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PROBLEMA RESUELTO 2.1 Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno 4. Determinese su resultante Solución gráfica. Dibújese a escala un paralelogramo con lados iguales a P y Q. El módulo y la dirección de la resultante se miden y se encuentra que son R=986N 235 «e También puede usarse la regla del triangulo. Las fuerzas P y Q se dibu- jan uniendo extremo y origen y otra vez se obtienen el módulo y la dirección de la resultante por medición directa. R=98N a =35% R=98N 235” el Solución trigonométrica, Úsese otra vez la regla del triángulo; los dos lados y el ángulo de la resultante se conocen. Aplicando la ley de los cosenos. B? =P? + Q? — 2PQ cos B R? = (40N)? + (60 N)? — 240 N)60 N) cos 155" R =97.73N Ahora, aplicando la ley de los senos podemos escribir sená_ senB senÁ_ sen153* m o) R 60N 9773N Resolviendo la ecuación (1) para el seno de A, tenemos (60 N) sen 155 sen A= 97.73 N Usando calculadora, obtenemos primero el cociente, luego su arco seno y el resultado es A = 15.04% a =20% +A = 35.04% Usando tres cifras significativas para escribir el resultado (véase sección 1.6): R=97.7N 2350 «e Solución trigonométrica alternativa, Constrúyase el triángulo rectán- gulo BCD y calcúlese CD = (60 N) sen 25” = 25.36 N BD = (60 N) cos 25% = 54.38 N Y usando entonces el triángulo ACD, obtenemos 25.36 N o = B%N A =15.04 A = 38 N r-= 23 R=97.73N send Otra vez, a =20" + A = 35.04" R=9.7N 235.0 «a 307 5000 lb. 4 ED y 3000 Il A A E Se , 3000 1h PROBLEMA RESUELTO 2.2 Una barcaza os arrastrada por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de 5000 1b dirigida a lo largo del eje de la barcaza, determinense: 4) la tensión en cada una de las cuerdas, sa- biendo que 45%, b) e) valor de ez tal que la tensión en la cuerda 2 sea minima. a) Tensión para « = 45%. Solución gráfica. Empléese la ley del para- lelogramo; la diagonal (resultante) se sabe que es igual a 5 000 Ib y que está dirigida hacia la derecha; los lados se dibujan paralelos a las cuerdas, Si el di- bujo se hace a escala pueden medirse 2600 Mb —« TOO lb E Solución trigonométrica. Puede usarse la regla del triángulo. Obsérve- se que el triángulo mostrado representa la mitad del paralclogramo mostrado arriba, Empleando la ley de los cosenos, escribimos _ 5000 lb Ts 1057 sen 45 sen 30' Con calculadora, primero calculamos y almacenamos el valor del último cociente. Muhtiplicando este valor sucesivamente por sen 45% y sen 30", obte- nemos . T, = 3660 Ib = 2590 lb «e by Valor de «« para 7, mínima. Para determinar el valor de «: tal que la tensión en la cuerda 2 sea mínima usamos otra vez la regla del triángulo. En el es- quema mostrado, la línea 7-1 es la dirección conocida de T, . Las lineas 2-2 in- dican varias direcciones posibles de T,. Obsérvese que el mínimo valor de 7, ocurre cuando T, y T, son perpendiculares. El valor mínimo de 7, es = (5000 Ih) sen 30" = 2500 lb Los vatores correspondientes de 7, y ex son T, = ($000 1b) cos 30” = 4330 lb e = 90% — 30% n= 28 Dos fuerzas actúan sobre una carretilla que se mueve a lo largo de una viga horizontal como se muestra aquí. Sabiendo que a = 25”, a) determínese por trigonometría el módulo de la fuerza P de manera que la fuerza resultante que se ejerce sobre la carretilla sea vertical. hb) ¿Cuál es el módulo correspondiente de la resultante? í 1600 N EN p Fig, P2.8 y P2.13 2.9 Un automóvil averíado es arrastrado por dos cuerdas como sc muestra. La tensión en AB es de 500 lb y el ángulo a es de 25%. Si se sabe que