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158 • Capítulo 2 • Solución de ecuaciones y desigualdades lineales
Actividad en grupo
95. a) Cada miembro del grupo: encontrar la razón de su estatura a la longitud del brazo (de las puntas de los dedos de una mano, a las puntas de los dedos de la otra) cuando extiende sus brazos en forma horizon- tal y hacia fuera. Para obtener estas medidas se ne- cesitará la ayuda del grupo. b) Si fuera a dibujarse una caja para su cuerpo con los brazos extendidos, ¿ésta sería cuadrada o rectangu- lar? Si fuera un rectángulo, la longitud de los brazos extendidos sería mayor que la estatura? Explique.
c) Compare estos resultados con los del resto de inte- grantes de su grupo. d) ¿Qué razón se utilizaría para describir la estatura a la extensión de los brazos, para el grupo en conjun- to? Explique.
96. Una razón especial en matemáticas se llama la razón dorada. Investigue la historia de ésta en un libro de ma- temáticas o en Internet, y escriban como grupo un re- porte acerca de lo que es y por qué es importante.
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.11] Mencione cada propiedad que se ilustra.
97. 98.
99. 21 x - 32 = 2 x - 6
31 xy 2 = 13 x 2 y
x + 3 = 3 + x (^) [2.5] 100. Resuelva
101. Resuelva 3 14 x - 32 = 612 x + 12 - 15
3
- 12 x + 62 = 213 x - (^624)
Como grupo, estudien y respondan los ejercicios 95 y 96.
2.7 DESIGUALDADES EN UNA VARIABLE
1 Resolver desigualdades lineales.
2 Resolver desigualdades lineales cuya solución sea números
reales, o no tengan solución.
1 Resolver desigualdades lineales
En la sección 1.5 se introdujeron los símbolos mayor que, , y menor que, . El
símbolo significa mayor o igual , y quiere decir menor o igual. Una proposi-
ción de matemáticas que contenga uno o más de dichos símbolos, se denomina
desigualdad. En ocasiones, la dirección del símbolo se denomina sentido o bien
orden de la desigualdad.
Ejemplos de desigualdades con una variable
Para resolver una desigualdad, se debe dejar a la variable sola en un lado del sím-
bolo de desigualdad. Para hacerlo, se utilizan propiedades muy parecidas a las que
se emplearon para resolver ecuaciones. En este caso, hay cuatro propiedades que se
emplean para solucionar desigualdades. Más adelante, en esta sección, se introdu-
cirán dos propiedades adicionales.
Propiedades que se emplean para resolver desigualdades
Para números reales a , b y c :
1. Si entonces 2. Si a 7 b,entonces a - c 7 b - c.
a 7 b, a + c 7 b + c.
x + 3 6 5 x + 4 Ú 2 x - 6 4 7 -x + 3
(continúa en la página siguiente)
Sección 2.7 • Desigualdades en una variable • 159
3. Si y entonces 4. Si y entonces
La propiedad 1 dice que es posible sumar el mismo número en ambos lados
de una desigualdad. La propiedad 2 establece que se puede restar el mismo núme-
ro en ambos lados de una desigualdad. La propiedad 3 afirma que es válido mul-
tiplicar por el mismo número positivo los dos lados de una desigualdad. La
propiedad 4 enuncia que el mismo número positivo puede usarse para dividir am-
bos lados de una desigualdad. Cuando se emplea cualquiera de estas cuatro pro-
piedades, la dirección del símbolo de desigualdad no cambia.
Ejemplo 1 Resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica.
Solución Para resolver esta desigualdad, se necesita despejar la variable, x. Por tanto, debe
eliminarse el 4 del lado izquierdo de la desigualdad. Para hacerlo, se suma 4 en
ambos lados de ella.
Sumar 4 en ambos lados.
La solución es todos los números reales mayores que 11. En una recta numérica
se ilustra lo anterior mediante un círculo claro en el número 11 de la recta, y se di-
buja una flecha hacia la derecha (figura 2.5).
El círculo abierto en el 11 indica que éste no forma parte de la solución. La
flecha que va hacia la derecha indica que todos los valores mayores que 11 son so-
luciones de la desigualdad. ✺
Ejemplo 2 Resuelva la desigualdad y grafique la solución en una recta numérica.
Solución Para despejar la variable se debe eliminar el 6 del lado izquierdo de la desigual-
dad. Esto se hace con la resta de 6 en ambos lados de ella.
Restar 6 en ambos lados.
Dividir ambos lados entre 2.
