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Curvas en el espacio.
Toda curva en el espacio R
n se puede considerar como la imagen de una funci´on
vectorial
r : [a, b] → R
n , r(t) = (x 1 (t),... , xn(t)),
que recibe el nombre de parametrizaci´on de la curva. Los puntos r(a) y r(b) son los
extremos inicial y final de la curva. En el caso de que r(a) = r(b), diremos que la
curva es cerrada.
Decimos que dos funciones ϕ : [a, b] → R
n y ψ : [α, β] → R
n son equivalentes si existe
una funci´on λ : [a, b] → [α, β] biyectiva y continua tal que ψ ◦ λ = ϕ. La funci´on λ
recibe el nombre de cambio de par´ametro.
Dos funciones equivalentes representan parametrizaciones distintas de la misma curva
y la funci´on λ representa un cambio en la rapidez del movimiento.
- Si λ es creciente, se dice que las parametrizaciones ϕ y ψ conservan la orientaci´on
de la curva.
- Si λ es decreciente, las parametrizaciones ϕ y ψ invierten la orientaci´on de la curva.
Por ejemplo, las funciones
f 1 (t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2 π],
f 2 (t) = (cos t, − sen t), t ∈ [0, 2 π],
f 3 (t) = (cos 2t, sen 2t), t ∈ [0, π],
son equivalentes (todas ellas describen la circunferencia unidad), pero f 1 y f 3 hacen
que la curva se recorra en sentido antihorario, y f 2 en sentido horario.
Las propiedades geom´etricas de una curva pueden describirse mediante las propieda-
des de la funci´on que la describe. Definimos a continuaci´on las principales operaciones
con funciones vectoriales y enunciamos sus propiedades b´asicas, las cuales se aplican
directamente al estudio de las curvas en el espacio.
Operaciones con funciones vectoriales.
Teniendo en cuenta el hecho de que toda funci´on vectorial f : R → R
n se puede
descomponer en n funciones escalares, se pueden definir las operaciones algebraicas
con dichas funciones de manera an´aloga a las correspondientes con funciones escalares.
Dadas f, g : R → R
n y u : R → R, se definen
- Suma: f + g : R → R
n como (f + g)(t) = f (t) + g(t).
- Multiplicaci´on por una funci´on escalar: uf : R → R
n , como (uf )(t) = u(t)·f (t).
- Producto escalar: f · g : R → R
n , como (f · g)(t) = f (t) · g(t).
- Producto vectorial (para n = 3): f × g : R → R
n , como (f × g)(t) = f (t) × g(t).
- Composici´on: f ◦ u : R → R
n , como (f ◦ u)(t) = f (u(t)).
L´ımites y continuidad de funciones vectoriales.
Si f = (f 1 ,... , fn) : R → R
n es una funci´on vectorial, se define
l´ım t→t 0
f (t) =
l´ım t→t 0
f 1 (t),... , l´ım t→t 0
fn(t)
Una funci´on vectorial es continua en t 0 si l´ım t→t 0
f (t) = f (t 0 ).
Derivaci´on de funciones vectoriales.
Una funci´on vectorial f : R → R
n es derivable en t 0 si existe
f
′ (t 0 ) = l´ım t→t 0
f (t 0 + h) − f (t 0 )
h
Si f es derivable en t, entonces
df
dt
= f
′ (t) = (f
′ 1 (t),... , f^
′ n(t))^.
Dada una curva r(t) = (x 1 (t),... , xn(t)), el vector r
′ (t) (caso de ser no nulo) recibe
el nombre de vector tangente a la curva. Si r
′ (t) = 0, no se define el vector tangente
(en este caso el m´ovil est´a en reposo y puede haber un cambio brusco de direcci´on).
Denotamos por T (t) = r
′ (t)/|r
′ (t)| al vector tangente unitario.
Llamamos tambi´en recta tangente a la curva r en P 0 a la recta que pasa por el
punto P 0 = r(t 0 ) y tiene la direcci´on del vector r
′ (t 0 ). Su ecuaci´on es, por tanto,
f (λ) = r(t 0 ) + λ · r
′ (t 0 ).
