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CURVAS CÓNICAS. CURVAS TÉCNICAS.
CURVAS, DEFINICIÓN.
Se entiende por línea una sucesión de puntos o trayectoria de un punto en movimiento. Se considera
línea recta cuando esta trayectoria tiene una dirección única y línea curva cuando ninguna porción de
ella es recta. Se dice que una línea tiene doble curvatura cuando no puede trazarse sobre un plano,
como le sucede a la hélice.
Las Curvas se clasifican en Cónicas, fruto de la sección entre un plano y un cono, y Técnicas, estas
últimas abarcan desde el Ovalo y Ovoide, Espirales, Evolventes y Hélices, a Curvas Cíclicas.
CURVAS CÓNICAS.
Son las secciones producidas por un plano secante en una superficie cónica de revolución (Cono), según la posición relativa del plano y el cono, se obtienen tres curvas cónicas diferentes, Elipse, Parábola o Hipérbola.
Obtenemos una Elipse cuando el ángulo ”a” que forma el plano secante Q con el eje del cono es mayor que el formado por las generatrices con el mismo eje “b”.
Obtenemos una
Parábola cuando el ángulo “a” que forma el plano secante con el
eje es igual a “b” y una Hipérbola cuando “a” es menor que “b”.
Cuando el plano secante pasa
por el vértice del cono, en la intersección se producen dos generatrices rectas y cuando es normal al eje, la sección es circular.
La Elipse es una curva cerrada y plana y se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos fijos denominados focos es constante.
La Parábola es una curva plana, abierta de una rama, definida como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo
denominado foco, y de una recta denominada directriz.
La Hipérbola es una curva plana, abierta y con dos ramas, definida como el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos denominados focos es constante.
TEOREMA DE DANDELIN.
El Teorema de Dandelin demuestra que el foco o los focos de una curva cónica se encuentran en los
puntos de tangencia del plano secante con dos esferas inscritas en la superficie cónica y tangentes a su
vez a dicho plano.
DIRECTRIZ DE UNA CURVA CÓNICA.
Las esferas mencionadas en el teorema de Dandelin y el cono donde están inscritas, conectan entre sí
según dos circunferencias, una para cada esfera. Estas circunferencias pertenecen a dos planos
respectivamente y que se denominan planos de contacto, siendo además normales al eje de la
superficie cónica.
Las rectas intersección entre el plano secante que genera en el cono la curva cónica y los dos planos de
contacto, se denominan rectas Directrices de la curva.
En la figura se detallan:
‐ Las dos esferas del teorema de Dandelin, O1 y O2.
‐ Los planos de contacto que estas generan en combinación con la propia superficie cónica.
‐ Las rectas directrices D1 y D2, intersección de los planos de contacto y del plano secante que genera la
curva cónica.
‐ Los focos F1 y F2 puntos de tangencia de las esferas con el plano secante.
‐ Los vértices de la curva V1 y V2.
En la representación del cono y sus elementos (SDO frontal, se abate la curva y se presenta en
verdadera magnitud y forma.
La curva sección resultante en el dibujo es la Elipse pues el ángulo entre el plano secante y el eje es
mayor que entre el eje y las generatrices del cono. La Elipse y la Hipérbola tienen dos rectas directrices y
dos focos. La Parábola tiene un solo foco y una sola recta directriz pues corta solamente a una rama del
cono por ser paralelo el plano secante a una de las generatrices de este.
EXCENTRICIDAD DE UNA CURVA CÓNICA.
La directriz de una curva cónica y su foco correspondiente están entre sí relacionados de tal forma que
la razón de distancias de un punto cualquiera de la curva “A” al foco y recta directriz correspondiente, es
una cantidad constante que se denomina Excentricidad.
DETERMINACIÓN DE LOS FOCOS, CONOCIENDO LOS EJES.
Trazamos los ejes perpendiculares entre sí por su
punto medio y con centro en uno de los extremos
del eje menor “C” dibujamos un arco de radio igual
al semieje mayor que corta a este en F 2 y F 1 , focos
de la elipse. Los extremos de los ejes son puntos de
la elipse por lo que los radios vectores que
concurren en C deben de sumar la longitud del eje
mayor, por ser C centro del arco de radio el semieje
mayor se verifica efectivamente que F 1 C+F 2 C=2a
TRAZADO DE ELIPSES.
A continuación estudiaremos algunos de los métodos que se pueden utilizar para trazar elipses.
CONSTRUCCIÓN DE ELIPSES CONOCIENDO LOS EJES.
