n 1
por la primera parte de la definición de adición en N , se tiene:
m n m n.
Esta expresión es cierta por la segunda parte de la definición de adición en N.
Se supone válida para p = k :
m (^) n k (^) (^) m n (^) k hipótesis
Si la hipótesis es cierta, la proposición debe serlo también para p = k + 1, es decir para p = k *^ :
m (^) n k * (^) (^) m n (^) k * tesis
m (^) n k * (^) (^) m n (^) k * Por la definición de adición en N.
m (^) n k * (^) m (^) n k * Por la hipótesis de inducción.
m (^) n k * (^) m (^) n k * Por la definición de adición en N.
m (^) n k * (^) m (^) n k * Por la definición de adición en N.
Q.E.D.
CUADERNO DE EJERCICIOS DE ÁLGEBRA
7 16 k^ ^1 3 16 k ^1 105
La suma de los primeros términos, agrupados en la primera llave, es divisible entre 5 por la
hipótesis de inducción y el último también lo es, pues está multiplicado por 105 que es divisible
entre 5.
Q.E.D.
11. Demostrar que:
1
sen 2 1 1 cos ;
n
n n N
^ ^ ^ ^ ^
Solución:
La demostración se efectuará por medio de inducción matemática:
Para n 1:
0
sen 1 cos
(^)
sen cos
^
es cierta, pues se trata de una identidad trigonométrica.
Ahora, se supondrá válida la expresión para n = k :
1
sen 2 1 1 cos
k
k
^ ^ ^
hipótesis
Si la hipótesis de inducción es cierta, la expresión original debe cumplirse para n k 1 :
sen (^) 2 1 1 cos
k
k
(^)
tesis
Si se multiplica por –1 ambos miembros de la hipótesis, la expresión resultante seguirá siendo
válida y su miembro derecho será igual al de la tesis. Por ello, sólo se tendrá que demostrar que
sus miembros izquierdos también lo son.
1
sen 2 1 1 1 cos
k
k
CAPÍTULO 1. N ÚMEROS R EALES
por las leyes de los exponentes:
sen (^) 2 1 1 cos
k
k
^
tomando en cuenta que:
sen sen
sen 2 k 1 1 cos
k
^ ^ ^ ^
desarrollando:
2 k
sen 1 cos
k (^)
2 k
sen 1 cos
k
^ ^ ^
finalmente
sen (^) 2 1 1 cos
k
k
(^)
Q.E.D.
12. Demostrar la validez de la siguiente proposición haciendo uso del método de inducción
matemática.
^
2
n
n N
n n
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
Solución:
^
2
n
n N
n n
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^
CAPÍTULO 1. N ÚMEROS R EALES
2
2
k k k k
k k k k
k k k k
k k
Q.E.D.
13. Demostrar, por inducción matemática, que:
n! n^2 n 4, n N
se tiene que:
n! 1 2 3 (^) n (^1) n : 0! 1
Solución:
1) Para n = 4:
2
24 16 sí se cumple.
2) La hipótesis de inducción, la cual se supondrá válida, se tiene para n = k :
k ! k^2 hipótesis
Se demostrará la validez de la proposición para n = k + 1, tomando como válida la hipótesis:
k 1! k 12 tesis
Utilizando la definición de factorial, se tiene:
k 1 ! k 1 k!
CUADERNO DE EJERCICIOS DE ÁLGEBRA
Si se multiplica en la hipótesis por ( k + 1) en ambos miembros de la desigualdad, como k 4 la
relación de orden mayor que no se altera:
k^ ^1 k^!^ ^ k^ ^1 k^2 k^ ^ 1 ! ^ k^ ^1 k^2 (A)
Esta desigualdad proviene de la hipótesis que se tomó como válida, así que debe seguir siendo
cierta y observando las expresiones de la tesis y las de (A):
k 1 ! k 1 k^2 (A)
2
k 1! k 1 tesis
es fácil demostrar que:
2 2 k 1 k k 1
dividiendo entre ( k + 1):
k^2 k 1
gráficamente:
la gráfica de y = k^2 , corresponde a la de una parábola discontinua y la de y = k +1 a la de una recta
discontinua con pendiente 1 y esta desigualdad se cumple para k > 2.
Por lo tanto:
si k 1 ! k 1 k^2 por hipótesis
y
2 2 k 1 k k 1
entonces
2
k 1! k 1 por transitividad
Q.E.D.
1 2 3 4 5
o
o
o
