Cuso básico primer año, Apuntes de Cálculo

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Javier Pérez González

Departamento de Análisis Matemático

Universidad de Granada

Asignatura: Cálculo

Curso: Primero

Titulación: Ingeniero de Telecomunicación

septiembre 2006

Índice general

Universidad de Granada

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Universidad de Granada

• 1. Axiomas de los números reales. Desigualdades. Principio de inducción
  • 1.1. Números reales. Propiedades algebraicas y de orden
    • 1.1.1. Desigualdades y valor absoluto
    • 1.1.2. Valor absoluto
    • 1.1.3. Ejercicios
  • 1.2. Principio de inducción matemática
    • 1.2.1. Ejercicios
• 2. Funciones reales. Funciones elementales
  • 2.1. Funciones reales
  • 2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales
    • 2.2.1. Funciones polinómicas y funciones racionales
    • 2.2.2. Raíces de un número real
    • 2.2.3. Potencias racionales
    • 2.2.4. Logaritmos
    • 2.2.5. Exponenciales
      • 2.2.5.1. Interés compuesto
      • 2.2.5.2. Crecimiento demográfico
    • 2.2.6. Función potencia de exponente real a
    • 2.2.7. Funciones trigonométricas
      • 2.2.7.1. Medida de ángulos Índice general II
      • 2.2.7.2. Funciones seno y coseno
      • 2.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno
      • 2.2.7.4. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente
    • 2.2.8. Las funciones hiperbólicas
      • 2.2.8.1. Las funciones hiperbólicas inversas
    • 2.2.9. Ejercicios
• 3. Números complejos. Exponencial compleja
  • 3.1. Operaciones básicas con números complejos
    • 3.1.1. Forma cartesiana de un número complejo
      • 3.1.1.1. Comentarios a la definición usual i = √−
      • 3.1.1.2. No hay un orden en C compatible con la estructura algebraica
    • 3.1.2. Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo
    • 3.1.3. Forma polar y argumentos de un número complejo
      • 3.1.3.1. Fórmula de De Moivre
    • 3.1.4. Raíces de un número complejo
    • 3.1.5. Ejercicios
  • 3.2. Funciones elementales complejas
    • 3.2.1. La función exponencial
    • 3.2.2. Logaritmos complejos
    • 3.2.3. Potencias complejas
    • 3.2.4. Ejercicios
• 4. Continuidad
  • 4.1. Continuidad
    • 4.1.1. Propiedades básicas de las funciones continuas
  • 4.2. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo
    • 4.2.1. La propiedad del supremo
    • 4.2.2. Ejercicios
• 5. Sucesiones
  • 5.1. Sucesiones de números reales
    • 5.1.1. Sucesión de elementos de un conjunto Índice general III
    • 5.1.2. Sucesiones convergentes
    • 5.1.3. Sucesiones monótonas
      • 5.1.3.1. El número e
    • 5.1.4. Propiedades de las sucesiones convergentes
    • 5.1.5. Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass
    • 5.1.6. Condición de Cauchy. Teorema de complitud de R
  • 5.2. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites
    • 5.2.1. Sucesiones de exponenciales y logaritmos
  • 5.3. Sucesiones de números complejos
    • 5.3.1. Ejercicios
• 6. Continuidad en intervalos cerrados y acotados. Límite funcional
  • 6.1. Máximos y mínimos absolutos. Teorema de Weierstrass
  • 6.2. Límite funcional
    • 6.2.1. Límites laterales de una función en un punto
    • 6.2.2. Límites infinitos
      • 6.2.2.1. Funciones divergentes en un punto
      • 6.2.2.2. Límites en infinito
      • 6.2.2.3. Funciones divergentes en infinito
  • 6.3. Discontinuidades. Álgebra de límites
    • 6.3.1. Clasificación de las discontinuidades
    • 6.3.2. Continuidad y monotonía
  • 6.4. Indeterminaciones en el cálculo de límites
    • 6.4.1. Límites de exponenciales y logaritmos
    • 6.4.2. Ejercicios
• 7. Derivadas
  • 7.1. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica
    • 7.1.1. Tangente a una curva
    • 7.1.2. Razón de cambio
    • 7.1.3. Derivadas laterales
    • 7.1.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación Índice general IV - valencia logarítmica 7.1.4.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio de equi-
      • 7.1.4.2. Derivabilidad de las funciones trigonométricas
      • 7.1.4.3. Derivabilidad de las funciones hiperbólicas
