¡Descarga derivadas función compuesta y más Resúmenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matemática
DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
REGLA DE LA CADENA
Antes de empezar
En general las funciones que estudiamos son el resultado de aplicar operaciones entre funciones más sencillas. Por ejemplo, f(x) = x^2 + senx es la suma de las funciones g(x) = x^2 y m(x) = senx f (x)^3 xx 12 es el cociente entre las funciones g(x) = 3x – 2 y m(x) = x – 1. Y en otros casos, son el resultado de componer dos ó más funciones. Vamos, en principio a ocuparnos de este último caso. Recordemos que dadas dos funciones, f y g, para hallar la expresión de la función compuesta f g , hacemos, ( fg)(x)fg( x) Por ejemplo, si f(x) = x y g(x) = x+1, entonces, ( fg )(x)fx 1 x 1 , cuyo dominio es: Dom( f g ) = [-1; +) Para poder derivar funciones compuestas es necesario que podamos reconocer cuáles son las funciones que intervienen en la composición, esto es, poder mirar hacia atrás y pensar una función como una composición de funciones más sencillas. Por ejemplo, en funciones como, h(x) = (2x -1)^3 ó x 1
h( x)^1 (^2)
que son funciones compuestas, nos va a interesar reconocer cómo se hizo la composición.
Intentemos hacerlo:
Ejemplo 1****. Vamos a expresar h(x) = (2x – 1)^3 como una composición: Para ello, observemos que (2x -1)^3 se obtiene de encontrar 2x – 1 y elevar al cubo este resultado. Y además Dom (h) = Luego podemos pensar que f(x) = x^3 y g(x) = 2x – 1 y Dom(f) = Dom(g) =
Entonces es h(x) = (2x – 1)^3 = [g(x)]^3 = f g( x) (fg)(x) Lo que da h como una composición de las funciones f y g. Si dudamos, es posible verificarlo, hallando f g. Lo hacemos: ( fg )(x)f g( x) f( 2 x 1 )( 2 x 1 )^3 = h(x)
@ubaunidos
Matemática
Ejemplo 2
Probemos ahora con x 1
h( x)^1 (^2) , Dom (h) = - {-1; 1}
Observemos que x 1
(^2) ^ se^ obtiene^ de^ encontrar^ x
(^2) – 1 y luego hallar su
recíproca, esto es calcular (^) x^1 , siendo Dom(f) = -{0} y Dom(g) = . Luego podemos pensar que es f(x) = (^) x^1 y g(x) = x^2 – 1.
Por lo que es
(^) g(^1 x) x 1
h( x)^1 2 f^ g(^ x)^ (fg)(x)
Si dudan, recuerden que pueden verificarlo, hallando la composición.
Ejemplo 3. ¿Y si h(x) = ln^2 (x – 2), con Dom(h) = >2 = (2; +)? Esto parece más difícil, pero lo intentamos otra vez: Observemos que ln^2 (x – 2), lo encontramos primero de aplicar x – 2, a este resultado le aplicamos logaritmo natural con lo que obtenemos, ln(x – 2) y luego a este resultado lo elevamos al cuadrado. Ahora, tenemos 3 funciones y no 2, como en los ejemplos anteriores: f(x) = x^2 ; Dom(f) = g(x) = ln(x); Dom(g) = >0 = (0; +) m(x) = x – 2; Dom(m) =
Luego h(x) = ln^2 (x-2) = [ln(x-2)]^2 = [ln(m(x))]^2 = = [g(m(x))]^2 = f[g(m(x))] = f( gm)(x))
Lo verificamos:
f( gm)(x))f(g(x 2 ))f(ln(x 2 ))[ln(x 2 )]^2 ln^2 (x 2 )
Observación. La función h(x) = ln^2 (x-2), también puede escribirse como un producto: h(x) = ln(x – 2). ln(x – 2) donde cada factor es la composición de las funciones g(x) = lnx y m(x) = x – 2
@ubaunidos
Matemática
h(x) = sen^2 x h es la composición de las mismas funciones del ejemplo anterior: f(x) = x^2 y g(x) = senx
h(x) = ( fg)(x)fg( x) f(senx)sen^2 x Como es:
g(x) (senx) cos x
f(x) (x ) 2 x ' '
' 2 '
Entonces es: f '^ g( x) 2 (g(x)) 2 sen(x) y .g'(x)cosx Por lo tanto, usando la regla de la cadena es: h' (x) ( f g )(x)'^ f'g( x).g '(x)= 2 senx. cosx
x 4
f (x)^1 (^2)
Tenemos que f es la composición de las funciones g(x) = x^2 + 4 y h( x)x^1
f(x) = x 4
( h g)(x) hg(x) h(x 4 )^1 2
2
Como es:
g(x) (x 4 ) 2 x
x
x h(x)^1 ' 2 '
2
' '
Entonces es: y .g(x) 2 x (x 4 )
(g(x))
h g(x)^1 ' 2 2 2
Por lo tanto, es: ' ' ' 2 2 2 2 (x 4 )
. 2 x^2 x (x 4 )
f'(x) (h g)(x) h g(x).g(x)^1
Observamos que podíamos derivar la función x 4
f (x)^1 (^2) usando la derivada del
cociente de funciones. Si lo hacen, verán que se llega al mismo resultado.
