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Cap´ıtulo 2
Derivaci´on de Funciones
La derivada es la formalizaci´on matem´atica del concepto de velocidad. Puesto que utilizamos funciones para representar fen´omenos que evolucionan con respecto al tiempo, la derivada ser´a fundamental para analizar distintos aspectos de esos fen´omenos. En este tema exponemos los aspectos fundamentales del c´alculo diferencial.
2.1 Concepto de derivada
El modelo que ofrece una visi´on m´as clara del significado de la derivadas es probablemente el modelo f´ısico de la velocidad de un cuerpo. Supongamos que nos desplazamos desde la ciudad A hasta la B utilizando un autom´ovil. Llamaremos e(t) a la cantidad de kil´ometros que hemos recorrido durante las primeras t horas. Si nuestro viaje viaje dura b horas, para cada instante de tiempo, t, entre 0 y b, dispondremos de un valor para la funci´on e. Dicho de otro modo, tenemos una funci´on
e : [0, b] → R t 7 → e(t) = Kil´ometros recorridos hasta la hora t
Tomemos un instante t 0 y supongamos que a partir de la informaci´on que proporciona la funci´on e pre- tendemos calcular la velocidad a la que circul´abamos justo en ese instante t 0. Si realizamos el calculo
e(b) − e(t 0 ) b − t 0
obtendremos la velocidad media en el intervalo de tiempo [t 0 , b]. Pero esto no nos proporciona el dato que buscamos ya que durante ese espacio de tiempo la velocidad no ha sido constante. Podr´ıamos tomar como referencia un per´ıodo menor, digamos desde t 0 hasta cierto momento posterior, t. Sin embargo, por muy pr´oximo que tomemos t a t 0 , el cociente e(t) − e(t 0 ) t − t 0
no ser´a m´as que la media de las velocidades en el intervalo (t 0 , t) que a lo sumo nos servir´a para aproximar el valor del dato exacto que buscamos. En realidad, a medida que t se aproxima a t 0 obtenemos respuestas cada vez m´as pr´oximas a la real pero nunca exactas. La respuesta correcta la obtendr´ıamos si pudi´eramos tomar t 0 igual a t de modo que el intervalo de referencia (t 0 , t) no introdujera errores. Es evidente que esto ´ultimo no es posible pero, en su lugar, podemos calcular
lim t→t 0
e(t) − e(t 0 ) t − t 0
Este l´ımite nos proporciona la velocidad instant´anea justo en el instante t 0 que quer´ıamos encontrar. Dicho l´ımite es lo que llamaremos derivada de la funci´on e en el punto t 0.
Con esta idea en mente veamos ya una definici´on formal de derivada para una funci´on en un punto.
Definici´on 1. Dada f : D → R:
i) Diremos que f es derivable en x 0 ∈ Ac(D) y que su derivada en tal punto es L ∈ R si se verifica que
lim x→x 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
= L.
En tal caso escribiremos f ′(x 0 ) = L ´o
df dx (x 0 ) = L.
Si el l´ımite anterior no existe o es ±∞, diremos que la funci´on f no es derivable en el punto x 0.
ii) Dado un subconjunto H ⊆ D, decimos que f es derivable en H si es derivable en todos los puntos de H. Si f es derivable en D (en todo su dominio) diremos que f es una funci´on derivable.
iii) Sea f : D → R una funci´on real y sea
D 1 = {x ∈ D : f es derivable en x}.
Si D 1 6 = ∅, llamaremos funci´on derivada de la funci´on f a la funci´on
f ′^ : D 1 → R x 7 → f ′(x)
Pudiera ser que el l´ımite de la derivada no existiera pero que s´ı dispusi´eramos de los l´ımites laterales. Entonces hablaremos de derivadas laterales de la funci´on.
Definici´on 2.
i) Si x 0 ∈ Ac−(D), decimos que la funci´on f es derivable por la izquierda en x 0 y que el valor de la derivada por la izquierda de f en x 0 es L ∈ R, si existe el l´ımite
lim x→x− 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
= L.
ii) Si x 0 ∈ Ac+(D), decimos que la funci´on f es derivable por la derecha en x 0 y que el valor de la derivada por la derecha de f en x 0 es L ∈ R, si existe el l´ımite
lim x→x+ 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
= L.