  • 7.2. Teoremas de Rolle y del valor medio
    • 7.2.1. Consecuencias del teorema del valor medio
    • 7.2.2. Reglas de L’Hôpital
  • 7.3. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor
  • 7.4. Consejos para calcular límites de funciones
    • 7.4.1. Límites que debes saberte de memoria
    • 7.4.2. Funciones asintóticamente equivalentes
      • 7.4.2.1. Notación de Landau
  • 7.5. Consejos para calcular límites de sucesiones
    • 7.5.1. La indeterminación 1 ∞. Sucesiones asintóticamente equivalentes
    • 7.5.2. Definición de la función exponencial compleja
  • 7.6. Extremos relativos. Teorema de Taylor
  • 7.7. Funciones convexas y funciones cóncavas
    • 7.7.1. Ejercicios
• 8. Integral de Riemann
  • 8.1. Sumas de Riemann
    • 8.1.1. Definición y propiedades básicas de la integral
    • 8.1.2. El Teorema Fundamental del Cálculo
      • 8.1.2.1. Primitivas. Regla de Barrow
    • 8.1.3. Las funciones logaritmo y exponencial
  • 8.2. Integrales impropias de Riemann
    • 8.2.1. Criterios de convergencia para integrales
    • 8.2.2. Ejercicios
  • 8.3. Técnicas de cálculo de Primitivas
    • 8.3.1. Calcular una primitiva...¿Para qué?
    • 8.3.2. Observaciones sobre la notación y terminología usuales
  • 8.3.3. Integración por partes Índice general V
  • 8.3.4. Ejercicios
    • 8.3.4.1. Integración por recurrencia
  • 8.3.5. Ejercicios
  • 8.3.6. Integración por sustitución o cambio de variable
  • 8.3.7. Ejercicios
  • 8.3.8. Integración de funciones racionales
  • 8.3.9. Ejercicios
  • 8.3.10. Integración por racionalización
    • 8.3.10.1. Integración de funciones del tipo R (sen x , cos x )
  • 8.3.11. Ejercicios - R ( x , [ L ( x )] r , [ L ( x )] s , ) d x w
    • 8.3.11.2. Integrales binomias
      • R (e x ) d x w
    • 8.3.11.4. Integración de funciones del tipo R ( x , √ ax^2 + bx + c )
  • 8.3.12. Ejercicios
• 8.4. Aplicaciones de la integral
  • 8.4.1. Cálculo de áreas planas
    • 8.4.1.1. Regiones de tipo I
    • 8.4.1.2. Regiones de tipo II
  • 8.4.2. Ejercicios
  • 8.4.3. Curvas en el plano
    • 8.4.3.1. Área encerrada por una curva
  • 8.4.4. Ejercicios
    • 8.4.4.1. Áreas planas en coordenadas polares
  • 8.4.5. Ejercicios
  • 8.4.6. Longitud de un arco de curva
  • 8.4.7. Ejercicios
  • 8.4.8. Volúmenes de sólidos
    • 8.4.8.1. Volumen de un cuerpo de revolución
  • 8.4.9. Ejercicios
    • 8.4.10. Ejercicios Índice general VI
    • 8.4.11. Área de una superficie de revolución
    • 8.4.12. Ejercicios
• 9. Series
  • 9.1. Conceptos básicos
    • 9.1.1. Serie geométrica, armónica y armónica alternada
      • 9.1.1.1. La particularidad del estudio de las series
  • 9.2. Criterios de convergencia para series de términos positivos
    • 9.2.1. Criterios de convergencia no absoluta
    • 9.2.2. Ejercicios
  • 9.3. Series de potencias
    • 9.3.1. Funciones definidas por series de potencias
      • 9.3.1.1. Convergencia de las series de Taylor
      • 9.3.1.2. Desarrollos en serie de las funciones elementales
    • 9.3.2. Ejercicios
• 10. Cálculo diferencial en R n
  • 10.1. Estructura euclídea y topología de R n
    • 10.1.1. Ejercicios
    • 10.1.2. Ejercicios
    • 10.1.3. Sucesiones en R n
  • 10.2. Campos escalares. Continuidad y límite funcional
    • 10.2.1. Curvas en R n
  • 10.3. Derivadas parciales. Vector gradiente
    • 10.3.1. Interpretación geométrica de las derivadas parciales
    • 10.3.2. Campos escalares diferenciables
  • 10.4. Rectas tangentes y planos tangentes
    • 10.4.1. Curvas en el plano
    • 10.4.2. Superficies en R
    • 10.4.3. Curvas en R
    • 10.4.4. Derivadas parciales de orden superior
  • 10.4.5. Ejercicios Índice general VII
• 10.5. Extremos relativos
  • 10.5.1. Ejercicios
• 10.6. Funciones vectoriales. Matriz jacobiana
  • 10.6.1. Derivadas parciales de funciones compuestas
  • 10.6.2. Ejercicios
• 10.7. Extremos condicionados
  • 10.7.1. Teorema de los multiplicadores de Lagrange
  • 10.7.2. Ejercicios
  • 10.7.3. Cálculo de extremos en conjuntos compactos
  • 10.7.4. Ejercicios
• 10.8. Derivación de funciones implícitamente definidas
  • 10.8.1. Teorema de la función implícita
  • 10.8.2. Ejercicios