la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A está dirigida a lo largo del eje del automóvil, determínese por trigonome- tría: «) la tensión en la cuerda AC y 6) el módulo de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A. 2.10 Resuélvase el problema 2.9 suponiendo que la tensión en la cuerda AB cs 4 KN y que a = 20", 2.11 Resuélvase el problema 2.8 suponiendo que a = 35%, 2.12 Un automóvil averiado es arrastrado por medio de dos cuerdas como se muestra en la figura adjunta. Si se sabe que la tensión en la cuerda AB es 750 lb, determínense por trigonometría la tensión en la cuerda 4C y el valor de «: tal que la fuerza resultante ejercida sobre A sea una fuerza de 1200 Ib dirigida a lo largo del eje del automóvil. 2.13 Dos fuerzas actúan sobre una carretilla que se mueve a lo largo de una viga horizontal como se muestra. Determínense por tri- gonometria el módulo y dirección de la fuerza P de manera que la resultante sea una fuerza vertical de 2500 N. 2.14 Resuélvase el problema 2.2 por trigonometria. 2.15 Determinense por trigonometría el módulo y dirección de la resultante de las dos fuerzas mostradas. 2.16 Si la resultante de las dos fuerzas que se ejercen sobre la carretilla del problema 2.8 debe ser vertical, determinense: a) el valor de a para el cual el módulo de P es mínimo y 5) el módulo corres- pondiente a P, 2.23 Problemas Fig. P2.9 y P2,12 200 1h Flg. P2:15 300 lb PROBLEMA RESUELTO 2.3 Cuatro fuerzas actúan sobre un perno 4 como se muestra en la figura. Determínese la resultante de las fuerzas sobre el perno. E, =10N 1F, cos 20%) Ñ E, sen 20%) nu ponentes x que actúan a la derecha y e cos 1525. DA Se representan por números posi Solución. Las componentes x y y de cada fuerza se determinan por trigonometria como se muestra en la figura y se escriben en la tabla. De acuerdo con la convención adoptada en la sección 2.7, un número escalar que representa la componente de una fuerza es positivo sí la componente tiene el mismo sentido que el correspondiente eje de coordenadas. Entonces, las com- las componentes y que actían hacía arri- Fuerza Módulo, N Componente x N Componente y N > — - 2 F, 150 +129.9 +75.0 F, 80 —27.4 +752 F, 110 o —110.0 F, 100 +96.6 25.9 R, = +199.1 R, = +143 En estas condiciones la resultante R de las cuatro fuerzas es B=Ri+Rjo o R=01991Xp+:143Nj El módulo y dirección de la resultamte ya puede determinarse. Del triángulo mostrado en la figura, tenemos 3N =1996N-— R=IMBN 41 a sena Con calculadora, el último cálculo puede facilitarse si el valor de R, se almacena en la memoria al introducirse, de manera que pueda ser llamado para dividirse entre sen e. (Véase también la nota al pie de la página 26.) 28 Estática de particulas Fig. P2.31 200 lb Fig. P2.32 y P2.33 2.23 La barra BC ejerce sobre el pasador en C una fuerza de 485 N dirigida a lo largo de la linea BC. Determínense las com- ponentes horizontal y vertical de esa fuerza. 4 men en 6ñ Fig. P2.23 Fig. P2.24 2.24 La tensión en el tirante de alambre del poste de teléfono es de 555 lb. Determínense las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida sobre el ancla en C. 2.25 Usando las componentes x y y resuélvase el problema 2.1. 2.26 Usando las componentes x y y resuélvase el problema 2.2. 2.27 Determínese la resultante de las tres fuerzas del problema 2.18 2.28 Determínese la resultante de las tres fuerzas del problema 2.17 2.29 Determínese la resultante de las dos fuerzas del problema 2.19, 2.30 Determínese la resultante de las dos fuerzas del problema 2.20. 