Al igual que sucede para la continuidad, una funci´on podr´a ser derivable solo en aquellos puntos en los que est´e definida.
Ejemplo 3. Sabemos que, dados los n´umeros reales a y b, una funci´on del tipo
f (x) = ax + b
es un polinomio de grado 1 que se representa siempre como una recta. Veamos c´omo el c´alculo de la derivada para una recta se realiza sin mayor dificultad aplicando directamente la definici´on.
En efecto, tomemos un punto cualquiera x 0 ∈ R e intentemos calcular la derivada de la funci´on f en x 0 , f ′(x 0 ). Seg´un la definici´on tenemos que
f ′(x 0 ) = lim x→x 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
= lim x→x 0
ax + b − (ax 0 + b) x − x 0
= lim x→x 0
a(x − x 0 ) x − x 0
= lim x→x 0 a = a.
Sabemos que la derivada de la funci´on f es la velocidad de variaci´on de f (x) con respecto a x. Tenemos:
f (x) = n´umero de empleados x = d´ıas
⇒ f ′(x) =
empleados d´ıa
Por tanto, f ′(x) es la variaci´on de empleados (contratos o despidos) por d´ıa en el d´ıa x.
La funci´on derivada de f es
f ′(x) =
πsen
2 πx 365
Entonces, por ejemplo:
- f ′(50) = 13. 0536 ⇒ En el d´ıa x = 50, la velocidad de contrataci´on fue de 13.0536 empleados/d´ıa. Por tanto en el d´ıa 50 se contrataron aproximadamente 13.0536 empleados.
- f ′(182) = 0. 148163 ⇒ En el d´ıa x = 182, la velocidad de contrataci´on fue de 0.148163 empleados/d´ıa. Por tanto el d´ıa 182 se contrataron aproximadamente 0.148163 empleados.
- f ′(260) = − 16. 7342 ⇒ En el d´ıa x = 260, la velocidad de contrataci´on fue de − 16 .7342 empleados/d´ıa. Por tanto el d´ıa 260 se produjeron aproximadamente 16.7342 despidos.
La gr´afica de la funci´on derivada nos permite tener una idea de la evoluci´on del n´umero de empleados contratados diariamente:
50 100 150 200 250 300 350
5
10
15
V´ease que durante los primeros 182 d´ıas, la funci´on derivada f ′(x) que mide las contrataciones diarias es positiva lo cual implica que cada d´ıa se realizan nuevos contratos y en consecuencia observamos que la funci´on f (x) es creciente en ese mismo per´ıodo. Al mismo tiempo a partir del d´ıa 182 la funci´on de contrataciones diarias dada por la derivada f ′(x) es negativa lo que supone que en ese espacio de tiempo se realizan despidos y podemos ver que en ese mismo tramo la funci´on f (x) es decreciente.
- Al realizar el estudio de la actividad de un negocio es habitual estudiar lo que se denomina funci´on de costos que mide el coste necesario para producir una cierta cantidad de unidades.
Supongamos que en una empresa que produce componentes electr´onicos se tiene la siguiente funci´on de costos (medida en euros):
C(x) = x + 10 log
x + 10 10
En tal caso:
- Para producir x = 10 unidades el costo ser´a de C(10) = 16.9315 euros.
- Para producir x = 20 unidades el costo ser´a de C(20) = 30.9861 euros.
La gr´afica de la funci´on de costos es
20 40 60 80 100
20
40
60
80
100
120
Si calculamos la derivada de la funci´on C(x) obtendremos la velocidad de variaci´on del coste con respecto a la cantidad de unidades producidas:
C(x) = coste de producci´on en euros x = unidades
⇒ C′(x) = coste en euros unidad
euros unidad
Es decir, C′(x) es el coste por unidad (lo que cuesta fabricar una unidad) cuando llevamos producidas x unidades. Tenemos que
C′(x) =
x + 20 x + 10
as´ı que:
- El coste por unidad cuando hemos producido 10 unidades es C′(10) = 1.5 euros/unidad.
