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1.6 Desigualdades
OBJETIVOS
Resolver desigualdades lineales en una variable. Resolver desigualdades con valor absoluto. Resolver problemas expresados en palabras que tienen como modelo una desigualdad lineal.
Una desigualdad es una proposición en la cual se relacionan dos o más expresiones algebraicas o que no son iguales. Así como en las ecuaciones se utiliza el símbolo “ = ” para indicar la igualdad de las expresiones, en las desigualdades se utilizan cuatro símbolos para representar la relación entre las expresiones a b Se lee a es mayor que b y significa que el número real a es mayor que el número real b. a b Se lee a es menor que b y significa que el número real a es menor que el número real b. a b Se lee a es mayor o igual que b y significa que el número real a es mayor que el número real b pero también puede ser que los números sean iguales. a b Se lee a es menor o igual que b y significa que el número real a es menor que el número real b pero también puede ser que los números sean iguales. La solución de una desigualdad es el conjunto de todos los números que hacen la proposición verdadera. Generalmente la solución de una desigualdad es un subconjunto infinito de números reales que lo representamos por medio de intervalos. Aunque los intervalos y sus operaciones debieron ser estudiados por el estudiante en cursos previos a éste, en la tabla siguiente se muestran los diferentes tipos y sus formas de representación.
T i p o s d e i n t e r v a l o s Notación Desigualdad Gráfica ( , ) a b
[ a b , ]
[ , ) a b
( , ] a b
( , a )
[ , a )
( , ) b
( , ] b
a x b
a x b
a x b
a x b
a x
a x
x b
x b
5 4 3 2 1 0 1 2
Desigualdades lineales
Para resolver una desigualdad se utilizan las propiedades de las desigualdades, las cuales producen desigualdades equivalentes, es decir desigualdades que tienen la misma solución que la desigualdad dada. La tabla siguiente muestra las propiedades de las desigualdades
P r o p i e d a d e s d e l a s d e s i g u a l d a d e s Si a , b y c son números reales se tiene Propiedad aditiva : Si se suma o resta el mismo número real a ambos lados de una desigualdad, la desigualdad se mantiene, es decir Si a b entonces a c b c Propiedad multiplicativa : a. Si se multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por el mismo número real positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene, es decir Si a b y c 0 entonces ac bc b. Si se multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por el mismo número real negativo, el sentido de la desigualdad se invierte, es decir Si a b , y c 0 entonces ac bc
Ejemplo 1: Representaciones de un intervalo
Represente la desigualdad dada como un intervalo y en forma gráfica
4 x (^32)
Solución
La desigualdad dada incluye a todos los números mayores que – 4 (no se incluye a – 4) y que son menores o iguales a 32. La representación en nomenclatura de intervalo es
^ 4,^32
La representación gráfica en la recta real es la siguiente
Ejemplo 2: Solución de una desigualdad lineal
Resuelva la desigualdad 4 x 3 8 x 5
Solución
Se utilizarán las propiedades de las desigualdades para despejar x Restando 8 x a ambos lados de la desigualdad y simplificando se tiene
x x Ahora se dividirá ambos lados entre – 3, teniendo el cuidado de invertir el sentido de las desigualdades (^)
x
x Ordenando la desigualdad anterior se tiene que la solución es 9 x 5 O en forma de intervalo
Otra forma de resolver este problema, consiste en dividir la desigualdad en las dos desigualdades 2 1 ^3 7
x y 1 (^3) 4 7
x
Resolviendo la primera desigualdad Resolviendo la segunda desigualdad
x
x x x x
x x x x x x
