Análisis de matrices: Propiedades de los polinomios característicos - Prof. 10334, Apuntes de Econometría

¡Descarga Análisis de matrices: Propiedades de los polinomios característicos - Prof. 10334 y más Apuntes en PDF de Econometría solo en Docsity!

(Contents of )

J. Rojo

Algebr^  a lineal. 2a edicion corregida

Editorial AC, Madrid, 1991

563 pp.

Algebra lineal

Jes us ROJO

 Algebra lineal

AMS Sub ject Classi cation: 15-01 Clasi cacion Decimal: 512.

Jes us ROJO

Departamento de Matematica Aplicada

E.T.S. de Ingenieros Industriales

Paseo del Cauce, s/n

47011 VALLADOLID , Espa ~na

• 1 No ciones basicas. Notas para el lector. xi
  • 1.1 Teora de conjuntos. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.2 Funciones. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.3 Relaciones. Relacion de orden. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.4 Los n umeros naturales. Principio de induccion. : : : : : : : : : : :
  • 1.5 Conjuntos nitos y numerables. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.6 Relacion de equivalencia. Conjunto co ciente. : : : : : : : : : : : : :
  • 1.7 Op eraciones. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.8 Estructuras algebraicas con op eraciones internas. : : : : : : : : : :
  • 1.9 Subgrup os, ideales, subanillos, sub cuerp os. : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.10 Grup o y anillo co ciente. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.11 El orden de los n umeros reales. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.12 Conjugado, modulo y argumento de un n umero complejo. : : : : :
  • 1.13 Polinomios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.14 Permutaciones. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 2 Espacios vectoriales.
  • 2.1 Espacios vectoriales, aplicaciones lineales. : : : : : : : : : : : : : :
    • 2.1.13 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 2.2 Pro ducto de espacios; sub espacios. : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 2.2.28 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 2.3 Espacio co ciente; suma de sub espacios. : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 2.3.27 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 2.4 Bases de un espacio vectorial. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 2.4.39 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 2.5 Dimension de un sub espacio. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 2.5.16 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 3 Aplicaciones lineales y matrices. vi Contenido
  • 3.1 Propiedades de las aplicaciones lineales. : : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.1.28 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 3.2 Matrices. Matriz de una aplicacion lineal. : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.2.21 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 3.3 Los espacios vectoriales L(E ; E 0 ) y M (n; m). : : : : : : : : : : : :
    • 3.3.11 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 3.4 Los anillos L(E ) y M (n). Matrices inversibles. : : : : : : : : : : :
    • 3.4.38 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 3.5 Matrices y co ordenadas. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.5.33 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 3.6 Dual de un espacio vectorial. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.6.40 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 4 Determinantes.
  • 4.1 Formas n-lineales alternadas. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 4.1.30 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 4.2 Determinantes. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 4.2.24 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 4.3 Calculo de un determinante. Determinantes e inversion de matrices.
    • 4.3.16 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 4.4 Determinantes y rango. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 4.4.11 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 5 Sistemas de ecuaciones lineales.
  • 5.1 Estudio general de un sistema. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 5.1.21 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 5.2 Obtencion de las soluciones de un sistema. : : : : : : : : : : : : : :
    • 5.2.12 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 6 Diagonalizacion de endomor smos y matrices.
  • 6.1 Sub espacios invariantes. Vectores y valores propios. : : : : : : : : :
    • 6.1.21 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.2 Polinomio caracterstico. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 6.2.15 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.3 Diagonalizacion: condiciones. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 6.3.14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.4 Forma triangular de endomor smos y matrices. : : : : : : : : : : :
    • 6.4.6 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.5 Polinomios que anulan una matriz. : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 6.5.14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.6 Forma canonica de endomor smos y matrices. : : : : : : : : : : : : :
    • 6.6.30 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 7 Formas bilineales y formas sesquilineales. Contenido vii
    • 7.1 Formas bilineales sobre un espacio vectorial. : : : : : : : : : : : : :
      • 7.1.22 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 7.2 N ucleo y rango de una forma bilineal. : : : : : : : : : : : : : : : :
      • 7.2.20 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 7.3 Formas cuadraticas. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
      • 7.3.14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 7.4 Bases ortogonales. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
      • 7.4.18 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 7.5 Formas bilineales p ositivas y pro ducto escalar (real). : : : : : : : :
      • 7.5.16 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
      • plejo). : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.6 Formas sesquilineales, formas hermticas y pro ducto escalar (com-
      • 7.6.30 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 7.7 Matrices p ositivas y estrictamente p ositivas. : : : : : : : : : : : : :
      • 7.7.21 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8 Espacios eucldeos y espacios unitarios.
    • 8.1 Espacios eucldeos y espacios unitarios. : : : : : : : : : : : : : : : :
      • 8.1.19 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 8.2 Bases ortogonales y ortonormales. : : : : : : : : : : : : : : : : : :
      • 8.2.24 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 8.3 La proyeccion ortogonal. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
      • 8.3.20 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 8.4 Endomor smos en un espacio con pro ducto escalar. : : : : : : : : :
      • 8.4.32 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 8.5 Endomor smos autoadjuntos. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
      • 8.5.18 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 8.6 Endomor smos normales. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
      • 8.6.15 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 8.7 Isometras. Automor smos unitarios y ortogonales. : : : : : : : : :
      • 8.7.15 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 8.8 Endomor smos p ositivos. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
      • 8.8.14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • Libros cuya lectura se recomienda.
  • Problemas.
  • Soluciones de ejercicios y problemas.
• Indice de smb olos.
  • Indice