2.31 Dos cables con tensiones conocidas están atados a la pun- ta de una torre AB. Si se usa un tercer cable 4C como tirante de alambre determínese la tensión en AC, sabiendo que la resultante de las das fuerzas ejercidas en A por los tres cables debe ser vertical, 2.32 Una carretilla está sujeta a las tres fuerzas que se mues- tran. Si se sabe que x = 40”, determínense: a) el módulo de la fuerza P para la cual la resultante de las tres fuerzas es vertical y b) el módulo de la resultante. 2.33 Una carretilla está sujeta a las tres fuerzas que aqui se muestran, Sabiendo que P = 250 lb, determínense: a) el valor del ángulo a para el cual la resultante de las tres fuerzas es vertical y b) el módulo correspondiente de la resultante, 3500 lb (30 kgK9.81 mést 291 N 34 294 N PROBLEMA RESUELTO 2.4 En la operación de descarga de un barco, un automóvil de 3 500 lb es soporta- do por un cable. Se ata una cuerda al cable en A y se tira para centrar al aulo- móvil sobre la posición descada. El ángulo entre el cable y la vertical es de 2%, + mientras que el ángulo entre la cuerda y la horizontal es de 30%. ¿Cuál es la tensión en la cuerda? Solución. Se escoge el punto A como sólido libre y se dibuja el diagra- ma completo de sólido libre. 7,p es la tensión en el cable AB y Tc es la tensión en la cuerda. Condición de equilibrio. Como sélo actúan tres fuerzas sobre el sólido libre, dibujamos un triángulo de fuerzas para expresar que éste se encuentra en equilibrio. Usando la ley de los senos escribimos Tas Tae _ 35001b sen 120% — sen 2% — sen 8” Con calculadora, empezamos por calcular y guardar el valor del último cociente. Multiplicamos este valor sucesivamente por sen 120? y sen 29, y ob- tenemos Tas = 3570 lb ¿=144b «e PROBLEMA RESUELTO 2.5 Determinense el módulo, dirección y sentido de la fuerza F más pequeña que mantendrá en equilibrio al paquete que se muestra al margen. Nótese que la fuerza ejercida por los rodillos sobre el paquete es perpendicular al plano inclinado. Solución. Escogemos el paquete coma sólido libre, suponiendo que podemos tratarlo como partícula. Condición de equilibrio. Puesto que sólo actúan Lres fuerzas sobre el sólido libre, dibujamos un triángulo de fuerzas para expresar que está en equilibrio, La finca 1-1 representa la dirección conocida de P. Para obtener el valor minimo de la fuerza F escogemos la dirección de F perpendicular a la de P. De la geometría del triángulo obtenido, encontramos que F = (294 Ni sen15? =76.1N «a =15% F 76, 1N a 15% «e 36 IN Problemas 2.35 al 238 Dos cables se amarran juntos en € y se cargan como se muestra en la figura. Determínense las tensiones en AC y en BC. Flg. P2.35 20 in 200 kg. L—azómo Fig. P2.36 Fig. P2.37 2.39 Dos cables se amarran en C y se cargan como se muestra, Si se sabe que P = 500 N y a: = 600, determínense las tensiones en AC y en BC. GÍN Fig. P2.40 2.40 Dos cables unidos en el punto C se cargan como se indica en el esquema. Sabiendo que q; = 307, determínense las tensiones en AC y en BC. r ji 2.41 Dos fuerzas de magnitud T, = 8 kips y Tp = 15 kips se 37 aplican como se muestra sobre una conexión soldada. Si se sabe que . . a pre - A roblemas la conexión está en equilibrio, determínense los módulos de las fuerzas To y Tp. “«— r, 960 um Fig. P2.41 y P2.42 2.42 Dos fuerzas de módulo 7, = 6 kips y T¿ = 9 kips se aplican como se muestra sobre una conexión soldada. Si se sabe que la conexión está en equilibrio, determínense los módulos de las fuerzas Tp y Tp. 960 N Fig. P2.43 y P2.44 2.43 Dos cables están unidos en el punte A y soportados como seindica. Sabiendo que P = 640 N, determínese la tensión en cada cable, 2.44 Dos cables están unidos en el punto A y soportados como seindica. Determinese el intervalo de valores de P para el cual ambos cables permanecen tirantes. 