- El coste por unidad cuando hemos producido 20 unidades es C′(20) = 1.33 euros/unidad.
La derivada C′(x) se denomina coste marginal. En nuestro caso la gr´afica de costes marginales es:
20 40 60 80 100
1
2
Se observa que el precio por unidad cuando la producci´on es muy baja se aproxima a 2 euros y a medida que aumenta la producci´on se reduce hasta 1 euro.
Interpretaci´on geom´etrica de la derivada: Habitualmente un ´angulo se mide en grados sexagesimales o en radianes. As´ı por ejemplo, en la gr´afica siguiente observamos un ´angulo de 45^0 o lo que es lo mismo de π 4 radianes:
α = 45o^ grados = π 4 radianes
Sin embargo en diferentes ocasiones se emplea el concepto de pendiente para indicar o medir el valor de una ´angulo. Veamos su definici´on:
0.2 0.5 0.
1
m = 25 = 0. 4
m = 1
m = 85 = 1. 6
f (x)
Un razonamiento similar al que hemos realizado al inicio del tema permite demostrar que la pendiente del ´angulo que forma la funci´on con la horizontal en cada punto es igual al valor de la derivada de la funci´on en ese punto. Es decir, si f es derivable en x 0 tendremos,
pendiente de f en x 0 = f ′(x 0 ).
No es dif´ıcil comprobar que para la funci´on del ejemplo anterior la derivada es
f ′(x) = 2x.
En la gr´afica observamos la pendiente de la funci´on en los puntos x 0 = 0.2, x 1 = 0.5 y x 3 = 0.8. Si calculamos la derivada en esos puntos comprobaremos que, en cada caso, coincide con la pendiente que vemos en la gr´afica: f ′(0.2) = 0. 4 , f ′(0.5) = 1, f ′(0.8) = 1. 6.
Si consideramos una recta cualquiera, f (x) = ax + b,
sabemos que tiene la misma pendiente en todos los puntos y de hecho, si calculamos su derivada, observamos que tiene siempre el mismo valor, f ′(x) = a
que es la pendiente de la recta. De este modo, observamos directamente que la pendiente de cualquier recta es el coeficiente, a que acompa˜na a la variable x en la f´ormula de la recta.
Ejemplo 7. La pendiente de la recta f (x) = 3x − 10 es m = 3 ya que el coeficiente que acompa˜na a la variable, x, es precisamente 3. De otro modo tenemos tambi´en que f ′(x) = 3.
Se llama recta tangente a una funci´on f en el punto x 0 a la recta que en el punto x 0 toma el mismo valor y tiene la misma pendiente que f. Dicho de otro modo la recta tangente es aquella que pasa por el punto (x 0 , f (x 0 )) en la misma direcci´on que f. Puesto que sabemos que la pendiente de f en x 0 es f ′(x 0 ), es f´acil comprobar que la ecuaci´on de la recta tangente es
r(x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ).
Por ejemplo, la recta tangente a la funci´on f (x) = x^2 + 12 en el punto x 0 = 0.5 ser´a
r(x) = f (0.5) + f ′(0.5)(x − 0 .5) ⇒ r(x) = 0.75 + 1 · (x − 0 .5) ⇒ r(x) = x + 0. 25.
0.2 0.5 0.
1
r(x)
f (x)
2.2 Calculo de derivadas
De la misma manera que hicimos en el caso de los l´ımites, utilizaremos las propiedades de la derivada respecto de las operaciones algebraicas para poder realizar c´alculos sin tener que acudir a la evaluaci´on del l´ımite de la definici´on de derivada.
Propiedades 8. Sean f y g funciones reales de variable real. Entonces
- Si f y g son derivables en x ∈ R se verifica que
- f + g es derivable en x y (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
- k · f es derivable en x para cualquier constante k ∈ R y
(k · f )′(x) = k · f ′(x).