Captulo 6

Diagonalizacion de endomor smos y

matrices.

Ademas de la diagonali zaci on propiamente dicha, este captulo estudia la reduccion a la forma triangular y a la forma de Jordan. Este ultimo asp ecto es el que requerira mayor esfuerzo, puesto que algunos razonamientos que se emplean son difciles. El lector deb era p oner tambien atencion a la cuestion del cuerp o (IR o C) en el que se reduce una matriz, y a la diferencia entre valor propio y raz del p olinimi o caracterstico, estudiando con particular atencion los apartados 6.2.11 y 6.2.12.

Nota. En este captulo y los siguientes, IK representa siempre IR o C. Por lo que a este captulo se re ere, la limitacion a estos casos tiene p or ob jeto la utilizaci on de los resultados que se exp onen en 1.13.11 y 1.13.12, ya que, si bien no son sencillos de probar, al menos seran resultados cono cidos para el lector de este libro. La extension de algunos resultados de este captulo a cuerp os diferentes requiere substituir C p or un cuerp o `algebraicamente cerrado', es decir, un cuerp o para el que to do p olinomio no constante p osea una raz.

6.1 Sub espacios invariantes. Vectores y valores

propios.

6.1.1 Sea E un espacio vectorial sobre el cuerp o IK y f : E! E un endo-

mor smo de E. Un subespacio invariante para f es un sub espacio F de E tal

que

f (F )  F ;

o sea, tal que

x 2 F ) f (x) 2 F :

Ejemplos sencillos de tales sub espacios son f 0 g, E , Im f y Ker f , que son invarian-

tes indep endientemente de la naturaleza del endomor smo f.

Si F es un sub espacio invariante para f , p o demos considerar la aplicacion

F! F

x! f (x)

238 6. Diagonalizacion de endomor smos y matrices

que enva cada vector x de F a su imagen p or f ; esta aplicacion es un endomor smo

de F , el `endomor smo inducido' p or f en F. Es habitual representar tambien

p or f el endomor smo inducido.