A. Método de construcción por puntos.
Dibujados los ejes y determinados los focos, situamos arbitrariamente puntos entre uno de los focos y el centro de la elipse sobre el eje mayor (1, 2, 3, etc.).
Con radios A1 y B1 trazamos cuatro arcos de circunferencia de centros F1 y F2. La circunferencia de centro F1 y radio A1 y la de centro F2 y radio B1 se cortan en dos puntos de la elipse. Obtenemos dos puntos más con arcos de
igual radio pero centros alternativos (F2 para A1 y F1 para B1), simétricos de los anteriores respecto
los ejes de la elipse.
Con radios A2 y B2 procedemos de igual modo y así sucesivamente con el resto de los puntos trazados
entre el foco y el centro de la elipse. Uniendo A, B, C y D, extremos de los ejes que son también puntos
de la elipse, con los puntos obtenidos mediante plantilla de curvas, obtenemos el trazado de la elipse.
B. Método de intersección de rectas.
Trazamos paralelas a los ejes por sus extremos y
construimos un paralelogramo rectángulo de este
modo.
Dividimos el eje mayor en un número cualquiera de
partes iguales (1, 2, 3,...) y los lados del paralelográmo
paralelos al eje menor en ese mismo número de
partes.
Unimos los extremos C y D del eje menor con todas
las divisiones efectuadas sobre el eje mayor y con las divisiones efectuadas sobre los lados del
rectángulo que estén entre ellos y el eje mayor. Las intersecciones entre rectas correspondientes (eje:
D‐3, eje C‐1, lado) determinan puntos de la elipse que se delineará como en el ejercicio anterior.
C. Método de proyección de puntos.
Dibujamos dos circunferencias de diámetros iguales a
los ejes de la cónica y centro en O, trazamos varios
diámetros comunes a ambas circunferencias, por los
puntos de intersección de estos diámetros con la
circunferencia mayor (ej.: x), trazamos normales al eje
mayor y normales al eje menor donde estos diámetros
corten a la circunferencia de radio menor (ej: y), las
intersecciones correspondientes entre sí (X‐P1 y Y‐ P1)
de estas perpendiculares trazadas determinan puntos
de la elipse (P1, P2, P3, P4).
La construcción se basa en la afinidad existente entre la circunferencia de radio mayor y la elipse, donde el eje de afinidad
coincide con el mayor de la elipse y la dirección de afinidad es normal a este.
D. Mediante Circunferencia Principal.
Trazamos la circunferencia principal y uno cualquiera de sus diámetros (XY), trazamos por uno de sus
extremos una cuerda que pase por uno de los focos de la elipse (XW) y unimos el otro extremo del
diámetro Y, con el extremo W de la cuerda. La intersección de una paralela trazada por F1 al diámetro
XY, con el segmento WY, determina un punto P de la elipse, repitiendo la construcción con otros
diámetros, obtenemos otros puntos de la curva.
E. Mediante Circunferencia Focal.
2. TRAZADO DE ELIPSES CONOCIENDO LOS DIÁMETROS CONJUGADOS.
A. Construir la elipse conociendo dos diámetros conjugados.
son la excentricidad y unidad U tomadas respectivamente tenemos que efectivamente =
F X V X
1 1_._
DETERMINACIÓN DE LOS EJES DE LA ELIPSE.
A. Dados los diámetros conjugados de la elipse (AB y CD), determinar sus ejes.
Trazamos por O una perpendicular a AB y trasladamos la magnitud OA a partir de O sobre esta recta
obteniendo el punto M. Unimos M con C y trazamos una circunferencia O 1 de centro en el punto medio de MC y diámetro MC. Trazamos otra circunferencia concéntrica de la anterior y radio O 1 O que corta en N y S a la prolongación de MC. Unimos N y S con O y obtenemos las direcciones de los ejes de la elipse,
trazamos una recta OO 1 que corta en R y T a la circunferencia de centro O 1 y diámetro MC, las distancias OR y OT son iguales a las longitudes de los semiejes menor y mayor de la elipse respectivamente, trasladando estas magnitudes a partir de O obtenemos los vértices A’, B’, C’ y D’.
B. Dada una elipse, determinar sus ejes.
Trazamos dos cuerdas paralelas YX y VW y unimos sus puntos medios M y N prolongándolos hasta obtener EF,
diámetro de la elipse y cuyo punto medio O es el centro de la elipse.
Con centro en O trazamos una circunferencia que corte a la elipse, obtenemos 1, 2 y 3. Las mediatrices de 1 ‐ 2 y 2 ‐ 3 determinan las direcciones de los ejes buscados.
TRAZADO DE RECTAS TANGENTES A LA
ELIPSE.
