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Apuntes De Matemática II - Derivadas 1
Derivadas
C ontenidos Temáticos a desarrollarse en cada SAP (Semana)
SAP 01. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Definición propiedades y reglas básicas. Derivación de la función compuesta.
SAP 02. Derivada de orden superior. Derivación implícita
SAP 03. APLICACIONES DE LA DERIVADA: Recta normal y recta tangente. Máximos y mínimos. Concavidad de
funciones. Análisis de la gráfica de una función
SAP 04. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Criterio de la primera y segunda derivada.
SAP 05. Revisión de casos tratados en la unidad
SAP 01. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Definición propiedades y reglas básicas. Derivación de la función compuesta
En esta sesión de aprendizaje lograremos
Interpretar la definición de derivada de una función real de variable, mostrando orden y claridad en el
manejo de la información.
Calcular la derivada de una función usando las reglas y formulas básicas de derivación, mostrando una
actitud responsable y participativa.
Resolver situaciones problemáticas usando la derivada de una función, mostrando una actitud analítica
y responsable de la información
Contenidos:
Motivación (Caso aplicativo)
Definición de la derivada de una función
Reglas básicas de derivación
Aplicaciones de la derivada
Caso aplicativo Sea el gráfico:
En el gráfico:
a) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (2, 1)
b) Determine la ecuación de la recta normal a la curva en el punto (2, 1)
¿Qué problemas motivaron el concepto de la derivada?
El primer problema que motivo el concepto de la derivada fue encontrar la ecuación de la recta tangente a
la curva en el punto 𝑥0, 𝑦0 como se muestra en la figura.
Apuntes De Matemática II - Derivadas 2
El segundo problema que motivo el concepto de la derivada fue encontrar la velocidad instantánea de una
partícula en el tiempo 𝑡 como se muestra en la figura
Definición de derivada de una función
La derivada de la función 𝑓 es la función 𝑓 ′definida por
f ´
x
=lim
h → 0
f ( x+ h)−f (x )
h
Para toda x para la que este límite exista
Observaciones
La derivada de una función 𝑓 evaluado en 𝑥o es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función
en el punto (𝑥o, 𝑓(𝑥o) como se muestra en la figura.
m
T
=f ´(x )
Apuntes De Matemática II - Derivadas 4
Tablas fundamentales de derivadas
Apuntes De Matemática II - Derivadas 5
Derivar las siguientes Funciones
Apuntes De Matemática II - Derivadas 7
EJERCICIOS y/o CASOS PROPUESTOS
Usando la definición de la derivada; Calcule la derivada de la función
- 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1
f
x
2 x+ 1
f ( x )=
2 x+ 1
f ( x )=
x
x + 3
f ( x )=
x+ 1
- f(x)= x
2
y=x
3
−x
2
Encuentre también el valor de dy/dx cuando: a) x = 4 b) x = 0 c) x = –
Aplicaciones de la derivada
- En el instante 𝑡 = 0, un clavadista se lanza desde un trampolín que está a 32 pies sobre el nivel del agua
de la piscina como se muestra en la figura. La posición del clavadista está dada por 𝑠(𝑡) = −16𝑡
2
32 donde 𝑠 se mide en pies y 𝑡 en segundos.
a) ¿Cuánto tarda el clavadista en llegar al agua?
b) ¿Cuál es su velocidad al momento del impacto?
- Encontrar un polinomio de segundo grado 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
2
+𝑏𝑥 + 𝑐 tal que su gráfica tenga una recta
tangente con pendiente de 10 en el punto (2, 7) y una intersección en 𝑥 en (1, 0)
- Determine los puntos sobre la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥
3
− 3𝑥 + 4 donde la recta tangente es horizontal
- Determine la ecuación de la recta tangente a la curva f
x
= 4 x−x
2
en el punto (1, 3)
- Determine la ecuación de la recta tangente a la curva f
x
=x
3
en el punto (−1, −2)
Derivada de una potencia
d
dx
(u
n
) =n u
n− 1 du
dx
Ejemplos
Determine
dy
dx
usando la regla de la potencia
- Si: y=( 3 x + 2 )
100
Apuntes De Matemática II - Derivadas 8
y=√x
3
- y=
(
x+ 1
x− 1
)
7
y=x
4
( x
2
5
Desarrollo de casos
propuestos
Usando la definición de la derivada, Calcule la derivada de la función
- f ( x )= 5
Solución
f ´
x
=lim
h → 0
f ( x+ h)−f ( x )
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
f ( k ) −f ( x )
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
h
f ´ ( x )= 0 Rpta
- f ( x )= 2 x− 11
Solución
f ´
x
=lim
h → 0
f ( x+ h)−f ( x )
h
f ´
x
=lim
h → 0
2 ( x +h) − 11 −( 2 x− 11 )
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
2 x + 2 h− 11 − 2 x + 11
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
2 h
h
f ´ ( x )= 2
f
x
= 4 x
2
− 7 x + 5
Solución
f ´
x
=lim
h → 0
f ( x+ h)−f ( x )
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
4 ( x +h)
2
− 7 ( x +h )+ 5 −( 4 x
2
− 7 x + 5 )
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
x
2
2
− 7 x − 7 h+ 5 − 4 x
2
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
4 x
2
2
− 7 x− 7 h+ 5 − 4 x
2
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
8 xh+ 4 h
2
− 7 h
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
h( 8 x + 4 h− 7 )
h
Apuntes De Matemática II - Derivadas 10
f ( x )=
2 x+ 1
:.