6.1.2 Sea E un e.v. y f 2 L(E ). Sup ongamos que

E = F 1 


 Fp ;

donde F 1 ; : : : ; Fp son sub espacios invariantes para f , con dimensiones n 1 ; : : : ; np

diferentes de 0. Si (a 1 ; : : : ; an 1 ) es una base de F 1 , (an 1 +1 ; : : : ; an 1 +n 2 ) una base

de F 2 , etc., y consideramos la base de E

(a 1 ; : : : ; an 1 ; an 1 +1 ; : : : ; an 1 +n 2 ; : : : )

formada p or la reunion de dichas bases (v. 2.5.7b), entonces la matriz de f en esta

base es de la forma

[f ; (ai )] =

A 1

A 2

Ap

o sea, lo que se suele llamar una matriz diagonal p or blo ques (vease el ejercicio 4 de

la seccion 3.2). La matriz A 1 es la matriz del endomor smo inducido p or f en F 1

representado en la base (a 1 ; : : : ; an 1 ) , la matriz A 2 es la matriz del endomor smo

inducido p or f en F 2 representado en la base (an 1 +1 ; : : : ; an 1 +n 2 ) , etc.

6.1.3 Ejemplo. Consideremos el endomor smo de IR^3 dado p or

f (x; y ; z ) = (4x + 2 y + z ; 2 x z ; x y + z ) ;

es decir, p or la matriz

A =

Consideremos los vectores

a 1 = (1; 1 ; 0) ; a 2 = (1; 0 ; 1) y a 3 = ( 1 ; 1 ; 1) :

Es facil comprobar que

f (a 1 ) = ( 2 ; 2 ; 0) = 2 a 1

f (a 2 ) = ( 3 ; 1 ; 2) = a 1 + 2 a 2

f (a 3 ) = ( 1 ; 1 ; 1) = a 3 :

Los sub espacios

F 1 = ha 1 ; a 2 i y F 2 = ha 3 i

240 6. Diagonalizacion de endomor smos y matrices

6.1.6 A la vista del ejemplo precedente, el problema se centra en dos asp ectos:

| averiguar si existe alguna base en la que el endomor smo se repre-

sente p or una matriz diagonal, y

| encontrar, cuando exista, una de tales bases.

Notese que los tres vectores de la base del ejemplo precedente veri can que

f (ai ) = i ai

para escalares i que son, en ese caso,

 1 = 0 ;  2 = 1 y  3 = 2 :

Es a partir de esta propiedad como trataremos de resolver los dos problemas

planteados.

6.1.7 DEFINICI ON. Sea E un e.v. sobre IK y f 2 L(E ); sea x 2 E. Decimos

que x es un vector propio de f cuando

(vcp) ( 9  2 IK) f (x) =  x.

6.1.8 Ejemplo. En el ejemplo (6.1.5), los vectores a 1 ; a 2 y a 3 son vectores pro-

pios de f. Hay una in nidad de vectores propios de f ; comprueb ese, p or ejem-

plo, que lo son to dos los vectores de la forma  ai cualesquiera que sean  2 IK

y i = 1 ; 2 ; 3.

6.1.9 El vector 0 es siempre un vector propio, puesto que

f (0) = 0 =  0

cualquiera que sea  2 IK; to dos los escalares hacen pues cierta la igualdad de

(vcp) para el vector 0.

No o curre lo mismo para vectores no nulos; si x 6 = 0 y f (x) = x y f (x) = x,

entonces x x = 0, luego ( )x = 0 y, como x 6 = 0, resulta que  = . Para

cada vector propio x no nulo, existe exactamente un escalar  tal que f (x) = x.

El meto do para encontrar los vectores propios de f es el estudio de los escalares

que sirven para realizar las igualdades del tip o f (x) = x.

6.1.10 DEFINICI ON. Sea E un e.v. sobre IK y f 2 L(E ); sea  2 IK. Deci-

mos que  es un valor propio de f cuando

(vlp) ( 9 x 2 E ; x 6 = 0) f (x) =  x.