POR UN PUNTO DE LA ELIPSE.
A. Mediante Circunferencia Focal.
Dada la elipse y el punto T por donde tenemos que trazar la recta tangente.
Trazamos los radios vectores que contienen a T y prolongamos uno de ellos (F 2 T), la bisectriz de F 1 T y la
prolongación de F 2 T es la tangente buscada.
Por definición, la recta tangente a una elipse en un punto de
ella es la bisectriz del ángulo suplementario al formado por los radios vectores en ese punto.
Según vimos, el foco F 1 es simétrico de X si
consideramos como eje de simetría la propia
recta tangente obtenida, siendo X un punto de la
circunferencia focal de centro F2.
Según esto, podemos obtener X (intersección de
F 2 T y la circunferencia focal de centro F 2 ) y trazar
la mediatriz de F 1 X que será la tangente buscada.
B. Mediante Circunferencia Principal.
Por el punto T dado, trazamos una perpendicular
al eje mayor que determina en su prolongación T’
sobre la circunferencia principal. Trazamos una
recta tangente a la circunferencia principal por T’
que corta en n a la prolongación del eje mayor. La
recta nT es la tangente buscada.
La construcción se basa en la afinidad
entre la circunferencia y la elipse, T y T’ son afines siendo el eje mayor el de afinidad, la dirección T’T y n un punto doble.
DESDE UN PUNTO EXTERIOR.
Mediante Circunferencia Focal.
Trazamos una circunferencia de centro P, punto exterior dado y radio PF 1 o PF 2 (según trabajemos con la circunferencia focal de centro F 2 o F 1 , respectivamente) que cortará a la circunferencia focal
correspondiente en los puntos X e Y. Si trabajamos con la circunferencia focal de centro F 1 , las mediatrices de los segmentos XF 2 y XF 1 son las rectas tangentes de la
elipse desde P buscadas. Los puntos de tangencia T 1 y T 2 de estas tangentes, con la elipse, están en la
intersección de los segmentos F 1 X y F 2 X con la propia elipse. Trabajando con la circunferencia focal de
centro F 2 , obtenemos las mismas soluciones
TRAZADO DE PARÁBOLAS
A. CONOCIENDO LA DIRECTRIZ Y EL FOCO.
1 er^ método.
Determinamos V, punto de la curva, en el punto medio del segmento FB. Graduamos el eje a partir de F y en sentido opuesto a V en cualquier número de partes iguales o no, por donde trazamos normales al eje. Con centro en F y
radio 1B trazamos una circunferencia que corta en 1’ y 1”, puntos de la parábola, la normal correspondiente a 1. Procedemos de igual modo para los puntos restantes incluido el propio F y
unimos los puntos así obtenidos a mano alzada.
2º método.
Determinamos V y por V trazamos la tangente a la curva (paralela a la directriz), llevando sobre ella el semiparámetro en A. Trazamos la mediatriz del segmento AF y obtenemos el
punto O sobre la prolongación del eje. Trazamos, con centro en O una circunferencia de radio OF que corta al eje y determina el punto C. Graduamos el eje en partes iguales (1, 2, 3...), por donde trazamos normales al eje.
Dibujamos circunferencias de diámetros C1, C2, C3..., estas, cortan a la tangente trazada por V a la curva, en los puntos 1a, 2a, 3a.... desde donde trazamos paralelas al eje hasta cortar a las rectas normales al eje
correspondientes en 1’ y 1”, 2’ y 2” etc.. puntos de la parábola. Trazamos a mano alzada o con plantilla de curvas.
En cualquiera de los dos métodos descritos se
verifica que cualquier punto de la curva equidista del foco y del eje.
B. CONOCIENDO EL VÉRTICE, EL EJE Y UN PUNTO DE LA
CURVA.
Conocido el eje E, el vértice V y un punto P de la curva, trazamos por P y
V perpendiculares al eje y por P una paralela, obtenemos de este modo
el paralelogramo VAPB, trazamos otro paralelogramo simétrico de este
respecto al eje, CMVA. Dividimos en partes iguales los segmentos
paralelos al eje y en el doble número de partes, también iguales, el
segmento BC, las primeras divisiones las unimos con V y por el resto trazamos paralelas al eje. Donde se
cortan las correspondientes (ver el dibujo) obtenemos puntos de la curva.
TRAZADO DE RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA.
Por un punto de la curva.
Uniendo A dado con el foco y con la directriz según
una perpendicular, obtenemos el ángulo FAP, su
bisectriz es la recta tangente buscada en A.