- f · g es derivable en x y (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
- Si g(x) 6 = 0 entonces f g
es derivable en x y
( f g
(x) =
f ′(x) · g(x) − f (x) · g′(x) (g(x))^2
- (Regla de la cadena) Si f es derivable en x y g es derivable en f (x) entonces g ◦ f es derivable en x y se verifica que: (g ◦ f )′(x) = g′(f (x)) · f ′(x). A la f´ormula anterior se la conoce como regla de la cadena.
- (Teorema de la funci´on inversa) Si f es derivable en x, biyectiva sobre su imagen y verifica que f ′(x) 6 = 0 entonces la funci´on inversa de f , f −^1 , es derivable en y = f (x) y se verifica que ( f −^1
(y) =
f ′(x)
Teniendo en cuenta las propiedades anteriores, toda funci´on que se obtenga por composici´on u operaci´on de funciones derivables ser´a una funci´on derivable. Lo que necesitamos ahora es un repertorio amplio de funciones derivables a partir de las cuales podamos generar otras mediante operaci´on o composici´on que tambi´en lo sean. En realidad la lista de funciones elementales del cap´ıtulo anterior nos servir´a para este prop´osito ya que todas ellas son tambi´en (con las debidas salvedades) derivables. A continuaci´on recogemos esas funciones elementales con una descripci´on de las propiedades de derivabilidad de cada una:
Definici´on 10. Sea f : D → R una funci´on real de variable real y sea H ⊆ D. Entonces:
- Decimos que f es creciente (respec. estrictamente creciente, decreciente, estrictamente decreciente, constante) en H si f |H es creciente (respec. estrictamente creciente, decreciente, estrictamente decre- ciente, constante).
- Decimos que f tiene un m´aximo absoluto en el punto x 0 ∈ D si
f (x 0 ) ≥ f (x), ∀x ∈ D.
- Decimos que f tiene un m´ınimo absoluto en el punto x 0 ∈ D si
f (x 0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ D.
- Decimos que f tiene un m´aximo local en el punto x 0 ∈ D si ∃ a, b ∈ R, a < x 0 < b, tales que
f (x 0 ) ≥ f (x), ∀x ∈ D ∩ (a, b).
Si la desigualdad de la definici´on tiene lugar de forma estricta salvo en el punto x 0 (la desigualdad se verifica no solo para ≥ sino tambi´en para >), diremos que f tiene un m´aximo local estricto en x 0.
- Decimos que f tiene un m´ınimo local en el punto x 0 ∈ D si ∃ a, b ∈ R, a < x 0 < b, tales que
f (x 0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ D ∩ (a, b).
Si la desigualdad de la definici´on tiene lugar de forma estricta salvo en el punto x 0 (la desigualdad se verifica no solo para ≤ sino tambi´en para <), diremos que f tiene un m´ınimo local estricto en x 0.
- Decimos que f es convexa en H si ∀a, b ∈ H, tales que a < b, se verifica que
f (x) ≤ f (a) + x − a b − a
(f (b) − f (a)), ∀x ∈ H ∩ (a, b),
es decir, si se tiene que dentro del conjunto H, f est´a por debajo del segmento que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). Si la desigualdad de la definici´on se verifica de forma estricta (la desigualdad se verifica no solo con ≤ sino adem´as con <) entonces diremos que f es estrictamente convexa en H.
Ejemplo 11. La ecuaci´on r(x) = f (a) + xb−−aa (f (b) − f (a)) es la de la recta que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). Por tanto, una funci´on es convexa si la recta que une dos puntos de su gr´afica esta siempre por encima de la funci´on. En la gr´afica siguiente representamos una funci´on convexa. Puede observarse como independientemente de la elecci´on que hagamos para los puntos a y b, la recta que los une est´a siempre por encima de la funci´on.
1 2 3 4
1
2
3
4
5
- Decimos que f es c´oncava en H si ∀a, b ∈ H, tales que a < b, se verifica que
f (x) ≥ f (a) + x − a b − a
(f (b) − f (a)), ∀x ∈ H ∩ (a, b),
es decir, si se tiene que dentro del conjunto H, f est´a por encima del segmento que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)).