La condicion x 6 = 0 que exigimos en (vlp) es imp ortante puesto que, si no, cual-

quier elemento de IK sera un valor propio.

6.1. Vectores y valores propios 241

6.1.11 Ejemplo. En el ejemplo (6.1.5) los escalares 0 ; 1 y 2 son valores propios

de f.

6.1.12 Es tambien util otra forma de considerar los valores propios. Si f 2 L(E )

y  2 IK, representamos p or V () el sub conjunto de E dado p or

V () = fx 2 E j f (x) = xg :

Ya hemos visto que 0 2 V (). Es sencillo probar que V () es un sub espacio

vectorial de E ; es justamente el sub espacio

Ker (f  idE ) ;

n ucleo del endomor smo f  idE (v. 2.1.11). Decimos que V () es el subespacio

propio de f aso ciado a .

Po demos expresar (vlp) es las siguientes formas equivalentes:  es un valor

propio de f si y solo si

(vlp1) V () 6 = f 0 g ,

y tambien si y solo si

(vlp2) el endomor smo f  id no es inyectivo.

Si  6 = , entonces

V () \ V () = f 0 g ;

como se ve utilizando los argumentos de (6.1.9).

6.1.13 Ejemplo. En el ejemplo (6.1.5) se tiene

V (0) = Ker f = ha 1 i

V (1) = Ker (f id) = ha 2 i

V (2) = Ker (f 2 id) = ha 3 i ;

como se comprueba con facilidad. Se puede comprobar tambien que, si  es distinto

de 0 ; 1 y 2, entonces

V () = Ker (f  id) = f 0 g ;

lo que indica que no hay mas valores propios que estos tres.

6.1.14 PROPOSICI ON

Sea f 2 L(E ) y sean  1 ; : : : ; p valores propios de f , to dos distintos

entre s. Si x 1 2 V ( 1 ); : : : ; xp 2 V (p ), y x 1 6 = 0 ; : : : ; xp 6 = 0, entonces

(x 1 ; : : : ; xp ) es un sistema libre.

6.1. Vectores y valores propios 243

6.1.16 PROPOSICI ON

Sea f 2 L(E ) y sean  1 ; : : : ; p valores propios de f , to dos distintos

entre s. Entonces

V ( 1 ) +


+ V (p ) = V ( 1 ) 


 V (p ) :

Si

0 = x 1 +


+ xp

con x 1 2 V ( 1 ); : : : ; xp 2 V (p ), entonces x 1 =


= xp = 0, pues, en caso

contrario, llamando xi 1 ; : : : ; xir a aquellos vectores que no fuesen nulos, resultara

que

0 = xi 1 +


+ xir ;

esto es imp osible, ya que el sistema (xi 1 ; : : : ; xir ) es libre, como consecuencia de

la prop osicion anterior.

Sea entonces x un vector de V ( 1 ) +


+ V (p ) y sup ongamos que

x = x 1 +


+ xp y x = x^01 +


+ x^0 p ;

con x 1 ; x^01 2 V ( 1 ); : : : ; xp ; x^0 p 2 V (p ); se tiene

0 = (x 1 x^01 ) +


+ (xp x^0 p )

y, como acabamos de ver, esto signi ca que

x 1 = x^01 ; : : : ; xp = x^0 p :

El sub espacio suma es, pues, suma directa (v. 2.3.22).

6.1.17 TEOREMA

Sea E un e.v. de dimension n 6 = 0, (a 1 ; : : : ; an ) una base de E ,

f 2 L(E ) y A = [f ; (ai )]. Sea  2 IK; las prop osiciones siguientes

son equivalentes:

(i)  es un valor propio de f ;

(ii) el endomor smo f  id no es inversible ;

(iii) det (A In ) = 0 :

Decir que f  id no es inversible equivale a decir que no es inyectivo, puesto

que E es de dimension nita (v. 3.1.24); se tiene as la equivalencia de (i) y (ii)

(v. 6.1.12).