La solución es todos los números reales menores o iguales que 4. La solución se
ilustra en la recta numérica mediante un punto en el 4, y se dibuja una flecha ha-
cia la izquierda (figura 2.6).
El punto en el 4 indica que éste sí forma parte de la solución. La flecha ha-
cia la izquierda indica que todos los valores menores o iguales que 4 también son
soluciones de la desigualdad. ✺
Observe que en las propiedades 3 y 4 se especificó que c 0. ¿Qué sucede
cuando una desigualdad se multiplica o divide por un número negativo? Los ejem-
plos 3 y 4 ilustran que cuando se multiplica o divide una desigualdad por un nú-
mero negativo, la dirección del símbolo de desigualdad cambia.
x … - 4
2 x
2 x … - 8
2 x + 6 - 6 … - 2 - 6
2 x + 6 … - 2
2 x + 6 … -2,
x 7 11
x - 4 + 4 7 7 + 4
x - 4 7 7
x - 4 7 7,
a c
b c
a 7 b c 7 0 ,.
a 7 b c 7 0 , ac 7 bc.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3
5 6 7 8 910111213 14 15
FIGURA 2.
FIGURA 2.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Sección 2.7 • Desigualdades en una variable • 161
Restar 4 en ambos lados.
La gráfica de la solución se aprecia en la recta numérica de la figura 2.8. También
hubieran podido emplearse otros métodos para resolver este problema. ✺
En el ejemplo 6, método 1, observe que se escribió como
Aunque la solución es correcta, se acostumbra escribir la solución de una
desigualdad con la variable en el lado izquierdo. Una razón para ello es que con
frecuencia es más fácil graficar la solución en la recta numérica. ¿Cómo graficaría
3 > x? ¿Cómo se haría la gráfica de Si se rescriben estas desigualdades
con la variable en el lado izquierdo, la respuesta es más clara.
Observe que la respuesta cambia de una proposición mayor que a otra me-
nor que, o de una menor que a otra mayor que. Cuando se cambie la respuesta de
una forma a la otra, hay que recordar que el símbolo de desigualdad debe apun-
tar hacia la letra o número al que apuntaba originalmente.
SUGERENCIA Observe que ambos símbolos de desigualdad apuntan hacia la x.
Observe que los dos símbolos de desigualdad apuntan hacia la a_._
EjemploS
Ahora resolvamos desigualdades en las que la variable aparece en ambos
lados del símbolo de desigualdad. Para resolver éstas, se utiliza el mismo procedi-
miento básico que se empleó para resolver ecuaciones. Sin embargo, debe recor-
darse que siempre que se multiplique o divida los dos lados de una desigualdad por
un número negativo, debe cambiarse la dirección del símbolo de desigualdad.
Ejemplo 7 Resuelva la desigualdad y grafique la solución en una rec-
ta numérica.
Solución Esta desigualdad utiliza la variable p. La variable que se use no afecta el procedi-
miento para resolverla.
Sumar 5 p en ambos lados.
Restar 6 en ambos lados.
Dividir ambos lados entre 3.
La solución aparece graficada en la figura 2.9. ✺
o bien, p 7 1
1 6 p
3 p
3 6 3 p
9 - 6 6 3 p + 6 - 6
9 6 3 p + 6
- 5 p + 5 p + 9 6 - 2 p + 5 p + 6
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
- 5 … x significa x Ú - 5
- 3 7 x significa x 6 - (^3) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
a 6 x significa x 7 a
a 7 x significa x 6 a
- 5 … x significa x Ú - 5
- 3 7 x significa x 6 - 3
- 9 … x
- 9 … x x Ú -9.
x Ú - 9
4 - 4 + x Ú - 5 - 4
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 25
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
FIGURA 2.
FIGURA 2.
Ejemplo 8 Resuelva la desigualdad y grafique la solución en una rec-
ta numérica.
Solución Como la desigualdad contiene fracciones, se comienza por multiplicar ambos la-
dos de ella por el mcd, 6, para eliminar las fracciones.
Multiplicar los dos lados por el mcd, 6.
Propiedad distributiva. Se sumó 2 x en ambos lados. Se restó 18 en ambos lados.
Se dividió ambos lados entre 5.
La solución está graficada en la figura 2.10. ✺
2 Resolver desigualdades lineales cuya solución sea números reales,
o no tengan solución
En los ejemplos 9 y 10 se ilustran dos tipos especiales de desigualdad. El ejemplo
9 es una que se cumple para todos los números reales, y el ejemplo 10 es otra que
nunca se cumple para los números reales.