2.45 Para los cables del problema 2.40, encuéntrese el valor de « para el cual la tensión es lo más pequeña posible a) en el cable BC y b) en ambos cables simultáneamente. Determínese en cada paso la tensión de los cables. 2,46 Para los cables del problema 2.39, se sabe que la máxima tensión permitida en el cable AC es de 600 N y de 750 N en el cable BC. Determínense a) la fuerza máxima P que puede aplicarse en € y b) el valor correspondiente de a. e 2.47 El collarín A de 60 1b puede resbalar sobre una barra ver- tical sin fricción y está conectado, como se indica, a un contrapeso Cde 65 Ib. Determínese el valor de A para el cual el sistema está en «quilibrio. 2.48 Un cajón movible y su contenido pesan 700 lb. Determí- cr nese la cadena de sostén más corta ACB que puede usarse para le- Fig. P2.47 vantar el cajón si la tensión en la cadena no debe exceder de 1250 1b. Fig. P2.48 PROBLEMA RESUELTO 2.7 El alambre de una torre está anclado en 4 por medio de un perno, La tensión en el alambre es de 2 500 N. Detcrminense a) las componentes F, , F, y F de la fuerza que actúa sobre el perno y 6) los ángulos los, 9, y 6. que definen la di- rección de la fuerza. OS 4. Componente de la fuerza. sobre el perno pasa por A y B, y la fuerza está dirigida de A hacia B. Las componentes del vector AB, que tiene la misma dirección que la fuerza, son d,= Um d, = +80m d, = +30m La distancia total de A a B es AB=d= yd 4d 4 di = 943 m Representando por i, j, k los vectores unitarios a lo largo de los ejes coorde- nados, lenemos AB = —(40 mi + (80 m)j + (30 mk Introduciendo el vector unitario A = AB/AB, escribimos 500 N AB F=FA= 943 m AB Sustituyendo la expresión encontrada para AR, obtenemos 300 N (40 mi + (80 m)j + (30 mk] F —(1060 Ni + (2120 N)j + (795 Nk Por consiguiente, las componentes de F son F,=-1060N — F,=+2120N E =+T95N ». Dirección de la fuerza. Usando las ecuaciones (2.25), escri 42120 N ETE cosh, Calculando sucesivamente cada cociente y su arco coseno, obtenemos 8, = 115.1* 8, = 32.0" 6,=715 (Nota. El resultado también pudo haberse determinado usando las compo- nentes y el módulo del vector AB en lugar de las de la fuerza F). Le PROBLEMA RESUELTO 2.8 Una sección de una pared de hormigón en masa se sostiene temporalmente por los cables mostrados. Sabiendo que la tensión es de 840 Ib en el cable 48 y 1200 lb en el cable AC, determinese el módulo y dirección de la resultante pl de las fuerzas ejercidas por los cables 4B y AC sobre la estaca A. Solución. La fuerza ejercida por cada cable sobre la estaca A se des- compondrá en sus componentes x, y y z. Primero determinaremos las compo- nentes y el módulo de los vectores AB y AC, midiendolos desde 4 hacia la sección de la pared. Representando por Í. j y k a los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados, escribimos AB = —(16f)i + (8 £t)j + (1L£0k AB=21f AC = -(16£)i + (8 fe)j — (16 ft)k AC= 248 Representando por 4, al vector unitario a lo largo de la linea AB, tenemos AB _ 840lb > arg = 21 08 A] sustituir Ja expresión encontrada para AB, obtenemos Tas = Tasdas = A er [—(16£91 + (S£0j + (11 f0k] Tas = —(6401b)i + (320 1b)j + (440 Ib)k Representando con 2yc al vector unitario a lo largo de AC, obtenemos en la semejante AC _ 19001b 72 Tao = Toño = Ly0 20 = PE 40 Te = (800 1b)i + (400 1b)j — (800 Ib)k La resultante R de las fuerzas ejercidas por los dos cables es R= Tan + Tac = (1440 IbJi + (720 lh)j — (360 1b)k El módulo y dirección de la resultante se determinan por: R= VRIFRTS RE Vi 1440" + (7207 41 360)? =1650lb e De las ecuaciones (2.33) obtenemos R — 1440 Ib R +720 lb os 8, = 2 TT 0058, = E 25%. = 22 1650 1b == SOT coso E 3601 1650 lb Calculando en forma sucesiva cada cociente y su arco coseno, obtenemos 0,=1508% —0,=641%. 