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Probabilidad -
Tipo: Monografías, Ensayos
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¡No te pierdas las partes importantes!
Una versi´on actualizada del presente texto se encuentra disponible en formato electr´onico en la direcci´on http://www.matematicas.unam.mx/lars
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El presente texto est´a dirigido a estudiantes de mitad de carrera de las licenciaturas de matem´aticas, actuar´ıa, y ´areas afines. Contiene el material b´asico para un segundo curso de probabilidad, y tiene como origen las notas de clase del curso semestral de Probabilidad II, que he impartido durante los ´ultimos a˜nos en la Facultad de Ciencias de la UNAM.
El ´enfasis de este segundo curso se centra en la formalizaci´on de algunos conceptos estudiados en un primer curso de probabilidad, y en el estudio de vectores aleatorios y sus varios conceptos relacionados. El lector puede comprobar que se hace poco ´enfasis en las aplicaciones, y que la exposici´on cubre principalmente el desarrollo matem´atico. El objetivo es que despu´es de este curso, el estudiante pueda continuar con facilidad con un curso de estad´ıstica matem´atica, de procesos estoc´asticos, o tal vez un curso avan- zado de probabilidad o de teor´ıa de la medida, teniendo como elementos b´asicos los conceptos te´oricos aqu´ı desarrollados. En particular se incluye un cap´ıtulo sobre esperanza condicional, cuyo uso y aplicaci´on es cada vez m´as frecuente. Tambi´en se incluye un cap´ıtulo sobre distribuciones mues- trales y estad´ısticas de orden, con aplicaciones inmediatas en temas de la estad´ıstica matem´atica.
Al final de cada cap´ıtulo el lector encontrar´a una lista de ejercicios separa- dos por temas. La mayor´ıa de estos ejercicios son de tipo mec´anico, algunos de ellos son muy sencillos de modo que el t´ermino ejercicios me parece justo y adecuado. Pocos de estos ejercicios son originales, la mayor parte de
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ellos son modificaciones de ejemplos o resultados cl´asicos que se encuentran en la larga literatura existente. La intenci´on de contar con este material es la de crear confianza y soltura por parte del alumno en el manejo de los conceptos y notaci´on involucrados. El n´umero de ejercicios excede lo que normalmente puede realizarse en un semestre, y el objetivo que siempre tuve en mente estos a˜nos fue el tener un n´umero suficiente de ellos para presentar algunos en clase, dejar otros para trabajo en casa, y asignar algu- nos otros para preguntas de examen, usando material ligeramente distinto cada semestre para evitar repeticiones. Durante la exposici´on de los temas el lector encontrar´a tambi´en algunos otros ejercicios propuestos y algunos ejemplos resueltos.
La presentaci´on del material mantiene la estructura de las notas de clase, y creo que ser´a particularmente ´util al estudiante con poco tiempo para leer p´arrafos completos, y quien s´olo busca una definici´on, un resultado, un ejemplo, un ejercicio, o tal vez orientaci´on breve acerca de un concepto. En este sentido, el libro contiene tablas a manera de resumen, y los enunciados est´an enmarcados para su f´acil localizaci´on. Tambi´en he intentado que la notaci´on fuera lo m´as simple y m´ınima posible. Personalmente me gustan los libros con im´agenes y diagramas, y he buscado plasmar ese gusto en este texto. Este material fue escrito en LATEX, y las gr´aficas fueron elaboradas usando el paquete pstricks, lo cual ha sido realmente un placer. Al final del texto aparece una lista de referencias que me permito sugerir al lector consultar para profundizar y a veces precisar en determinados temas. Algu- nos de estos textos no han sido mencionados expl´ıcitamente pero aparecen en la lista por que en alg´un momento he obtenido inspiraci´on de ellos.
Agradezco sinceramente a todas aquellas personas, alumnos y profesores, quienes a trav´es de sus comentarios y sugerencias, han contribuido al me- joramiento de este texto. Cualquier correcci´on o comentario acerca de este trabajo ser´a muy bien recibido en el correo electr´onico que aparece abajo. Es mi intenci´on mantener en el futuro, hasta donde me sea posible, una versi´on electr´onica actualizada, corregida y gratuita del presente texto. La p´agina web donde puede obtenerse es
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La teor´ıa de la probabilidad es la parte de las matem´aticas que se encarga del estudio de los fen´omenos o experimentos aleatorios. Se entiende por experimento aleatorio todo aquel experimento tal que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. A menudo, y por muy diversas razones, es necesario aceptar que no es posible predecir el resultado de un experimento particular a´un cuando se le haya efectuado con anterioridad varias veces bajo las mismas condiciones iniciales, y en consecuencia se considera aleatorio. Bajo estas circunstancias, la teor´ıa de la probabilidad tiene el objetivo de modelar matem´aticamente cualquier experimento aleatorio de inter´es.