Ejemplo 9 Resuelva la desigualdad y grafique la solución en una
recta numérica.
Solución
Se usó la propiedad distributiva. Se redujeron los términos semejantes. Se restó 2 x en ambos lados.
Como el 6 siempre es menor que 8, la solución es todos los números reales (figu-
ra 2.11). ✺
Ejemplo 10 Resuelva la desigualdad y grafique la solución en una
recta numérica.
Solución
Se utilizó la propiedad distributiva. Se redujeron los términos semejantes. Restar 4 x en ambos lados.
Como 4 nunca es mayor que 5, la respuesta es no tiene solución (figura 2.12). No
existe ningún número real que haga que la proposición sea verdadera. ✺
4 x - 4 x + 4 7 4 x - 4 x + 5
4 x + 4 7 4 x + 5
4 x + 4 7 x + 5 + 3 x
41 x + 12 7 x + 5 + 3 x
41 x + 12 7 x + 5 + 3 x,
2 x - 2 x + 6 … 2 x - 2 x + 8
2 x + 6 … 2 x + 8
2 x + 6 … 5 x - 3 x + 8
21 x + 32 … 5 x - 3 x + 8
21 x + 32 … 5 x - 3 x + 8,
x …
5 x … 24
5 x + 18 … 42
3 x + 18 … - 2 x + 42
6 a
x + 3 b … 6 a -
x + 7 b
x + 3 … -
x + 7
x + 3 … -
x + 7,
J 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
162 • Capítulo 2 • Solución de ecuaciones y desigualdades lineales
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 53
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
FIGURA 2.
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
FIGURA 2.
FIGURA 2.
164 • Capítulo 2 • Solución de ecuaciones y desigualdades lineales
1 n - 42 Ú
1 n - 42
1 t + 22 …
12 t - 62
x 6
x
14 - r 2 …
r - 9 6
t + r
t
x 5
x 6
x 3
x 4
1.2 1 m - 32 Ú 4.6 12 - m 2 + 1.7 - 4.6 14 - x 2 6 2.4 1 x - 32 - 0.
1.2x + 3.1 6 3.5x - 3.8 - 5.3r - 6.7 Ú 2.3 - 6.5r
512 x + 32 Ú 6 + 1 x + 22 - 2 x - 31 - 2 x + 122 6 - 41 x + 22 - 6
4 x - 4 6 41 x - 52 - 21 - 5 - x 2 7 31 x + 22 + 4 - x
613 - x 2 6 2 x + 12 213 - x 2 + 4 x 6 - 6
x + 3 6 x + 4 x + 5 Ú x - 2
Solución de problemas
59. Temperaturas de Chicago La gráfica siguiente mues- tra las temperaturas promedio máxima y mínima men- suales en Chicago, durante un periodo de 126 años ( Fuente: meteorólogo Richard Koeneman/WGN-TV). Observe que los meses no están en orden.
a) ¿En cuáles meses la temperatura máxima prome- dio fue 65ºF? b) ) ¿En cuáles meses la temperatura máxima prome- dio fue 65ºF? c) ¿En cuáles meses la temperatura mínima promedio fue 29ºF? d) ) ¿En cuáles meses la temperatura mínima prome- dio fue 58ºF?
Temperaturas promedio mensuales ordenadas de la más fría a la más cálida
Aeropuerto Internacional O’Hara
Los números indican las máximas y mínimas promedio mensuales.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Grados (Fahrenheit)
Mes
Ene Feb Dic Mar Nov Abr Oct May Sep Jun AgoJul
29 34 34
46 48
59 63
70 75
80 82 84
13 17 19
29 32
39 42
48
54 58
62 63
60. Parques populares La gráfica siguiente indica los 5 si- tios más visitados del Sistema de Parques Nacionales de Estados Unidos, durante el año 2001.
a) ¿En cuáles sitios el número de visitantes fue 12,000,000? b) ¿En cuáles sitios el número de visitantes fue 10,000,000, pero 15,000,000? c) ¿En cuáles sitios el número de visitantes fue 8,000,000 pero 10,175,812? d) ¿En cuáles sitios el número de visitantes fue 14,486,065 y 14,486,065?
61. Los símbolos de desigualdad que se han estudiado has- ta este momento son , , y . ¿Podría citar algu- no que no se hubiera mencionado en esta sección?
Blue Ridge Parkway Golden Gate NRA Great Smoky Mountain NP Lake Mead NRA Gateway NRA
19,153, 14,486, 10,175, 8,755, 7,927,
0 10,000,000 20,000, Visitantes en 2001.
Parques más visitados en los E.U.