f
U
x
V
x
U
x
´
V
x
−V
x
´
U
x
V
x
2
Modelo
f
U
x
V
x
1 ´( 2 x+ 1 )−
2 x + 1
´
2 x + 1
2
f
U
x
V
x
0 ( 2 x + 1 )−
2 x+ 1
´
2 x+ 1
2
f
U
x
V
x
2 x + 1
2
f
U
x
V
x
( 2 x+ 1 )
2
Rpta
5)
f ( x )=
x
x + 3
Solución
f ( x )=
x
x + 3
:. f
U
x
V
x
U
x
´
V
x
−V
x
´
U
x
V
x
2
Modelo
f
U
x
V
x
x ´( x + 3 )−( x + 3 )
´
( x)
( x+ 3 )
2
f
U
x
V
x
1 (x + 3 )−
x + 3
´
( x )
x + 3
2
f
U
x
V
x
x + 3 − 1 ( x)
x + 3
2
f
U
x
V
x
x + 3
2
Rpta
6)
f ( x )=
x+ 1
Solución
f ( x )=
x+ 1
:.
f
U
x
V
x
U
x
´
V
x
−V
x
´
U
x
V
x
2
Modelo
f
U
x
V
x
x + 1 )−(
x + 1 )
´
x+ 1 )
2
f
U
x
V
x
(x + 1 )
− 1 / 2
( x + 1 )
´
(x + 1 )
f
U
x
V
x
(x+ 1 )(
x+ 1 )
Rpta
7) f(x)= x
2
+ 3x + 5
Solución
f ´ ( x )= 2 x + 3
8) y=x
3
−x
2
Encuentre también el valor de dy/dx cuando: a) x = 4 b) x = 0 c) x = –
Solución
y ´= 3 x
2
− 2 x
a) x= 4 → 3 ( 4 )
2
x= 40
b) x= 0 → 3 ( 0 )
2
x= 0
c) x=− 1 → 3 (− 1 )
2
x= 5
Apuntes De Matemática II - Derivadas 11
EN LOS PROBLEMAS DEL 27 AL 45
27. y=x
5
+x
4
− 10 x
2
Solución
y ´= 5 x
4
3
− 20 x
28. y= 3 x
1 / 2
−x
3 / 2
− 1 / 2
Solución
y ´= 3 (
) x
1
2
− 1
x
3
2
− 1
(
x
− 1
2
)
y ´=
x
1 / 2
x + 2 x
1 / 2
y ´=
x
x + 2
x
Rpta
29.
y=
2 x
2
x
Solución
y=
x
− 2
− 1 / 2
y ´=
(− 2 )x
− 2 − 1
)x
− 1
2
− 1
y ´=
x
3
x
3 / 2
y ´=
x
3
√
x
3
Rpta
31.
f ( t )=
t
1 / 2
3
t
Solución
f
t
= 2 t
− 1 / 2
1 / 3
f ( t )= 2 (
) t
− 1
2
− 1
)t
1
3
− 1
f ( t )=− 1 t
− 3
2
− 2 / 3
f ( t )=
√
t
3
3
√
t
2
33.
f ( x )=( 3 x −x
3
4
Solución
Apuntes De Matemática II - Derivadas 13
y '=( 3 x
2
− 2 x
4
− 1
2
( 3 x− 4 x
3
y '=
6 x− 8 x
3
3 x
2
− 2 x
4
1
2
y '=
6 x− 8 x
3
√
3 x
2
− 2 x
4
Rpta
39. y=( x − 1 ) √
x
2
− 2 x+ 2
Solución
f
'
( U. V )=U. V
'
+V. U '
y=( x − 1 ) √ x
2
− 2 x+ 2
Si U =x− 1 U
'
Si. V = √
x
2
− 2 x+ 2 =( x
2
− 2 x+ 2 )
1 / 2
V
'
( x
2
− 2 x+ 2 )
1
2
− 1
[ x
2
− 2 x + 2 ]
'
V
'
( x
2
− 2 x+ 2 )
− 1
2
( 2 x − 2 )
V
'
=( x
2
− 2 x + 2 )
− 1
2
(x− 1 )
V
'
x− 1
√
x
2
− 2 x + 2
f
'
U. V
x− 1
x− 1
√
x
2
− 2 x + 2
√x
2
− 2 x + 2
y
'
=( x− 1 ) √ x
2
− 2 x + 2 =
( x− 1 )
2
√ x
2
− 2 x + 2
+√x
2
− 2 x + 2
y
'
(x− 1 )
2
√x
2
− 2 x + 2
√
x
2
− 2 x+ 2 Rpta
f
Apuntes De Matemática II - Derivadas 14
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