El modelo matem´atico creado durante el primer tercio del siglo XX para estudiar los experimentos aleatorios es el as´ı llamado espacio de probabili- dad. Este modelo consiste de una terna ordenada, denotada usualmente por (Ω, F , P ), en donde Ω es un conjunto arbitrario, F es una σ-´algebra de subconjuntos de Ω, y P es una medida de probabilidad definida sobre F. Explicamos a continuaci´on brevemente cada uno de estos elementos.
naci´on no es ´unica, pues dependiendo del inter´es del observador, se puede asociar un espacio de probabilidad u otro. En este primer cap´ıtulo se estu- dian con m´as detalle los conceptos de σ-´algebra y medida de probabilidad. Empecemos con el primero.
1.2. σ-´algebras
En esta secci´on se estudia el concepto de σ-´algebra y se define la m´ınima σ-´algebra generada por una colecci´on arbitraria de subconjuntos del espacio muestral. Recordemos nuevamente la definici´on de esta estructura.
Definici´on. (σ-´algebra, espacio medible, evento). Una colecci´on F de subconjuntos de Ω es una σ-´algebra si cumple las siguientes con- diciones:
n=
An ∈ F.
A la pareja (Ω, F ) se le llama espacio medible y a los elementos de F se les llama eventos o conjuntos medibles.
En palabras, una σ-´algebra es una colecci´on de subconjuntos de Ω que no es vac´ıa y que es cerrada bajo las operaciones de tomar complemento y efectuar uniones infinitas numerables. Estas propiedades garantizan que la colecci´on es cerrada al efectuar las operaciones usuales entre conjuntos, es decir, al tomar las operaciones de uni´on, intersecci´on, complemento, diferen- cia, diferencia sim´etrica, etc. se obtienen nuevamente elementos de la misma colecci´on.
En probabilidad elemental el conjunto Ω denota el espacio muestral o con- junto de posibles resultados de un experimento aleatorio, y los elementos de F representan eventos en el experimento aleatorio. Una σ-´algebra es entonces una estructura que nos permite agrupar ciertos subconjuntos de Ω de inter´es, aquellos a los cuales se desea calcular su probabilidad, y esta es- tructura constituye el dominio de definici´on de una medida de probabilidad. Cuando el espacio muestral es finito normalmente se toma como σ-´algebra el conjunto potencia de Ω, pero para espacio muestrales m´as generales no siempre puede tomarse esa estructura tan grande, y deben considerarse en- tonces σ-´algebras m´as peque˜nas, es por ello que se estudian estas estructu- ras. En general existen varias σ-´algebras que pueden asociarse a un conjunto cualquiera no vac´ıo Ω como se muestra a continuaci´on.
Ejemplo Sea Ω un conjunto cualquiera no vac´ıo. Es inmediato comprobar que cada una de las siguientes colecciones es una σ-´algebra de subconjuntos de Ω. La σ-´algebra del primer inciso es la σ-´algebra m´as peque˜na que po- demos asociar a un conjunto cualquiera Ω, y la σ-´algebra del ´ultimo inciso es la m´as grande.
a) F 1 = {∅, Ω}. b) F 2 = {∅, A, Ac, Ω}, en donde A ⊆ Ω. c) F 3 = 2Ω, conjunto potencia.
Ejemplo. Sean A y B subconjuntos de Ω tales que A ⊆ B. La siguiente colecci´on es una σ-´algebra de subconjuntos de Ω que contiene expl´ıcitamente a los conjuntos A y B. ¿Puede usted verificar tal afirmaci´on con la ayuda de un diagrama de Venn?
F = {∅, A, B, Ac, Bc, B − A, (B − A)c, Ω}
Ejercicio. Sea Ω un conjunto no numerable. Demuestre que la colecci´on F dada por {A ⊆ Ω : A o Ac^ es finito o numerable} es una σ-´algebra.
tonces Ωc^ = ∅ ∈ F.
n=1 A c n ∈ F. Tomando complementos y usando las leyes de De Morgan se ob- tiene el resultado.
La proposici´on anterior establece entonces que las σ-´algebras son estruc- turas tambi´en cerradas bajo las operaciones de diferencia e intersecciones numerables. En la secci´on de ejercicios pueden encontrarse algunas otras de- finiciones de σ-´algebra equivalentes a la que hemos enunciado, y que involu- cran las operaciones de la proposici´on anterior. Una operaci´on de particular importancia es aquella en la que se intersectan dos σ-´algebras produciendo una nueva σ-´algebra, este es el contenido del siguiente resultado.
Proposici´on. La intersecci´on de dos σ-´algebras es una σ-´algebra.