Si la desigualdad de la definici´on se verifica de forma estricta (la desigualdad se verifica no solo con ≥ sino adem´as con >) entonces diremos que f es estrictamente c´oncava en H.
Ejemplo 12. En el caso de la concavidad se exige que la recta que une dos puntos sobre la gr´afica de la funci´on est´e por debajo de la funci´on (f (x) ≥ r(x) = f (a) + xb−−aa (f (b) − f (a))). La situaci´on gr´afica es ahora
1 2 3 4
1
- Decimos que f tiene un punto de inflexi´on en x 0 ∈ D si ∃ a, b ∈ R, a < x 0 < b tales que se cumple alguna de las siguientes condiciones:
a) f es estrictamente c´oncava en (a, x 0 ] ∩ D y es estrictamente convexa en [x 0 , b) ∩ D.
b) f es estrictamente convexa en (a, x 0 ] ∩ D y es estrictamente c´oncava en [x 0 , b) ∩ D.
Ejemplo 13.
En la siguiente imagen representamos la gr´afica de una funci´on f : [− 3 , 6] → R.
Las funciones derivada primera, segunda y tercera se suelen designar mediante f ′, f ′′^ y f ′′′, en lugar de f 1), f 2)^ y f 3).
Definici´on 15. Dado un conjunto D ⊆ R y f : D → R, diremos que f es de clase Cn^ en D si se cumple las dos condiciones siguientes:
- La funci´on f n)^ est´a definida en todo D.
- La funci´on f n)^ es continua en D.
El conjunto de todas las funciones de clase Cn^ en D se denota mediante Cn(D).
Dado D ⊆ R se denota mediante C^0 (D) o simplemente C(D) al conjunto de todas las funciones continuas en D. As´ı mismo, una funci´on que es de clase Cn^ en D para cualquier n ∈ N, se dice que es una funci´on de clase C∞^ en D. El conjunto de todas las funciones de clase C∞^ en D se denota mediante C∞(D).
Veamos a continuaci´on los criterios que permiten discernir cu´ales de las propiedades de forma verifica una funci´on y d´onde las verifica. Como hemos indicado antes, depender´an de los signos de las tres primeras derivadas de la funci´on.
Propiedades 16. Sea f : D → R una funci´on real, sea un intervalo I = (a, b) ⊆ D y x 0 ∈ (a, b). Se verifica que:
i) Si f es derivable en I se tiene que:
- Si f ′(x) ≥ 0 , ∀x ∈ I, entonces f es creciente en I.
- Si f ′(x) > 0 , ∀x ∈ I, entonces f es estrictamente creciente en I.
- Si f ′(x) ≤ 0 , ∀x ∈ I, entonces f es decreciente en I.
- Si f ′(x) < 0 , ∀x ∈ I, entonces f es estrictamente decreciente en I.
- Si f ′(x) = 0, ∀x ∈ I, entonces f es una funci´on constante en I.
ii) Si f es derivable en x 0 y f tiene un m´aximo o un m´ınimo local en x 0 entonces f ′(x 0 ) = 0.
iii) Si f es de clase C^2 en I y f ′(x 0 ) = 0 entonces:
- Si f ′′(x 0 ) > 0 entonces f tiene un m´ınimo local estricto en x 0.
- Si f ′′(x 0 ) < 0 entonces f tiene un m´aximo local estricto en x 0.
iv) Si dado n ∈ N, f es de clase Cn^ y se cumple que
f ′(x 0 ) = f ′′(x 0 ) = · · · = f n−2)(x 0 ) = f n−1)(x 0 ) = 0
y que f n)(x 0 ) 6 = 0,
entonces:
- Si f n)(x 0 ) > 0 y n es par entonces x 0 es un m´ınimo local estricto de f.
- Si f n)(x 0 ) < 0 y n es par entonces x 0 es un m´aximo local estricto de f.
- Si n es impar entonces f no tiene m´aximo ni m´ınimo local en x 0.
v) Si f es de clase C^2 en I entonces:
- Si f ′′(x) ≥ 0 , ∀x ∈ I entonces f es convexa en I.
- Si f ′′(x) > 0 , ∀x ∈ I entonces f es estrictamente convexa en I.