Números reales. Propiedades algebraicas y de orden 2

indecidibles...). Todo lo que se demuestra es un teorema; por ejemplo 0 x = 0 es un teorema. Ocurre que el nombre teorema se reserva para resultados que se consideran realmente impor- tantes y que ha costado esfuerzo llegar a probarlos. Se usan también los términos: corolario , lema , proposición y otros. Pero la estructura de una teoría matemática elaborada se resume en un conjunto de axiomas y de teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia lógica. Es conveniente recordar las propiedades de los números reales porque son ellas las que nos permiten trabajar con desigualdades. Es muy fácil equivocarse al trabajar con desigualda- des. Yo creo que en el bachillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fíjate que algunos de los conceptos más importantes del Cálculo se definen mediante desigualdades (por ejemplo, la definición de sucesión convergente o de límite de una función en un punto). Por ello, tan importante como saber realizar cálculos más o menos complicados, es aprender a manejar correctamente desigualdades, y la única manera de hacerlo es con la práctica me- diante numerosos ejemplos concretos. Por supuesto, siempre deben respetarse cuidadosamente las reglas generales que gobiernan las desigualdades entre números y asegurarse de que se usan correctamente. Aparte de tales reglas no hay otros métodos generales que nos digan cómo te- nemos que proceder en cada caso particular.

1.1. Números reales. Propiedades algebraicas y de orden

Como todos sabéis se distinguen distintas clases de números: Los números naturales 1,2,3,.... El conjunto de todos ellos se representa por N. Los números enteros ...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa por Z. Los números racionales que son cocientes de la forma p / q donde p ∈ Z, q ∈ N, cuyo conjunto representamos por Q. También conocéis otros números como √ 2 , π, o el número e que no son números racionales y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, "números irracionales". Pues bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto de los números reales y se representa por R. Es claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Aunque los números que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece la pena, al menos por ahora, preocuparse por cómo son estos números; sino que lo realmente interesante es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del número √ 2 es que su cuadrado es igual a 2. Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeño grupo de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacar estas propiedades básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pue- den hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números reales x , y se escribe x + y , representándose el producto por xy. Las propiedades básicas a que nos referimos son las siguientes.

P1 [Propiedades asociativas] ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ; ( x y ) z = x ( y z ) para todos x , y , z en R.

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Desigualdades y valor absoluto 3

P2 [Propiedades conmutativas] x + y = y + x ; x y = yx para todos x , y en R.

P3 [Elementos neutros] El 0 y el 1 son tan importantes que enunciamos seguidamente sus propiedades: 0 + x = x ; 1 x = x para todo x ∈ R.

P4 [Elementos opuesto e inverso] Para cada número real x hay un número real llamado opues- to de x , que representamos por − x , tal que x + (− x ) = 0. Para cada número real x distinto de 0 , x , 0 , hay un número real llamado inverso de x , que representamos por x −^1 , tal que xx −^1 = 1. P5 [Propiedad distributiva] ( x + y ) z = xz + y z para todos x , y , z en R.

Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunque son muy sencillas, a partir de ellas pueden probarse cosas tan familiares como que 0 x = 0 , o que (− x ) y = −( xy ). Pero los números tienen, además de las propiedades algebraicas, otras propiedades que suelen llamarse propiedades de orden. Como todos sabemos, los números suelen representarse como puntos de una recta en la que se fija un origen, el 0 , de forma arbitraria. Los números que hay a la derecha de 0 , se llaman positivos y el conjunto de todos ellos se representa por R+. Las propiedades básicas del orden son las siguientes.

P6 [Ley de tricotomía] Para cada número real x se verifica que o bien es x = 0 , o bien x es posi- tivo, o bien su opuesto − x es positivo.

P7 [Estabilidad de R+ ] La suma y el producto de números positivos es también un número positivo.

Suele escribirse x − y en vez de x + (− y ). También, supuesto y , 0 , se escribe x / y o x y en vez de x y −^1. Los opuestos de los números positivos, es decir los elementos del conjunto R−^ = {− x : x ∈ R+}, se llaman números negativos. Nótese que el 0 no es positivo ni negativo. Para x , y ∈ R escribimos x < y (léase x es menor que y ) o y > x (léase y es mayor que x ) para indicar que y − x ∈ R+, y escribimos x 6 y o y > x para indicar que y − x ∈ R+^ ∪ { 0 }. En adelante usaremos las notaciones: R+ o = R+^ ∪{ 0 }, R− o = R−^ ∪{ 0 } y R∗^ = R\ { 0 }. Nótese que si x ∈R−^ entonces − x ∈R+.

1.1.1. Desigualdades y valor absoluto

1.1 Teorema ( Reglas para trabajar con desigualdades ). Sean x , y , z números reales.

1. x 6 y e y 6 z implican que x 6 _z.

2. x_ 6 y e y 6 x implican que x = _y.
3. Se verifica exactamente una de las tres relaciones: x_ < y, x = y, o y < x. 4. x < y implica que x + z < y + _z.
4. x_ < y , z > 0 implican que xz < y z.

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Principio de inducción matemática 5

2. Calcula para qué valores de x se verifica que: i) (^2) xx +^ − 2 3 < 13 ii) (^1) x + (^1) −^1 x > 0 iii) x^2 − 5 x + 9 > x iv) x^3 ( x − 2 )( x + 3 )^2 < 0 v) x^2 6 x vi) x^3 6 x vii) x^2 − ( a + b ) x + ab < 0 viii) 3 ( x − a ) a^2 < x^3 − a^3 < 3 ( x − a ) x^2 3. Prueba las siguientes desigualdades: i) 0 < x + y − x y < 1 siempre que 0 < x < 1 , 0 < y < 1. ii) (^1) x + (^) a + 1 b − x < (^1) a + (^1) b siempre que 0 < a < x < b. 4. Calcula para qué valores de x se verifica que: i) | x − 5 | < | x + 1 | ii) | x − 1 | | x + 2 | = 3 iii) ∣∣ x^2 − x ∣∣^ > 1 iv) | x − y + z | = | x | − | z − y | v) | x − 1 | + | x + 1 | < 1 vi) | x + y + z | = | x + y | + | z | vii) | x | − | y | = | x − y | viii) | x + 1 | < | x + 3 | 5. Dado que s t < u v < x y donde t , v , y ∈ R+, prueba que s t < s t ++^ uv^ ++ yx < x y. Generaliza este resul- tado. 6. Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso, cuándo se da la igualdad. i) 2 x y 6 x^2 + y^2. ii) 4 x y 6 ( x + y )^2. iii) x^2 + x y + y^2 > 0. iv) ( a^2 + a + 1 )( b^2 + b + 1 )( c^2 + c + 1 ) > 27 abc donde a > 0 , b > 0 , c > 0. Sugerencia: para probar i) considérese ( x − y )^2. Las demás desigualdades pueden dedu- cirse de i). 7. Demuestra los teoremas (1.1) y (1.2).