Demostraci´on. Sean F 1 y F 2 dos σ-´algebras de subconjuntos de un mismo Ω. Entonces F 1 ∩ F 2 es aquella colecci´on de subconjuntos de Ω cuyos ele- mentos pertenecen tanto a F 1 como a F 2. Demostraremos que F 1 ∩ F 2 es una σ-´algebra.
a) Como F 1 y F 2 son σ-´algebras, entonces Ω ∈ F 1 y Ω ∈ F 2. Por lo tanto Ω ∈ F 1 ∩ F 2.
b) Sea A un elemento en F 1 ∩ F 2. Entonces A ∈ F 1 y A ∈ F 2. Por lo tanto Ac^ ∈ F 1 y Ac^ ∈ F 2 , es decir, Ac^ ∈ F 1 ∩ F 2.
c) Sea A 1 , A 2 ,... una sucesi´on de elementos en la intersecci´on F 1 ∩ F 2. Entonces A 1 , A 2 ,... ∈ F 1 y A 1 , A 2 ,... ∈ F 2. Por lo tanto
n=1 An^ ∈ F 1 y
n=1 An^ ∈^ F^2 , es decir,^
n=1 An^ ∈^ F^1 ∩^ F^2.
Hemos entonces comprobado que si F 1 y F 2 son dos σ-´algebras de un mismo conjunto Ω, entonces F 1 ∩F 2 es nuevamente una σ-´algebra de subconjuntos de Ω, naturalmente m´as peque˜na que F 1 y F 2 en el sentido F 1 ∩ F 2 ⊆ F 1 , F 2. La siguiente pregunta consiste en verificar si la uni´on de dos σ- ´algebras produce nuevamente una σ-´algebra. En este caso la respuesta es negativa. En general no es cierto que la uni´on de dos σ-´algebras produce una nueva σ-´algebra. V´eanse por ejemplo los ejercicios 9 y 10 a este respecto. Por otro lado se puede extender la validez de la proposici´on reci´en demostrada a intersecciones m´as generales como indica el siguiente resultado.
Proposici´on. La intersecci´on finita, infinita numerable o bien arbitraria de σ-´algebras es nuevamente una σ-´algebra.
Demostraci´on. Sea T un conjunto arbitrario distinto del vac´ıo. Suponga que para cada t en T se tiene una σ-´algebra Ft de subconjuntos de Ω. Sea F =
t∈T Ft.^ Siguiendo los mismos pasos que en la demostraci´on anterior es f´acil probar que F es una σ-´algebra. Observe que como T es un conjunto arbitrario, la σ-´algebra F es efectivamente una intersecci´on arbitraria de σ-´algebras.
Lo demostrado anteriormente garantiza que la siguiente definici´on tiene sen- tido.
Definici´on. (σ-´algebra generada). Sea C una colecci´on no vac´ıa de subconjuntos de Ω. La σ-´algebra generada por C , denotada por σ(C ), es la colecci´on
σ(C ) =
{F : F es σ-´algebra y C ⊆ F }.
Ejercicio. Demuestre que σ(σ(C )) = σ(C ), en donde C una colecci´on de subconjuntos de Ω.
Ejercicio. Demuestre que σ(C 1 ∪ C 2 ) = σ( σ(C 1 ) ∪ σ(C 2 ) ), en donde C 1 y C 2 son dos colecciones no vac´ıas de subconjuntos de Ω.
Otras estructuras de subconjuntos
En esta secci´on se presentan los conceptos de ´algebra y semi-´algebra, y su relaci´on con σ-´algebras. No estudiaremos estas estructuras con detalle pero las mencionamos porque desempe˜nan un papel importante en la construc- ci´on y extensi´on de medidas de probabilidad.
Definici´on. ( Algebra´ ). Una colecci´on A de subconjuntos de Ω es una ´algebra si cumple las siguientes condiciones:
⋃^ n
k=
Ak ∈ A.
La diferencia entre una ´algebra y una σ-´algebra estriba en que para la primera se pide que sea una colecci´on cerrada bajo uniones finitas mientras que la segunda es una colecci´on cerrada bajo uniones infinitas numerables. Claramente toda σ-´algebra es una ´algebra.
Definici´on. (Semi´algebra). Una colecci´on S de subconjuntos de Ω es una semi´algebra si cumple las siguientes condiciones:
⋃^ n
k=
Ak.
Los conceptos de σ-´algebra, ´algebra y semi´algebra est´an relacionados como se muestra en la Figura 1.2. En la secci´on de ejercicios se pide demostrar las implicaciones y no implicaciones que se obtienen de este diagrama.
semi´algebras
´algebras
σ-´algebras
Figura 1.2: Relaci´on general entre σ-´algebras, ´algebras y semi´algebras.
A continuaci´on se estudia un ejemplo particular de σ-´algebra de subconjun- tos de n´umeros reales: la σ-´algebra de Borel.