- Si f ′′(x) ≤ 0 , ∀x ∈ I entonces f es c´oncava en I.
- Si f ′′(x) < 0 , ∀x ∈ I entonces f es estrictamente c´oncava en I.
vi) Si f es de clase C^2 en I y x 0 es un punto de inflexi´on de f entonces
f ′′(x 0 ) = 0.
vii) Si f es de clase C^3 en I y se verifica que
f ′′(x 0 ) = 0 y f ′′′(x 0 ) 6 = 0
entonces x 0 es un punto de inflexi´on de f.
Ejemplo 17. Determinemos las propiedades de forma de la funci´on
f (x) =
x^4 −
x^3 +
x^2 + 18x + 1.
Para ello comenzamos averiguando cuando se anula la primera derivada:
f ′(x) = x^3 − 8 x^2 + 9x + 18 = 0 ⇒
x = − 1 x = 3 x = 6
La funci´on f ′(x) es un polinomio y por ello es continua en R. Si comprobamos el signo del valor de f ′(x) en puntos cualesquiera de los intervalos (−∞, −1), (− 1 , 3), (3, 6) y (6, ∞), una aplicaci´on directa del Teorema de Bolzano nos lleva a la conclusi´on de que estos signos determinar´an el del resto de los puntos de cada intervalo. En definitiva, llegamos a que
f ′(x) < 0 , ∀x ∈ (−∞, −1). f ′(x) > 0 , ∀x ∈ (− 1 , 3). f ′(x) < 0 , ∀x ∈ (3, 6). f ′(x) > 0 , ∀x ∈ (6, +∞).
Para determinar los intervalos de convexidad y concavidad calculamos la segunda derivada,
f ′′(x) = 3x^2 − 16 x + 9.
En este caso,
f ′′(x) = 3x^2 − 16 x + 9 = 0 ⇒
x =
x =
y razonando como antes,
f ′′(x) > 0 , ∀x ∈
f ′′(x) < 0 , ∀x ∈
f ′(x) > 0 , ∀x ∈ (
En particular, f (−1) > 0 , f (3) < 0 y f (6) > 0.
Finalmente, tenemos que f ′′′(x) = 6x − 16 con lo que
f ′′′
6 = 0 y f ′′′
Teniendo en cuenta la informaci´on que hemos recuadrado y la Propiedad 16 tenemos que:
2.4 Teoremas cl´asicos de derivaci´on
Dada una funci´on f : [a, b] → R, si f (a) = f (b), su gr´afica ser´a algo del tipo
a c b
f
La intuici´on nos indica que, forzosamente, en alg´un punto intermedio entre a y b la tangente a la funci´on debe ser horizontal. El Teorema de Rolle afirma que esto efectivamente es as´ı.
Teorema 18 (Teorema de Rolle). Sea f una funci´on continua en un intervalo [a, b] y derivable en (a, b) entonces si f (a) = f (b) se verifica que existe c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) = 0.
Cuando f (a) 6 = f (b) el razonamiento anterior no es v´alido pero es f´acil formular una versi´on del Teorema de Rolle para esta situaci´on. Si f (a) = f (b), la recta que une (a, f (a)), con (b, f (b)) es horizontal y la recta cuya existencia postula el Teorema de Rolle tambi´en debe serlo. Lo que tenemos es que la tangente en alg´un punto es paralela a la recta que une los puntos inicial de la gr´afica de la funci´on. El teorema del valor medio afirma que esto ´ultimo es cierto incluso cuando f (a) 6 = f (b).
Teorema 19 (Teorema del valor medio). Sea f una funci´on continua en un intervalo [a, b] y derivable en (a, b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a).
Sabemos que la pendiente, m, de la recta que une (a, f (a)) y (b, f (b)) es la tangente del ´angulo que forma con la horizontal y por tanto
m =
f (b) − f (a) b − a
Por otro lado en el punto c ∈ (a, b), la pendiente, m 1 , de la recta tangente ser´a f ′(c) y si despejamos en la igualdad del Teorema del valor medio tenemos que
m 1 = f ′(c) =
f (b) − f (a) b − a
= m.