0,=1026" 2.65 Dos cables BG y BH están atados al marco ACD como 47 se muestra. Si se conoce que la tensión en el cable BG es 540 N, de- IN aa terminense las componentes de la fuerza que ejerce el cable BG sobre Pronlemos el marco en B. Fig. P2.65 y P2.66 Y 2.66 Dos cables BG y BH están atados al marco ACD como se muestra, Sabiendo que la tensión en el cable BH es 750 N, deter- mínense las componentes de la fuerza que ejerce el cable BH sobre el marco en B. CE Jin 2 2.67 Si se sabe que la tensión en el cable AB es de 285 lb, de- Saa terminense las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en B. CA O Fig. P2.67, P2,68, y P2,69 2.68 Sabiendo que la tensión en el cable AC es de 426 Ib, de- termínense las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en €. 250 N 2.69 Si se conoce que la tensión es de 285 lb en el cable AB y de 426 lb en el cable AC, determinense el módulo y dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables. 2.70 Con referencia al marco del problema 2.65 y sabiendo que la tensión es de 540 N en el cable BG y de 750 N en el cable BH, determínense el módulo y dirección de la resultante de las fuerzas que ejercen los cables sobre el marco en B. 2.71 Determínese la resultante de las dos fuerzas mostradas. — Fig. P2.71 48 Estática de partículas h 24m Fig. P2.72 2.72 El ángulo entre cada uno de los resortes AB y AC y el poste DA es de 30". Si se sabe que la tensión es 50 Ib en el resorte AB y 40 lb en el resorte AC, determinense a) el módulo y dirección de la resultante de las fuerzas que ejercen los resortes sobre el poste en A y b) el punto donde la resultante interseca la placa. Aa 720 mm Bas L y 480 mm. le Fig. P2.73 2.73 La varilla OA lleva una carga P y está sostenida por dos cables como se indica. Si se conoce que la tensión en el cable 48 es de 732 N y que la resultante de la carga P y de las fuerzas ejercidas en A por los cables debe estar dirigida a lo largo de 04, determínese la tensión en el cable AC. 2.74 Para la varilla y la carga del problema 2.73, determínese el módulo de la carga P. 2.15. Equilibrio de una partícula en el espacio. De acuer- do con la definición dada en la sección 2,9, una partícula A está en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre A es nula. Las componentes R,, R, y R, de la resultante están dadas por las relaciones (2.31); expresando que las componentes de la resultan te son cero, escribimos 0: EE, y NE, =0 (2.34) 7 sE, Las ecuaciones (2.34) representan las condiciones necesarias y sufi- cientes para el equilibrio de una partícula en el espacio. Éstas pueden usarse para resolver problemas que tratan con el equilibrio de una partícula en los que intervienen no más de tres incógnitas. Para resolver tales problemas trazamos un diagrama de sólido libre, que muestre la partícula en equilibrio y todgs las fuerzas que actían sobre ella. Debemos escribir las ecuaciones de equilibrio (2.34) y resolverlas para las tres incógnitas. En los tipos de problemas más comunes, esas incógnitas representarán 1) las tres componentes de una sola fuerza o 2) el módulo de tres