1.2. Principio de inducción matemática

El Principio de inducción matemática es un método que se usa para probar que ciertas pro- piedades matemáticas se verifican para todo número natural. Considera, por ejemplo, la si- guiente igualdad en la que n ∈ N:

12 + 22 + 32 + · · · + n^2 = 16 n ( n + 1 )( 2 n + 1 )

Si le damos a n un valor, por ejemplo n = 8 , podemos comprobar fácilmente que la igualdad co- rrespondiente es cierta. Si le damos a n el valor 1000 ya no es tan fácil comprobar esa igualdad y se le damos a n el valor 101000 la cosa ya se pone realmente difícil. Pero nosotros queremos

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Principio de inducción matemática 6

aún más, no nos conformamos con probar que esa igualdad es cierta para unos cuantos miles o millones de valores de n ; no, queremos probar que es válida para todo número natural n. En estos casos es el Principio de inducción matemática el que viene en nuestra ayuda para salvar- nos del apuro. Para nosotros el principio de inducción matemática es algo que aceptamos, es decir, puedes considerarlo como un axioma de la teoría que estamos desarrollando (aunque su formulación lo hace “casi evidente”). Principio de inducción matemática. Sea A un conjunto de números naturales, A ⊆ N, y supon- gamos que: i) 1 ∈ A ii) Siempre que un número n está en A se verifica que n + 1 también está en A. Entonces A = N.

El Principio de Inducción Matemática es la herramienta básica para probar que una cierta pro- piedad P ( n ) es verificada por todos los números naturales. Para ello se procede de la siguiente forma:

A) Comprobamos que el número 1 satisface la propiedad, esto es, que P ( 1 ) es cierta. B) Comprobamos que si un número n satisface la propiedad, entonces también el número n + 1 la satisface. Es decir comprobamos que si P ( n ) es cierta, entonces también lo es P ( n + 1 ).

Observa que en B) no se dice que se tenga que probar que P ( n ) es cierta, sino que hay que demostrar la implicación lógica P ( n ) =⇒ P ( n + 1 ).

Si definimos el conjunto A = { n ∈ N : P ( n ) es cierta}, entonces el punto A) nos dice que 1 ∈ A , y el punto B) nos dice que siempre que n está en A se verifica que n + 1 también está en A. Concluimos que A = N, o sea, que P ( n ) es cierta para todo número natural n.

1.3 Ejemplo. Para cada número natural n , sea P ( n ) la proposición “si el producto de n números positivos es igual a 1 , entonces su suma es mayor o igual que n”.

Demostraremos por inducción que P ( n ) es verdadera para todo n ∈ N. Trivialmente P ( 1 ) es verdadera. Supongamos que P ( n ) es verdadera. Consideremos n + 1 números positivos no todos iguales a 1 cuyo producto sea igual a 1. En tal caso alguno de dichos números, llamémosle x 1 , tiene que ser menor que 1 y otro, al que llamaremos x 2 , tiene que ser mayor que 1. Notando x 3 , · · · , xn + 1 los restantes números se tiene que: ( x 1 x 2 ) x 3 · · · xn + 1 = 1 es decir, x 1 x 2 , x 3 , · · · , xn + 1 son n números positivos con producto igual a 1 por lo que: x 1 x 2 + x 3 + · · · + xn + 1 > n ( 1 ) y como 0 < ( 1 − x 1 )( x 2 − 1 ), tenemos que: x 1 + x 2 > 1 + x 1 x 2 ( 2 ) De ( 1 ) y ( 2 ) se sigue que: x 1 + x 2 + x 3 + · · · + xn + 1 > n + 1

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Ejercicios 8

Demostración. Para n = 1 la igualdad del enunciado es trivialmente verdadera. Supongamos que dicha igualdad se verifica para n ∈ N. Entonces:

( a + b ) n +^1 = ( a + b )( a + b ) n^ = ( a + b )

[ (^) ∑ n k = 0

( n k

an − kbk

]

∑^ n k = 0

( n k

an +^1 − kbk^ + ∑^ n k = 0

( n k

an − kbk +^1 =

= ∑^ n k = 0

( n k

an +^1 − kbk^ + ∑^ n +^1 k = 1

( (^) n k − 1

an +^1 − kbk

= an +^1 + bn +^1 + ∑^ n k = 1

[( n k

( (^) n k − 1

)]

an +^1 − kbk^ =

= ∑^ n +^1 k = 0

( n + 1 k

an +^1 − kbk

Lo que prueba la validez de la igualdad para n + 1. En virtud del principio de inducción, con- cluimos que la igualdad del enunciado es cierta para todo n ∈ N.  La inducción matemática es un proceso demostrativo. Considera la expresión 991 n^2 + 1. Si la evalúas para n = 1 , 2 , 3 ,... , 10000000 ,... no creo que consigas obtener valores de 991 n^2 + 1 que sean cuadrados perfectos. ¿Debemos concluir que para todo número natural n se verifica que 991 n^2 + 1 no es un cuadrado perfecto? Pues no. Entre los números de la forma 991 n^2 + 1 hay cuadrados perfectos... ¡El valor mínimo de n para el cual 991 n^2 + 1 es un cuadrado es n = 12055735790331359447442538767! Con eso te indico que hay que ser precavido: no basta comprobar la veracidad de una afir- mación para unos cuantos valores de n para concluir que es cierta para todo n. La historia de las matemáticas está llena de este tipo de errores.

