FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS
Taller 3
ESPACIO ACADÉMICO
MA0077
CÁLCULO MULTIVARIADO
GRUPO
NOMBRE
CÓDIGO
FECHA
1. Evalúe la integral triple.
a. ∭𝑦 𝑑𝑉
𝐸, donde “E”. 𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧 )| 0 ≤ 𝑥 ≤ 3,0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥, 𝑥 − 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥 + 𝑦}
b. ∭𝑧
𝑥2+𝑧2 𝑑𝑉
𝐸, donde “E”. 𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)| 1 ≤ 𝑦 ≤ 4, 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 4, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑧}
c. ∫ ∫ ∫ 2𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑦
0
2𝑥
𝑥
1
0
d. ∫ ∫ ∫ 𝑧
𝑦+1 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√1−𝑧2
0
1
0
1
0
e. ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑒−𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧
ln 𝑥
0
2𝑧
0
2
1
2. Convertir la integral de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y a coordenadas
esféricas, y evaluar la integral iterada más sencilla.
a. ∫ ∫ ∫ 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
4
𝑥2+𝑦2
√4−𝑥2
−√4−𝑥2
2
−2
b. ∫ ∫ ∫ √𝑥2+ 𝑦2 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√16−𝑥2−𝑦2
0
√4−𝑥2
0
2
0
c. ∫ ∫ ∫ √𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√9−𝑥2−𝑦2
0
√9−𝑥2
0
3
0
d. ∫ ∫ ∫ 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑎+√𝑎2−𝑥2−𝑦2
𝑎
√𝑎−𝑥2
−√𝑎−𝑥2
𝑎
−𝑎
e.
3. Determine:
a. La función de densidad conjunta para variables aleatorias 𝑋,𝑌 y 𝑍 es 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶𝑥𝑦𝑧.
Si 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 2 y 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 en cualquier otro caso.
b. Un cubo sólido en el primer octante está acotado por los planos coordenados y los
planos 𝑥 =1, 𝑦 =1 y 𝑧= 1. La densidad del cubo es 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 1. Determine
el Centro de masa.
c. Halle el momento de inercia alrededor del eje z del cilindro sólido 𝑥2+𝑦2≤𝑎2, 0≤𝑧≤ℎ.
d. Un sólido con densidad constante está acotado abajo por la superficie 𝑧 = 4𝑦2, arriba
por el plano 𝑧=4 y en los extremos por los planos 𝑥=1 y 𝑥=−1. Obtenga el centro de
masa y los momentos de inercia con respecto a los tres ejes.
4. Desarrolle los siguientes ejercicios
a. Determinar si el campo vectorial es conservativo. Si lo es, calcular una función potencial
para él.
i. 𝑭(𝑥, 𝑦)= 𝑦 𝒊 + 𝑥 𝒋
ii. 𝑭(𝑥, 𝑦)= 2𝑥𝑦 𝒊 + 𝑥2 𝒋
iii. 𝑭(𝑥, 𝑦)=15 𝑦3 𝒊 − 5𝑥𝑦2 𝒋
iv. 𝑭(𝑥, 𝑦)=2𝑦
𝑥 𝒊 − 𝑥2
𝑦2 𝒋
v. 𝑭(𝑥, 𝑦)= 𝑒𝑥(cos(𝑦)𝒊 − sin(𝑦) 𝒋)
