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Determine el volumen del solido restando dos volúmenes. Ejercicio 35: El sólido encerrado por los cilindros parabólicos (^) y= 1 −x^2 , y=x^2 − 1 y los planos x + y + z= 2 , 2 x + 2 y−z+ 10 = 0 1 −x 2 =x 2 − 1 x=± 1 − 1 ≤ x ≤ 1 x 2 − 1 ≤ y ≤−x 2 z= 2 −x− y z= 10 + 2 x + 2 y
V =∫
− 1 1
x^2 − 1 1 −x^2
( 10 + 2 x+ 2 y ) dy dx−¿∫
− 1 1
x^2 − 1 1 −x^2 ( 2 −x− y ) dy dx ¿
− 1 1
x^2 − 1 1 −x^2 ( 8 + 3 x + 3 y ) dy dx
− 1 1 (^8 y+^3 xy^ +^ 3 y 2 2 )^
x^2 − 1 1 − x^2 dx ∫ − 1 1
( 16 − 16 x^2 + 6 x− 6 x^3 ) dx
Trace el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada. Ejercicio 39: (^) ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x ( 1 −x− y ) dy dx z=f ( x , y ) f ( x , y )= 1 −x− y REGIÓN D: {( x , y ) ∈ D| 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 −x|}
x + y +z= 1 ∴ La imtegral llega a representar el volumen de lafigura que se encuentra en el primer octante Trace la región de integración y cambie el orden de integración.
Ejercicio 45: ∫
0 1
0 y f ( x , y ) d x d y REGIÓN D: {( x , y )| 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1 |} D={( x , y )|x ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ 1 |}
∬f^ (^ x^ ,^ y^ )^ d^ A
0 1
x 1 f ( x , y ) dy dx Evalúe la integral invirtiendo el orden de integración.
Ejercicio 51: ∫
0 1
3 y 3 e x^2 d x d y
[
e u ] 0 9 1 6 e 9 −
e 0 = e 9 − 1 6
PÁG. 1 014 – COORDENADAS POLARES
Evalúe la integral dada cambiando a coordenadas polares. Ejercicio 7: donde (^) D es la mitad superior del disco con centro en el origen y radio 5 D={( r ,θ )| 0 ≤ r ≤ 5 , 0 ≤ θ ≤ π|} x=r cosθ y=r senθ
∬ x
(^2) ydA=
0 π
0 5
( r^2 cos^2 θ) ( rsenθ ) r dr dθ
0 π cos 2
θsenθ dθ∗∫
0 5 r 4 dr d dθ
( cos
3
θ) =− 3 cos
2 θsenθ [
co s 3 θ ] 0 π ∗ [
r 5 ] 0 5 [
3 ] ∗[ 5 4 − 0 ]=