1.2.1. Ejercicios

8. Demuestra que 3 n^ − 1 es divisible por 2 para todo n ∈ N. 9. Demuestra que cualquier conjunto de número naturales, con un número finito de ele- mentos, contiene un número natural máximo. 10. Demuestra que la fórmula 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2 n = n^2 + n + 2 cumple con el segundo paso del principio de inducción matemática. Esto es, si la fórmula es verdadera para n , también lo es para n + 1. Sin embargo, esta fórmula no es válida para n = 1. ¿Qué deduces de esto? 11. Teorema del mapa de dos colores: si se traza en una hoja de papel líneas rectas que em- piezan y terminan en un borde de la hoja, este mapa puede ser coloreado con sólo dos colores sin que ninguna región adyacente tenga el mismo color.

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Ejercicios 9

12. ¿Dónde está el error en el siguiente razonamiento? A) En un conjunto formado por una única niña, todas los niñas de dicho conjunto tienen el mismo color de ojos. B) Supongamos que para todo conjunto formado por n niñas se verifica que todas las niñas del conjunto tienen el mismo color de ojos. Consideremos un conjunto formado por n + 1 niñas. Quitamos una niña del conjunto y nos queda un conjunto formado por n niñas, las cuales, por la hipótesis de inducción, tie- nen el mismo color de ojos. Ahora devolvemos al conjunto la niña que habíamos sacado y sacamos otra. Volvemos a razonar como antes y deducimos que la niña que habíamos sa- cado también tiene el mismo color de ojos que las demás n niñas del conjunto. Por tanto las n + 1 niñas tienen todas ellas igual color de ojos. Como hay una niña con ojos azules, deducimos que todas las niñas tiene ojos azules. 13. Prueba que para todo n ∈ N se verifica que: 1. Todos los números de la forma n^3 + 5 n son múltiplos de 6. 2. Todos los números de la forma 32 n^ − 1 son múltiplos de 8. 3. Todos los números de la forma n^5 − n son múltiplos de 5. 4. 3 no divide a n^3 − n + 1 , 5. 1 + 12 + 13 + 14 + · · · + (^21) n > 1 + n 2 6. 1 + (^1 1) · 3 + (^31) · 5 + (^5 1) · 7 + · · · + (^) ( 2 n − 1 )(^12 n + 1 ) = (^2) nn + 1 14. Dados n números positivos a 1 , a 2 ,... , an prueba que: i) a a^12 + a a^23 + · · · + an a − n^1 + a an 1 > n ; ii) (^1) / a 1 + 1 / a 2 n + · · · + 1 / an 6 n

a 1 a 2 · · · an ;

iii) ( a 1 + a 2 + · · · + an )

a 1 +^

a 2 +^ · · ·^ +^

an

n^2. ¿Cuándo las desigualdades anteriores son igualdades? Sugerencia: Usar la desigualdad de las medias aritmética y geométrica.

15. Utiliza la desigualdad de las medias para probar que: abn^ <

( (^) a + nb n + 1

) n + 1 siendo a > 0 , b > 0 , a , b , y n ∈ N. Deduce que para todo número natural n se verifica que: ( 1 + (^1) n

) n <

1 + (^) n +^1

) n + 1 , y

1 + (^) n +^1

) n + 2 <

1 + (^1) n

) n + 1

16. Sea q ∈ N y a > 0. Prueba que el número n

q ( 1 + a ) n^ es muy pequeño si^ n^ es muy grande.

17. Prueba que entre todos los rectángulos de perímetro dado el de mayor área es el cuadrado.

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez

Lección 2

Funciones reales. Funciones elementales

En este curso se supone que ya tienes un conocimiento intuitivo de las funciones elementa- les (exponencial, logaritmo natural, trigonométricas). En esta lección vamos a hacer un estudio descriptivo de dichas funciones, es decir, no vamos a dar definiciones rigurosas de las mismas y nos limitaremos a recordar sus propiedades más importantes.