En tal caso, la pendiente, m, de la recta que une los puntos inicial y final de la gr´afica de f y la pendiente de la recta tangente en el punto c coinciden y ambas rectas son paralelas. Como hemos visto antes esto constituye una generalizaci´on del Teorema de Rolle al caso en que f (a) 6 = f (b).
a c b
f
Se suele utilizar el Teorema de Rolle para demostrar que una ecuaci´on tiene soluci´on ´unica en cierto intervalo. Supongamos que estamos resolviendo la ecuaci´on
f (x) = 0
y que hemos encontrado dos soluciones a y b para esta ecuaci´on. En tal caso tendremos que
f (a) = f (b) = 0
y si la funci´on satisface las hip´otesis del Teorema de Rolle tendremos que existir´a un punto intermedio entre a y b de modo que f ′(c) = 0.
Ahora bien, si previamente, por alg´un medio, hemos comprobado que la funci´on f ′^ nunca se anula, la ´ultima identidad no podr´a ser cierta en cuyo caso la conjetura inicial de que tenemos dos soluciones de la ecuaci´on f (x) = 0 no puede ser correcta de modo que debe haber una ´unica soluci´on.
Ejemplo 20. Veamos que la ecuaci´on ex^ + x = 2 tiene una ´unica soluci´on. Para ello tomemos la funci´on f (x) = ex^ + x − 2 y probemos de forma equivalente que f (x) = 0 tiene soluci´on ´unica.
Existencia de soluci´on (Teorema de Bolzano): La funci´on f (x) es continua. Si encontramos dos puntos a y b en los que la funci´on alcance valores con distinto signo, el Teorema de Bolzano garantizar´a la existencia de soluci´on. Ahora bien, es f´acil comprobar que
f (0) = e^0 + 0 − 2 = 1 − 2 < 0 , y f (2) = e^2 + 2 − 2 = e^2 > 0.
Por tanto debe existir una soluci´on, c, de f (x) = 0 que adem´as estar´a en el intervalo (0, 2) (podr´ıamos aproximarla por el m´etodo de bisecci´on).
Unicidad de soluci´on (Teorema de Rolle): Ya sabemos que f (x) = 0 tiene al menos una soluci´on a la que hemos llamado c. Supongamos que tenemos otra soluci´on c 1 6 = c. Razonando como antes hemos indicado, puesto que f (c) = 0 = f (c 1 ), podemos aplicar el Teorema de Rolle y afirmar que existe ξ entre c y c 1 tal que f ′(ξ) = 0.
Sin embargo, f ′(x) = ex^ + 1 y es evidente que
f ′(x) > 0 , ∀x ∈ R.
En consecuencia no puede existir esa segunda soluci´on c 1. La ´unica soluci´on es la que hemos localizado antes, c.
2.4.1 La regla de l’Hˆopital
En el Cap´ıtulo 1 estudiamos el caso de diferentes l´ımites que no pod´ıan ser calculados aplicando directamente las propiedades algebraicas del l´ımite. Eran lo que llam´abamos indeterminaciones. Dadas dos funciones, f, g : D → R, si f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0 ´o f (x 0 ) = g(x 0 ) = ∞, el l´ımite
lim x→x 0
f (x) g(x)
conduce a una indeterminaci´on del tipo 00 o del tipo ∞∞ que solamente sabemos resolver en un par de casos muy concretos. Si f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0, podr´ıamos modificar la forma en que hemos escrito el l´ımite anterior y plantear la siguiente cadena de igualdades:
lim x→x 0
f (x) g(x)
= lim x→x 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0 g(x) − g(x 0 ) x − x 0
limx→x 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0 lim x→x 0
g(x) − g(x 0 ) x − x 0
f ′(x 0 ) g′(x 0 )
2.5 Desarrollo de Taylor y McLaurin
Supongamos que queremos encontrar una funci´on de forma que en cierto punto x 0 sus derivadas tomen sucesivamente los valores f 0 , f 1 ,... , fk, es decir,
f (x 0 ) = f 0 , f ′(x 0 ) = f 1 , f ′′(x 0 ) = f 2 ,... , f n)(x 0 ) = fn.