La equivalencia de (ii) y (iii) proviene de que A In es la matriz de f  id

en la base (a 1 ; : : : ; an ).

244 6. Diagonalizacion de endomor smos y matrices

6.1.18 DEFINICI ON. Si A es una matriz cuadrada con elementos en IK , los

escalares  2 IK tales que

det(A In ) = 0

recib en el nombre de valores propios de la matriz A.

Lo que demuestra el teorema precedente es que los valores propios de un en-

domor smo f de un espacio vectorial de dimension nita son los valores propios

de cualquier matriz aso ciada a f en una base del espacio.

Dos endomor smos del e.v. E que se representen (en bases diferentes) p or la

misma matriz p oseen entonces los mismos valores propios.

Otra consecuencia a un mas imp ortante es que dos matrices semejantes p oseen

los mismos valores propios (v. 3.5.29).

6.1.19 Ejemplo. La matriz

A =

aso ciada al endomor smo del ejemplo (6.1.5) p osee como valores propios 0 ; 1 y 2.

Comprueb ese que estos son los unicos valores  2 IR para los que el determinante

de

A I 3 =

es nulo.

6.1.20 Sea A 2 MIK (n). Los valores propios de A son los del endomor smo

f 2 L(IKn^ ) dado p or A (v. 3.5.1), es decir, los escalares  2 IK para los que existe

un vector x 2 IKn^ , x 6 = 0, tal que

A x =  x :

Se suele hablar de vectores propios de A para referirse a los vectores x 2 IKn

tales que

A x =  x

para alg un  2 IK, o sea, a los vectores propios del endomor smo dado p or A.

Si  2 IK, el sub espacio

V () = fx 2 IKn^ j Ax = xg

de IKn^ se suele denominar subespacio propio de A corresp ondiente a .

246 6. Diagonalizacion de endomor smos y matrices

c) Demuestrese que Im p = F 1 , Ker p = F 2 , Im q = F 2 y Ker q = F 1. d) Demuestrese que F 1 y F 2 son sub espacios invariantes para p y q. e) Siendo E de dimension nita y (a 1 ; : : : ; ar ; ar +1 ; : : : ; an ) una base formada p or reunion de dos bases (a 1 ; : : : ; ar ) y (ar +1 ; : : : ; an ) de F 1 y F 2 , calc ulense las matrices de p y q en dicha base de E. f ) Consideremos el isomor smo

q : E =F 1! F 2

corresp ondiente a la descomp osicion canonica de q (v. 3.1.17) y el isomor smo

g : F 2! E =F 1 x! x_

que vimos en (2.3.18). Demuestrese que q y g son inversos uno del otro. g) Para la suma directa IR^2 = F 1  F 2 ;

donde F 1 = f(x; y ) j x = y g y F 2 = f(x; y ) j y = 0 g, y las corresp ondientes proyecciones p y q , calc ulense las imagenes p(x; y ) y q (x; y ) de un vector (x; y ) 2 IR^2. h) Sean E y E 0 dos e.v., f 2 L(E ; E 0 ) una aplicacion lineal y F un sub espacio de E tal que E = Ker f  F :

Se consideran las proyecciones p y q de E , corresp ondientes a esta suma directa. De- muestrese que f  p = 0 y f  q = f.

8 Sea p una proyeccion de E (vease el ejercicio 6 de esta seccion). Demuestrese que p es justamente la proyeccion sobre Im p paralela a Ker p (vease tambien el ejercicio precedente).

9 Sea E un e.v. de dimension nita y F 1 y F 2 sub espacios de E tales que

E = F 1  F 2 ;

sean p y q las proyecciones corresp ondientes (vease el ejercicio 7 de esta seccion). Se tiene que E ^ = F 1?  F 2?