La solución de la desigualdad está formada por todos los números que son mayores o iguales que – 9 y menores que 5, es decir por la intersección de los intervalos ( ,5)y [ 9, ). Por lo que la solución de la desigualdad es 9 x 5 o en forma de intervalo [ 9,5)
Ejemplo 4: Solución de una desigualdad racional
Resuelva la desigualdad (^)
2 x 3
Solución
El procedimiento para resolver desigualdades racionales se estudia detalladamente en la próxima sección, aunque algunas de ellas pueden resolverse utilizando las propiedades de las desigualdades y los procedimientos para resolver desigualdades lineales. Observe que la fracción del lado izquierdo es menor o igual que cero. Como el numerador es negativo se tiene que el denominador de la fracción debe ser positivo para que la fracción sea negativa, es decir que 2 x 3 0. El denominador no puede ser igual a cero ya que esto hace indefinida la fracción. Al resolver la desigualdad anterior se tiene que
x x x
Por lo que la solución de la desigualdad en forma de intervalo es 3 2 ,
Desigualdades lineales con valor absoluto
Si bien para resolver una desigualdad que contiene valor absoluto se puede utilizar la definición de valor absoluto para redefinir las expresiones de manera que no contengan valor absoluto. En la mayoría de los problemas que se proponen en éste documento es más fácil resolverlo si se utiliza la siguiente propiedad
P r o p i e d a d d e l v a l o r a b s o l u t o Si b 0 entonces
1. La desigualdad a b es equivalente a ^ b^ ^ a^ b 2. La desigualdad a b es equivalente a a^ b o a^ b
Ejemplo 5: Solución de una desigualdad con valor absoluto
Resuelva la desigualdad 2 x 5 3
Solución
Para resolver esta desigualdad utilizamos la propiedad 1, obteniendo 3 2 x 5 3 La desigualdad anterior se resuelve en forma similar a la del ejemplo 2, su solución es (^)
x x x
x En notación de intervalos la solución es[ 4, 1]
Ejemplo 6: Solución de una desigualdad con valor absoluto
Resuelva la desigualdad 8 2 3 5 x 4
Solución
Para poder utilizar las propiedades del valor absoluto primero debemos aislar el valor absoluto usando las propiedades de las desigualdades
Ejercicios de la sección 1.
En los ejercicios 1 a 5 exprese la desigualdad como un intervalo y dibuje su gráfica.
1. x 5 2. x 3 3. 12 x 4 4. 8 x 20 5. 53 x ^35
En los ejercicios 5 a 10 exprese el intervalo como una desigualdad y dibuje su gráfica.
8. 32 ,
En los ejercicios 11 a 40 resuelva la desigualdad, exprese la respuesta en forma de intervalo y en forma gráfica
11.^4 x ^8 ^12 12.^4 x^ ^2 ^3 x ^1 13. 6 3 x 3 14. 2 x 5 5 x 2 15. 8 23^ x^ x ^13 16. 1 x 2^ x^ 3 x^ 4 x 17. x (2 x 3) (2 x 1)( x 5) 18.^ (4^ x^ ^ 3)(^ x^ ^ 6)^ ^ (2^ x ^ 1)^2 19. ( x 1)(2 x 2) 12 ( x 3)(4 x 4) 20. 2 x 2 (6 x x 5) (3 x 2)(4 x 1) 1 21. 3 2 x 1 2 22. 4 5 x 3 0 23. 1 3^ x 2 ^1 5 24. 2 52^ x 1 2 25. 5 6 55^ x 1 26. x^1 ^1 0 27. 5 ^42 x 0 28. ( x ^3 4) 2 0 29. 5 x^4 ^3 0 30. x (^21) ^9 0 31. 3 x 1 2 32. 2 x 3 6 33. 2 x 5 34. 2 x 1 3 0 35. 7 x 3 5 36. 2 13 2 3 x 10 37.^3^ x 2 ^5 4 38. 4 2 3^ x 1 4 39. x ^2 5 0 40. 4 ^4 3 x 4 41. En el puerto de San José las temperaturas en grados Celsius varían aproximadamente entre 15 C 34. Utilice la relación entre grados Celsius y Fahrenheit del ejemplo 7 para encontrar el intervalo de variación de la temperatura en el Puerto de San José en grados Fahrenheit. 42. Si una empresa produce x unidades de cierto producto el costo de producción está dado por c 5.8 x 300. Determine el intervalo de producción de tal forma que los costos sean menores o iguales a 5, 43. En cierto circuito eléctrico, las resistencias R , R 1 y R 2 , satisfacen la ecuación 1 2
R R R
Si R 1 15 , ¿qué valores de R 2 hacen que R 10?