Hay muchas maneras de resolver este problema pero la forma m´as sencilla consiste en considerar el siguiente polinomio:
pn(x) = f 0 + f 1 1!
(x − x 0 ) + f 2 2!
(x − x 0 )^2 + · · · + fn n!
(x − x 0 )n^ (2.1)
es una soluci´on a este problema, donde n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n es lo que se denomina n´umero factorial. Es f´acil comprobar que p(x 0 ) = f 0 , p′(x 0 ) = f 1 , p′′(x 0 ) = f 2 ,... , pn)(x 0 ) = fn.
Tomemos ahora una funci´on f : D → R, n veces derivable en cierto punto x 0. Supongamos que ´unicamente tenemos informaci´on de la funci´on en el punto x 0 en el conocemos el valor de la funci´on, f (x 0 ), y el de sus n primeras derivadas, f ′(x 0 ), f ′′(x 0 ),... , f n)(x 0 ) ¿Ser´a posible reconstruir la funci´on f a partir de esta informaci´on? Es evidente que esto es imposible pero al menos podemos intentar buscar una funci´on los m´as parecida posible a f. Como de f solamente conocemos sus primeras derivadas, lo ´unico que podemos hacer es conseguir una funci´on que coincida con f en esas primeras derivadas y para ello podemos utilizar el polinomio pn(x) de (2.1) para f 0 = f (x 0 ), f 1 = f ′(x 0 ),... , fn = f n)(x 0 ). Lo que obtendremos es, en cierto sentido, la mejor aproximaci´on de f que podemos calcular conociendo solamente sus primeras derivadas en el punto x 0. Ese polinomio es lo que se denomina Polinomio de Taylor de la funci´on f en x 0.
Definici´on 23. Sea f : D → R una funci´on de clase Cn^ en D y sea x 0 ∈ D. Llamamos polinomio de Taylor de grado n de f en x 0 al polinomio
pn(x) = f (x 0 ) +
f ′(x 0 ) 1!
(x − x 0 ) +
f ′′(x 0 ) 2!
(x − x 0 )^2 + · · · +
f n)(x 0 ) n!
(x − x 0 )n.
El polinomio de Taylor de grado n en x 0 = 0 se denomina tambi´en polinomio de McLaurin de grado n.
El polinomio de Taylor de una funci´on constituye una aproximaci´on de dicha funci´on que presenta la ventaja de un m´as f´acil manejo. La funci´on de partida, f (x), podr´ıa tener una expresi´on complicada pero pn(x) es siempre un polinomio sobre el que se pueden realizar de forma sencilla la mayor´ıa de los c´alculos. En ocasiones ser´a posible sustituir una funci´on por su polinomio de Taylor. Sin embargo al tomar el polinomio de Taylor en lugar de la funci´on cometemos un error ya que el polinomio no es exactamente igual que ella. La siguiente propiedad nos da una expresi´on del error cometido al realizar esa sustituci´on.
Propiedad 24. Sea un intervalo I = (a, b), sea f : I → R una funci´on de clase Cn+1^ en I y sea x 0 ∈ I. Entonces para cualquier x ∈ I existe un punto real ξ situado entre x 0 y x tal que
f (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 ) 1!
(x − x 0 ) + · · · + f n)(x 0 ) n!
(x − x 0 )n^ + f n+1)(ξ) (n + 1)!
(x − x 0 )n+1.
A la f´ormula anterior se la conoce como f´ormula de Taylor de grado n de la funci´on f en el punto x 0.
La formula de Taylor nos proporciona el error cometido al tomar el polinomio de Taylor en lugar de la funci´on. V´ease que si llamamos pn(x) al polinomio de Taylor de grado n de f en x 0 , utilizando la f´ormula de Taylor, podemos escribir
f (x) − pn(x) = f n+1)(ξ) (n + 1)!
(x − x 0 )n+
y por lo tanto el error cometido ser´a
En(x) =
f n+1)(ξ) (n + 1)!
(x − x 0 )n+