2.1. Funciones reales

Las funciones son las herramientas principales para la descripción matemática de una situa- ción real. Todas las fórmulas de la Física no son más que funciones: expresan cómo ciertas magnitudes (por ejemplo el volumen de un gas) dependen de otras (la temperatura y la pre- sión). El concepto de función es tan importante que muchas ramas de la matemática moderna se caracterizan por el tipo de funciones que estudian. No es de extrañar, por ello, que el con- cepto de función sea de una gran generalidad. Además, se trata de uno de esos conceptos cuyo contenido esencial es fácil de comprender pero difícil de formalizar.

La idea básica de función es la siguiente. Supongamos que tenemos dos conjuntos A y B ; una función de A en B es una regla que a cada elemento de A asocia un único elemento de B.

En este curso estamos interesados principalmente en funciones entre conjuntos de números reales, es decir, A y B son subconjuntos de R; con frecuencia B = R. Estas funciones se llaman funciones reales de una variable real. En lo que sigue nos referiremos solamente a este tipo de funciones y, si no se especifica otra cosa, se entiende que B = R. Por tanto, para darnos una función nos deben decir, en principio, el subconjunto A de R donde suponemos que la función está definida y la regla que asigna a cada número de A un único número real. El conjunto A recibe el nombre de dominio de la función.

Las funciones se representan por letras. En la práctica las letras más usadas son f , g y h , pero cualquiera otra es también buena. Si f es una función y x es un número que está en su dominio, se representa por f ( x ) (léase “ f de x ”) el número que f asigna a x , que se llama imagen de x por

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Funciones reales 12

f. Es muy importante en este curso distinguir entre f (una función) y f ( x ) (un número real).

Es importante advertir que las propiedades de una función depende de la regla que la define y también de su dominio , por ello dos funciones que tienen distintos dominios se consideran distintas funciones aunque la regla que las defina sea la misma.

Criterio de igualdad para funciones. Dos funciones f y g son iguales cuando tienen igual do- minio y f ( x ) = g ( x ) para todo x en el dominio común.

Notemos también que aunque estamos acostumbrados a representar a las funciones mediante fórmulas , no siempre es posible hacerlo.

El símbolo f : A → R se utiliza para indicar que f es una función cuyo dominio es A (se supone, como hemos dicho antes, que A es un subconjunto de R)

Veamos unos ejemplos sencillos.

a) Sea f : R → R la función dada por f ( x ) = x^2. b) Sea g : R+^ → R la función dada por g ( x ) = x^2.

c) Sea h : R → R la función dada por: h ( x ) =

{ 0 , si x ∈ Q 1 , si x ∈ R \ Q

d) Sea f ( x ) = x^3 x + (^2 5) − x^ 1 +^6

Según lo antes dicho, las funciones en a) y b) son distintas. Nótese que la función definida en b) es creciente y la definida en a) no lo es.

La función definida en c) es llamada función de Dirichlet. Nótese que no es fácil calcular los valores de dicha función porque no siempre se sabe si un número real dado es racional o irra- cional. ¿Es e +π racional? Pese a ello la función está correctamente definida.

En d) no nos dan explícitamente el dominio de f por lo que se entiende que f está definida siempre que f ( x ) tenga sentido, es decir, siempre que, x^2 − 1 , 0 , esto es, para x ± 1.

El convenio del dominio. Cuando una función se define mediante una fórmula f ( x ) = fórmula y el dominio no es explícito, se entiende que el dominio es el mayor conjunto de valores de x para los cuales la expresión f ( x ) tiene sentido como número real. Éste es el llamado dominio natural de la función. Si queremos restringir el dominio natural de alguna manera, entonces debemos decirlo de forma explícita. Usaremos la notación dom ( f ) para representar el dominio de una función f (dicho dominio puede ser el natural o un subconjunto del mismo). El conjunto de todos los valores que toma una función, { f ( x ) : x ∈ dom ( f )}, suele llamarse rango o recorrido de f , o simplemente, la imagen de f y lo representaremos por imagen ( f ).

Ocurre que el dominio natural de muchas funciones es un intervalo o la unión de varios inter-

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