(vease el ejercicio 10 de la seccion 3.6); consideremos tambien las proyecciones p^0 y q 0 (de E ^ ) corresp ondientes a esta suma directa. Demuestrese que, para to do x^2 E ^ ,

pt^ (x^ ) 2 F 2? ; q t^ (x^ ) 2 F 1? y pt^ (x^ ) + q t^ (x^ ) = x^ :

Demuestrese que q 0 = pt^ y p^0 = q t^.

10 Sea E un e.v. y F 1 y F 2 sub espacios de E tales que

E = F 1  F 2 ;

y sean p y q las corresp ondientes proyecciones (vease el ejercicio 7 de esta seccion). Siendo f 2 L(E ), demuestrese la equivalenci a de:

(i) F 1 y F 2 son invariantes para f , y (ii) f  p = p  f y f  q = q  f.

6.1. Vectores y valores propios 247

11 Siendo f 2 L(E ) y x 2 E , prueb ese la equivalenci a de:

(i) x es un vector propio, y (ii) el sub espacio hxi es invariante.

12 Sea f 2 L(E ),  2 IK y V () el corresp ondiente sub espacio propio. Demuestrese que V () es un sub espacio invariante para f. Demuestrese que el endomor smo inducido p or f en V () es una homotecia de razon  (vease el ejercicio 5 de la seccion 3.4).

13 Sea f 2 L(E ) y sean  1 ; : : : ; p valores propios de f , to dos distintos entre s. Demuestrese que el sub espacio V ( 1 ) 


 V (p ) es invariante.

14 En este ejercicio, f representa un endomor smo de un e.v. E sobre IK y A repre- senta una matriz n  n con elementos en IK. Recuerdense las de niciones de f r^ (v. 3.4.8) y Ar^ (v. 3.4.29) cuando r = 0 ; 1 ; 2 ; : : : ; recuerdense tambien las de niciones de p(f ) y p(A) cuando p(X ) 2 IK[X ] es un p olinomio con co e cientes en IK. Demuestrense los resultados que siguen: a) Si  2 IK es un valor propio de f (de A), entonces ^2 es un valor propio de f 2 (de A^2 ). b) Si  2 IK es un valor propio de f (de A), entonces r^ es un valor propio de f r (de Ar^ ). (Utilcese el principio de induccion para r .) c) Si  2 IK es un valor propio de f (de A) y p(X ) 2 IK[X ], entonces p() es un valor propio de p(f ) (de p(A)). (Utilcese el principio de induccion para el grado del p olinomio.) d) Sea p(X ) 2 IK[X ] un p olinomio que anula f (que anula A), o sea, tal que p(f ) = 0 (p(A) = 0). Si  2 IK es un valor propio de f (de A), entonces  es una raz del p olinomio p(X ). e) Si f 2 = id (A^2 = In ) y  2 IK es un valor propio de f (de A), entonces  = 1 o  = 1. f ) Si f 2 = 0 (A^2 = 0) y  2 IK es un valor propio de f (de A), entonces  = 0.

15 Sea A 2 MIK (n); vamos a considererar el siguiente endomor smo del espacio vec- torial MIK (n): f : MIK (n)! MIK (n) B! AB :

Prueb ese que los valores propios de A y los de f coinciden.

16 En el e.v. SIK (SIR o S (^) C ), formado p or las sucesiones de n umeros reales o complejos seg un el caso, se consideran los endomor smos L; R 2 L(SIK ) de nidos como sigue. L es el `desplazamiento a la izquierda' de las sucesiones, esto es,

L(x 1 ; x 2 ; x 3 ; : : : ) = (x 2 ; x 3 ; x 4 ; : : : ) :

R es el `desplazamiento a la derecha' de las sucesiones, esto es,

R(x 1 ; x 2 ; x 3 ; : : : ) = (0; x 1 ; x 2 ; : : : ) :

Por otra parte se consideran los sub espacios

c 00 ; l 1 ; c 0 ; c y l 1

de SIK , de nidos en (2.2.7) y en el ejercicio 11 de la seccion 2.2.