@ubaunidos
Matemática
Hasta aquí derivamos funciones encontradas por la composición de sólo dos funciones más sencillas. Podemos extender el procedimiento al caso de la composición de tres funciones o más.
Ejemplo 5 Consideremos nuevamente la función h(x) = ln^2 (x – 2) y calculemos su derivada. Vimos que h es la composición de f(x) = x^2 ; g(x) = ln(x); m(x) = x – 2
siendo h(x) = f (gm)(x)) Usemos la regla de la cadena para derivar h. h' (x) (f( gm )(x)'^ f'g m)(x).( gm)'(x) Observamos que ( gm )'(x) es la derivada de una función compuesta por lo que es (g m)'(^ x)g'(m(x)).m'(x ) Reemplazando en la igualdad anterior: h' (x)f'^ g m)(x).g '(m(x)).m'(x) Ahora, usamos este resultado en nuestra función. Recordemos que: Si: f(x) = x^2 es f '^ (x) = 2x
g(x) = ln(x) es g'^ (x)x^1
m(x) = x – 2 es m'^ (x) 1 Ahora,
x 2 2 .ln(x 2 ).^1
2 .ln(x 2 ).x^12. 1
2 .ln(x 2 ).x^12 (x 2 )
h(x) 2 ln(x 2 ).ln(x 2 ) '
' '
Entonces si h(x) = ln^2 (x – 2) es h'(x) 2 .ln(x 2 ).x^1 2
@ubaunidos
Matemática
Pero (senx^2 )’ es nuevamente la derivada de una función compuesta (pues x está elevado al cuadrado). (senx^2 )’ = cosx^2 · 2x (4) Derivando el primer sumando de (3) y reemplazando por (4) es: (x^3 · senx^2 )’ = 3x^2 · senx^2 + x^3 cosx^2 · 2x = 3x^2 · senx^2 + 2x^4 cosx^2 (5) Luego: r’(x) = (3x ·senx 2 x cosx ) x senx
Buscamos la derivada de s(x) = 2 e cosx. Pero s(x) = 2 e cosx es también una función compuesta, por lo que volvemos a usar la regla de la cadena: s’(x) = 2 ( ecos x)’ = 2·(-senx). ecos x (7) Finalmente reemplazamos (6) y (7) en (1): h’(x) = [ ln(x 3 senx 2 )]’ – [ 2 e cosx]’ = (3x ·senx 2x cosx ) x senx
(^3) 2 - 2·(-senx).^ ecosx
= 3 2 cosx
2 2 2 2 2·senx. e x senx
x (3senx 2 x cosx )
Entonces la derivada de h( x)lnx^3 senx^2 ^2 ecosx
es 3 2 cosx ' 2 2 2 2 2·senx.e x senx
h (x) x (3senx^2 x cosx )
Observación. En los ejemplos hemos omitido escribir el dominio de las distintas funciones para agilizar el cálculo de las derivadas. Sería un buen ejercicio para el lector, que los encuentre.
@ubaunidos