fuerzas cada una con di- rección conocida. Flg. P2.75 Y P2,76 Fig. P2.80, P2.81 y P2.82 Problemas 2.75 Una caja está sostenida por tres cables como se muestra en la figura. Determínese el peso W de la caja, si se sabe que la tensión en el cable AD es de 924 lb, 2.76 Una caja se sostiene por tres cables como se indica en la figura. Determinese el peso W de la caja sabiendo que la tensión en el cable AB es de 1378 lb. 2.77 Unrecipiente está sostenido por tres cables que se atan al techo como se muestra, Determínese el peso W del recipiente, si se conoce que la tensión en el cable AB es 6.0 kW. Fig. P2.77, P2.78, y P2.79 2.78 Unrecipiente está sostenido por tres cables que se atan al techo como se muestra. Determínese el peso W del recipiente sabien- do que la tensión en el cable AD es 4,3 KN. 2.79 Un recipiente de peso W = 9.32 kN está sostenido por tres cables que están atados al techo como se muestra. Determínese la tensión en cada cable, 2.80 Se conectan tres cables en A, donde las fuerzas P y Q es- tán aplicadas como se indica. Determínese la tensión en cada cable cuando P = 28kKNyQ = 2.81 Se conectan tres cables en A, donde las fuerzas P y Q es- tán aplicadas como se observa. Determínese la tensión en cada cable cuando P = 0y Q = 36,4 kN. 2.82 Tres cables están conectados en A, donde las fuerzas P y Q se aplican como se muestra. Si se sabe que Q = 36.4 kN y que la tensión en el cable 48 es cero, determínense a) el módulo y el sentido de P y b) la tensión en los cables AB y AC. 2.83 Una placa triangular se sostiene por medio de tres alam- bres como se muestra. Determínese la tensión en cada alambre sa- biendo que a = 6 in. 2,84 Resuélvase el problema 2.83 suponiendo que a = 3 in. Fig. P2.83 2.85 Al tratar de moverse a través de una superficie resbalosa por el hielo, un hombre de 175 lb usa las dos cuerdas AB y AC. Si se sabe que la fuerza ejercida por el hombre sobre la superficie con- gelada es perpendicular a la superficie, determínese la tensión en cada cuerda. 2.86 Resuélvase el problema 2.85 suponiendo que un amigo ayuda al hombre en A tirando de él con una fuerza P = —(45 Ib)k. 2.87 Un recipiente de peso W = 360 N se sostiene por dos ca- bles AB y AC amarrados a un aro A. Si se conoce que Q = 0, deter- mínense a) el módulo de la fuerza P que debe aplicarse al aro para mantener el recipiente en la posición indicada y b) los valores corres- pondientes de la tensión en los cables AB y AC. 2.88 Resuélvase el problema 2.87 sabiendo que Q = (60 N)k, 2.89 Un recipiente está sostenido por un solo cable que pasa a través de un aro Á sin rozamiento y que está amarrado en los puntos fijos B y C. Para mantener el recipiente en la posición mostrada se aplican al aro dos fuerzas P = Pi y Q = Qk. Sabiendo que el peso del recipiente es W = 660 N, determinense los módulos de P y Q. (Sugerencia. La tensión debe ser la misma en las porciones AB y AC del cable.) 2.90 Determínese el peso W del recipiente del problema 2.89, si se sabe que P = 478 N. 2.9t El cable B4C pasa a través de un aro sin rozamiento A y está unido a los soportes fijos B y C, mientras que los cables AD y AE están amarrados al aro y unidos, respectivamente, a los soportes D y E. Sabiendo que una carga vertical P de 200 lb se aplica al aro A, determínese la tensión en cada uno de los tres cables. 2.92 Si se conoce que la tensión en el cable AE del problema 291 es de 75 lb, determinense a) el módulo de la carga P y 5) la tensión en los cables BAC y AD. => 16% Fig. P2.85 51 A o Problemas 240 1 Fig. P2.87 y P2.89 Fig. P2.91