Observemos que el concepto de vector unitario tangente no depende de la parame-
trizaci´on, pues si ϕ y ψ son parametrizaciones distintas de la misma curva, entonces
ψ ◦ λ = ϕ, de modo que
ϕ
′ (t) = ψ
′ (λ(t)) · λ
′ (t) =⇒
ϕ
′ (t)
|ϕ
′ (t)|
ψ
′ (λ(t)) · λ
′ (t)
|ψ
′ (λ(t))| · |λ
′ (t)|
ψ
′ (λ(t))
|ψ
′ (λ(t))|
donde el signo indica s´olo si las parametrizaciones mantienen o invierten la orientaci´on
de la curva.
d
dt
(f (t) × g(t)) = f (t) × g
′ (t) + f
′ (t) × g(t).
d
dt
(f (u(t)) = u
′ (t) · f
′ (u(t)).
- Si f es derivable y tiene longitud constante en un intervalo abierto I, entonces
f (t) · f
′ (t) = 0, ∀t ∈ I. (Basta observar que |f (t)|
2 = f (t) · f (t) = c.)
Integraci´on de funciones vectoriales.
Una funci´on vectorial f : R → R
n es integrable cuando lo son todas sus componentes.
Se define as´ı: ∫ (^) b
a
f (t) dt =
b
a
f 1 (t) dt,... ,
∫ (^) b
a
fn(t) dt
Propiedades.
- Si f : R → R
n es continua en R y g(t) =
∫ (^) t
a
f (s) ds, entonces g es derivable y
g
′ (t) = f (t), ∀t.
- Si f y |f | son integrables en [a, b], entonces
∫ (^) b
a
f (t) dt
∫ (^) b
a
|f (t)| dt.
Longitud de arcos de curvas.
Una funci´on vectorial ϕ : [a, b] → R
n se dice que es regular si ϕ ∈ C
(1) ([a, b]) y
ϕ
′ (t) 6 = 0, ∀t ∈ [a, b].
Llamamos entonces una curva regular la que admite alguna parametrizaci´on regular.
En general, una curva regular a trozos es aquella que admite una parametrizaci´on ϕ
regular a trozos, es decir cuando existe una partici´on P de [a, b] tal que la restricci´on
de ϕ a cada subintervalo abierto de P es regular. Por ejemplo, la poligonal ϕ(t) =
(t, |t − 1 |), t ∈ [0, 2], y la astroide x
2 / 3
2 / 3 = 1 son curvas regulares a trozos.
Una aplicaci´on λ : [a, b] → [α, β] es un cambio regular de par´ametro si
i) λ es biyectiva.
ii) λ ∈ C
(1) [a, b].
iii) |λ
′ (t)| > 0, ∀t ∈ (a, b).
Por ejemplo, ϕ(t) = (t
3
3 |), t ∈ [− 1 , 1], y ψ(t) = (t, |t − 1 |), t ∈ [0, 2], son
parametrizaciones de la curva y = |x − 1 | y la funci´on λ(t) = t
3
un cambio regular pues λ
′ (0) = 0.
Esto es debido a que ϕ no es una parametrizaci´on regular pues ϕ
′ (0) = (0, 0).
Proposici´on. Sean ϕ, ψ dos parametrizaciones equivalentes, con ψ ◦ λ = ϕ.
a) Si ψ es regular y λ un cambio regular de par´ametro, entonces ϕ es regular.
b) Si ϕ, ψ son regulares, entonces λ es un cambio regular.
La curva C es simple cuando ϕ es inyectiva (salvo quiz´as en los extremos). As´ı, por
ejemplo, la curva definida por la funci´on ϕ 1 (t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2 π], es simple
pero si definimos ϕ 2 (t) = (cos 2t, sen 2t), t ∈ [0, 2 π], entonces la curva obtenida no es
simple.
Dada una curva C con vector de posici´on r(t), se define la longitud de arco de curva
entre los puntos r(a) y r(b) al supremo de las longitudes de las poligonales inscritas
a la curva entre dichos puntos, caso de existir. En este caso, se dice que la curva es
rectificable. De forma m´as precisa, podemos dar la siguiente definici´on.
Definici´on. Dada una funci´on ϕ : [a, b] → R
n , se llama variaci´on de ϕ con respecto
a una partici´on P = {t 0 , t 1 ,... , tm} de [a, b] a
V (ϕ, P ) =
m ∑
i=
|ϕ(ti) − ϕ(ti− 1 )|.
Llamamos variaci´on total de ϕ en [a, b] a
V (ϕ) = sup P
V (ϕ, P ),
caso de que exista. La funci´on ϕ es de variaci´on acotada cuando V (ϕ) < ∞. En este
caso escribiremos ϕ ∈ VA[a, b].
Por la propia definici´on, es claro que `(C) = V (ϕ).
Propiedades.
- ϕ ∈ VA[a, b] si y s´olo si cada una de sus componentes es de variaci´on acotada
en [a, b].