Fuente: National Parks Service
Resumen del capítulo • 165
62. A continuación se presenta una parte de la hoja de devolución de impuestos del Florida Individual and Joint Intangi- ble Tax Return, para 2001.
Utilice la Hoja para Calcular Impuestos a fin de determinar el impuesto total que se adeuda (Línea 6E), si los activos totales gravables del Programa A, línea 5, son los que siguen. a) 30,000 y el llenado es individual. b) $175,000 y su llenado es individual. c) $200,000 y su llenado es conjunto. d) $300,000 y su llenado es conjunto.
63. Considere la desigualdad donde x y y representan números reales. Explique por qué no se puede hacer el paso siguiente: Dividir ambos lados entre y_._
xy y
y
xy 7 6,
Instrucciones. Determine cuál columna se aplica con base en el estado de llenado. Ocupe sólo la columna aplicable.
6A. Introduzca los Activos Totales Intangibles del Programa A, Línea 5.
(Ocupe sólo una columna de las de abajo)
6B. Multiplique por la Tasa Impositiva
6C. Impuesto bruto
6D. Reste la exención personal 6E.
Individual
$
0.
$
$20.
$
Conjunto
$
0.
$
$40. Introduzca el impuesto total debido al pasode la cantidad al Programa A, Línea 6. $
HOJA PARA CALCULAR IMPUESTOS
Problemas de reto
64. Resuelva la desigualdad siguiente.
312 - x 2 - 412 x - 32 … 6 + 2 x - 4 x
65. Solucione la siguiente desigualdad.
6 x - 6 7 - 41 x + 32 + 51 x + 62 - x
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.9] 66. Evalúe para
67. Evalúe para
[2.5] 68. Resuelva 4 - 312 x - 42 = 5 - 1 x + 32.
- x^2 x = -5.
- x^2 x = 3. [2.6]^ 69.^ Cuenta de la electricidad.^ La Milford Electric Company cobra $0.174 por kilowatt-hora de electricidad. La factura mensual de los Vega por consumo fue de $87 durante julio, ¿cuántos ki- lowatts-hora de electricidad usaron los Vega en el mes de julio? R ESUMEN DEL CAPÍTULO
Términos y frases importantes
(continúa en la página siguiente)
Coeficiente numérico Constante Expresión Factor Reducir términos semejantes Simplificar una expresión Término Términos semejantes Variable
Comprobar una ecuación Despejar la variable Ecuaciones equivalentes Ecuación lineal Propiedad de igualdad de la suma Resolver una ecuación Solución de una ecuación
Propiedad de la multiplica- ción de igualdad Recíproco
Contradicción Ecuaciones condicionales Identidad
Extremos
Figuras semejantes Medios Pendiente Productos cruzados Proporción Razón Términos de una razón
Desigualdad Sentido (u orden) de la desigualdad
Ejercicios de repaso del capítulo • 167
91. 1 ft
2 pies
3.5 pies
7 pies
x
[2.7] Resuelva cada desigualdad y grafique la solución en una recta numérica.
**92. 93.
- 99.**
1 t - 22 …
14 + 2 t 2
x 2
1 x + 32
x - 2 … - 4 x + 7 - 1 x + 22 6 - 21 - 2 x + 52
21 x + 32 7 6 x - 4 x + 4 x + 6 7 9 x + 30
5 - 3 r … 2 r + 15 21 x + 42 … 2 x - 5
3 x + 4 Ú 10 - 4 a - 6 7 4 a - 14
65. no solución 66. 10 **67.
- 69.** no solución **70.
- 73.** no solución
[2.6] Determine las razones siguientes. Escriba cada razón en sus términos mínimos.
x 4
x 6
1 x + 32
12 - x 2 =
1 - 2 x + 22
212 t - 42 5
3 t + 6 4
13 s + 42 =
12 s - 82
x 6
x - 4 2
x + 3 2
x 2
41 x - 32 - 1 x + 52 = 0 - 214 - x 2 = 61 x + 22 + 3 x
4 - c - 214 - 3 c 2 = 31 c - 42 21 x + 72 = 6 x + 9 - 4 x - 513 - 4 x 2 = - 6 + 20 x - 9
3 x - 12 x = 24 - 9 x 5 p - 2 = - 21 - 3 p + 62 412 x - 32 + 4 = 8 x - 8
- 1 w + 22 = 213 w - 62 2 x + 6 = 3 x + 9 - 3 - 5 a + 3 = 2 a + 10 - 1
9 x - 6 = - 3 x + 30
w =
1 w - 22
1 r - 62 = 3 r
78 7
d 6
p 3
- 2.3 1 x - 82 = 3.7 1 x + 42
8.4r - 6.3 = 6.3 + 2.1r 19.6 - 21.3t = 80.1 - 9.2t 0.35 1 c - 52 = 0.45 1 c + 42 - 35.