El punto P perteneciente a la directriz (circunferencia focal en la parábola, de radio infinito) es siempre simétrico de F
respecto de la tangente trazada, como sucedía en la elipse (la circunferencia focal es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de las rectas
tangentes trazadas a la curva). Conociendo F, A y la directriz podemos trazar la tangente, pues P está en el pié de la normal trazada a la directriz desde A (en la elipse P está en la intersección de la circunferencia focal con la prolongación del radio vector que contiene al punto A y al propio
centro de la circunferencia focal).
Desde un punto exterior.
Como en la elipse, trazamos una circunferencia de centro en A dado y radio AF que determina X e Y
sobre la circunferencia focal (directriz en la parábola), trazamos perpendiculares a la directriz (buscando el centro de la circunferencia focal, en el infinito), y obtenemos en su intersección con la curva los puntos T1 y T2 de tangencia. Las
mediatrices de XF e YF son las tangentes buscadas8 en cualquier caso, X e Y simétricos de F respecto de las tangentes trazadas).
Se denominan radios vectores (r 1 y r 2 ) a los segmentos F 1 P y F 2 P, siendo P un punto de la curva. Su
diferencia es constante para cualquier punto de la curva e igual a la magnitud del eje mayor (r 1 ‐ r 2 = cte
=2a).
Como en la elipse, circunferencias focales son aquellas que con centro en los focos, tienen de radio la
magnitud del eje mayor 2a y circunferencia principal la que tiene su centro coincidente con el centro O
de la hipérbola y 2a de diámetro.
Se denominan asíntotas las rectas tangentes a la curva en el infinito, pasan por el centro O y cuando
forman 45º con los ejes, la hipérbola se denomina equilátera. Son dos las asíntotas y tangentes cada
una de ellas a las dos ramas simultáneamente.
El centro de curvatura en el vértice , está en la intersección del eje mayor y las normales trazadas a las
asíntotas por los puntos de intersección (x e y) de estas con una circunferencia de centro O y diámetro
F1F2.
TRAZADO DE HIPÉRBOLAS
Conociendo los vértices y los focos.
Graduamos el eje mayor arbitrariamente a partir de
uno de los focos y en sentido opuesto al centro
obteniendo 1, 2, 3… Trazamos circunferencias con
centro en F1 y radios 1A, 2A, 3A.... y circunferencias de
centro F2 y radios 1B, 2B, 3B…, los puntos de
intersección de circunferencia correspondientes, son
puntos de la hipérbola.
Operamos de igual modo para la rama izquierda de la
curva que debe ser simétrica de la derecha.
Conociendo un vértice, un foco y un punto
de la curva y O, centro.
Conocido el vértice A, el punto P de la hipérbola y el foco F2, trazamos un paralelogramo rectángulo que
pase por P y A, dividiendo sus lados BP y A4P en idéntico
número arbitrario de partes iguales. Unimos con F2 las divisiones efectuadas en el segmento BP y con A las del segmento A4P, las intersecciones correspondientes determinan puntos de la curva. Trazamos el resto de la rama derecha de igual modo a partir de un punto P’
simétrico del anterior respecto al eje mayor y la rama izquierda de la hipérbola por simetría con respecto al eje menor trazado por O dado.
TRAZADO DE RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA.
Por un punto de la curva.
Como en la elipse, el punto simétrico (M) de uno de los focos (F1),
respecto de la recta tangente, está sobre la intersección del radio vector
que une el punto T de tangencia con el otro foco (F2) y la circunferencia
focal trazada con centro en dicho foco (F2, no dibujada).
La recta tangente es por tanto bisectriz de los radios vectores que
concurren en T o mediatriz del segmento MF1.
Desde un punto exterior.
Como en la elipse, trazamos una circunferencia de centro en P dado, que pase por uno de los focos (F1), cortará a la
circunferencia focal (radio AB) trazada con centro en el otro foco (F2) en X e Y, que como sabemos son los puntos simétricos del foco F1 respecto de las rectas tangentes. Trazamos las mediatrices de los segmentos XF1 e YF1 y obtenemos las rectas tangentes buscadas. Los puntos de
tangencia se encuentran en la intersección de la curva y la prolongación de los segmentos XF2 e YF2.
Paralelas a una dirección dada
Trazamos la circunferencia focal de centro
en uno de los focos (F2) y por el otro una
perpendicular a la dirección r dada que
cortará a la circunferencia en los puntos X e
Y, simétricos de F1 si tomamos como ejes
de simetría las rectas tangentes solución.
Las mediatrices de los segmentos XF1 e YF
son las tangentes buscadas. Los puntos de
tangencia se encuentran intersección de la
hipérbola y las prolongaciones de los
segmentos XF2 e YF2.