Basta observar que
|ϕj (ti) − ϕj (ti− 1 )|
2 ≤ |ϕ(ti) − ϕ(ti− 1 )|
2 ≤
n ∑
j=
|ϕj (ti) − ϕj (ti− 1 )|
Agrupando todo, resulta:
|(C) −
∗ | ≤ |`(C) − V (ϕ, P )| +
V (ϕ, P ) −
∑^ m
i=
|ϕ
′ (τi)| · (ti − ti− 1 )
∑^ m
i=
|ϕ
′ (τi)| · (ti − ti− 1 ) − `
∗
ε
∑^ m
i=
[|ϕ(ti) − ϕ(ti− 1 )| − |ϕ
′ (τi)| · (ti − ti− 1 )]
ε
Para acotar el t´ermino intermedio, hacemos lo siguiente:
∑^ m
i=
[|ϕ(ti) − ϕ(ti− 1 )| − |ϕ
′ (τi)| · (ti − ti− 1 )]
∑^ m
i=
∑^ n
j=
|ϕj (ti) − ϕj (ti− 1 )|^2 − |ϕ
′ (τi)| · (ti − ti− 1 )
m ∑
i=
n ∑
j=
|ϕ
′ j (si)|
2 − |ϕ
′ (τi)|
(^) · (t i −^ ti− 1 )
m ∑
i=
∑n
j=1(|ϕ
′ j (si)|
2 − |ϕ
′ j (τi)|
2 ) √ ∑n
j=1 |ϕ
′ j (si)|
2
′ (τi)|
· (ti − ti− 1 )
m ∑
i=
∑n
j=
σε 6 n(b−a)
σ/ 2
· (ti − ti− 1 ) =
ε
Ejemplo. La curva f : [0, 1] → R
2 definida por f (t) = (t, t cos π/(2t)) no es rectifi-
cable.
Para comprobarlo, basta elegir la partici´on P = { 0 , 1 /(2n), 1 /(2n − 1),... , 1 / 2 , 1 }.
Par´ametro arco.
La longitud de arco permite definir una parametrizaci´on “natural” de las curvas. Sea
pues C una curva regular y ϕ : [a, b] → R
n una parametrizaci´on regular de C. Si
llamamos a la longitud de C, podemos definir s : [a, b] → [0,] como
s(t) =
∫ (^) t
a
|ϕ
′ (u)| du.
Claramente, s(a) = 0 y s(b) = `. Por el teorema fundamental del c´alculo integral,
s
′ (t) = |ϕ
′ (t)| > 0, de modo que s es una funci´on creciente y representa un cambio
regular de par´ametro. Definimos entonces la parametrizaci´on χ : [0, `] → R
n por
χ = ϕ ◦ s
− 1 , la cual recibe el nombre de representaci´on param´etrica intr´ınseca de la
curva C.
Es f´acil demostrar ahora que |χ(u)| = 1, ∀u ∈ [0, `] (el vector tangente es unitario en
todo el recorrido de la curva).
En efecto, como χ = ϕ ◦ s
− 1 , entonces
χ
′ (u) = ϕ
′ (s
− 1 (u)) · (s
− 1 )
′ (u) =
ϕ
′ (s
− 1 (u))
s′(s−^1 (u))
ϕ
′ (s
− 1 (u))
|ϕ′(s−^1 (u))|
Ejemplo. Si ϕ(t) = (cos mt, sen mt) (0 ≤ t ≤ 2 π, m ∈ N), entonces |ϕ
′ (t)| = m, para
todo t. Basta definir s(t) = mt; de este modo, s
− 1 (u) = u/m y χ(u) = ϕ(u/m) =
(cos u, sen u) es la representaci´on intr´ınseca de la curva.
Ejercicio.
Identificar y calcular la longitud de las curvas definidas por las funciones siguientes:
(a) ϕ(t) = (t
3 − 4 t, t
2 − 4), t ∈ [− 5 / 2 , 5 /2].
(b) ϕ(t) =
t^2 1+t^2
t^3 1+t^2
, t ∈ [− 1 , 1].
(c) ϕ(t) = (t − sen t, 1 − cos t), t ∈ [0, 2 π].
(d) ϕ(t) = (cos
3 t, sen
3 t), t ∈ [0, 2 π].
(e) ϕ(t) = (|t|, |t − 1 / 2 |), t ∈ [− 1 , 1].
(f) ϕ(t) = (ch t, sh t, t), en [0, t].
(g) ϕ(t) = (cos t, sen t, t), en [0, t].