1 4 x + 6 - 7 x + 9 = 18 - 1 4 + 31 x + 22 = 10 - 3 + 3 x = - 21 x + (^125)
- 6 n + 2 n + 6 = 0 32 - 3 = 3 w - 14 w + 62 - 3 6 - 12 n + 32 - 4 n = 6 - (^12) 79. 12 pies a 20 pies 80. 80 onzas a 12 libras 81. 32 onzas a 2 libras
Resuelva cada proporción.
x
x
b 6
x
135 4
x
x
x 80
x 4
Los pares de figuras siguientes son semejantes. Para cada par encuentre la longitud del lado que se denota como x.
90. (^) 30 pulg. 40 in.
6 pulg.
8 pulg.
x
67. and 70. all real numbers 68. - 4
168 • Capítulo 2 • Solución de ecuaciones y desigualdades lineales
102. Viaje en lancha Una embarcación navega 40 millas en 1.8 horas. Si viaja a la misma velocidad, ¿cuánto tiempo le tomará recorrer 140 millas?
[2.6] Plantee una proporción y resuelva cada problema.
103. Pastel Si una rebanada de 4 onzas de pastel tiene 160 calorías, ¿cuántas tendrá una rebanada de 6 onzas? 104. Máquina copiadora Si una máquina puede copiar 20 pá- ginas por minuto, ¿cuántas páginas copiará en 22 minutos? 105. Escala de un mapa Si la escala de un mapa es de 1 pulgada a 60 millas, ¿qué distancia en el mapa represen- tará a 380 millas? 106. Modelo de carro Bryce Winston construye un mode- lo de carro a escala de 1 pulgada a 1.5 pies. Si el modelo terminado mide 10.5 pulgadas, ¿cuál es el tamaño real del auto? 107. Tipo de cambio Si 1 dólar estadounidense se cambia por 9.165 pesos mexicanos, encuentre el valor de 1 pe- so en términos de dólares estadounidenses. 108. Catsup Si una máquina puede llenar y sellar 80 bote- llas de catsup en 50 segundos, ¿cuántas botellas llena- rá y sellará en 2 minutos? 103. 240 calories
Examen de práctica del capítulo
Utilice la propiedad distributiva para simplificar.
1.
2. - 1 x + 3 y - 42 - 314 - 2 x 2
Simplifique
**3.
6.**
7. 2 x^2 + 3 + 213 x - 22
a - 2 b + 6 a - 6 b - 3
4 + 2 x - 3 x + 6
5 x - 8 x + 4
Resuelva los ejercicios 8 a 16.
8.
9.
10.
11. 0 **12.
14.**
15.
17. ¿Cómo se llama una ecuación que tiene a) exactamente una solución, b) ninguna solución, c) todos los números reales como solución?
12 x - 52 =
x -
x
- 312 x + 32 = - 213 x + 12 - 7
3 x - 4 - x = 21 x + 52
2 x - 31 - 2 x + 42 = - 13 + x
3 w + 212 w - 62 = 413 w - 32
6 m - 14 - 2 m 2 = 0
1 x - 22 = x - 3
2.4x - 3.9 = 3.
Resuelva los ejercicios 18 a 21 y grafique la solución en una recta numérica. 18.
19.
20.
21.
22. Las siguientes figuras son semejantes. Encuentre la lon- gitud del lado x. 23. Insecticida Si 6 galones de insecticida alcanzan para dar tratamiento a 3 acres de terreno, ¿cuántos galones se necesitarán para tratar 75 acres? 24. Utilidad de una gasolinera Suponga que el propieta- rio de una gasolinera logra una utilidad de 40 centavos por galón de gasolina que vende. ¿Cuántos galones ten- dría que vender en un año a fin de obtener una utilidad de $20,000 por las ventas de gasolina? 25. Tiempo de viaje Mientras viaja, el lector observa que recorre 25 millas en 35 minutos. Si su velocidad no cam- bia, ¿cuánto tiempo le tomará recorrer 125 millas?
8 pies 3 pies
4 pies
x
- 1 x - 22 - 3 x = 411 - x 2 - 2
41 x + 32 + 2 x 6 6 x - 3
31 x + 42 Ú 5 x - 12
2 x - 4 6 4 x + 10
