MATEMÁTICAS 1º DE EMPRESARIALES
TEMA 2: DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
08-09 1
Φ
2.1. MATRICES EQUIVALENTES, CONGRUENTES Y SEMEJANTES.
Dos matrices del mismo orden (pueden ser rectangulares o cuadradas), A y B, son equivalentes si
existen dos matrices P y Q, cuadradas con determinante distinto de cero tales que B=PAQ.
Dos matrices equivalentes tienen el mismo rango
Dos matrices cuadradas del mismo orden, A y B, son congruentes si existe una matriz cuadrada P
con determinante distinto de cero, de modo que se satisface B=PAP
t
.
Si dos matrices son congruentes, entonces son equivalentes, por lo tanto si dos matrices son
congruentes, tienen el mismo rango.
Dos matrices cuadradas de orden n, A y B, son semejantes si existe una matriz cuadrada, P, con
determinante distinto de cero, que satisfaga B=P
-1
AP.
A la matriz B se le llama transformada de A mediante la matriz de paso P.
Propiedades:
- 1. Si A y B son semejantes , entonces son equivalentes.
- 2. Si A y B son semejantes, tienen el mismo rango.
- 3. Si (A,B) y (C, D) son semejantes con la misma matriz de paso, entonces A+C es semejante a
B+D con matriz de paso P.
- 4. Si A y B son semejantes con matriz de paso P, y n es un número natural, A
n
y B
n
son
semejantes con matriz de paso P.
2.2. MATRIZ DIAGONALIZABLE.
Una matriz A es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal, D, es decir, si existe P regular
tal que A=PDP
-1
.
El proceso de cálculo de la matriz diagonal y de la matriz de paso se denomina diagonalización de A.
2.3. VALORES Y VECTORES PROPIOS. PROPIEDADES.
Sea f un endomorfismo definido sobre un espacio vectorial de dimensión n mediante la relación
f(x)=Ax, decimos que t perteneciente a K es un valor propio de la matriz A o del endomorfismo f si
existe un vector x distinto de cero tal que tx=Ax.
Al conjunto de vectores, x, que satisfacen la relación anterior se les llama conjunto de vectores
propios o autovectores asociados a t.
Obtención práctica de valores y vectores propios:
Partimos de la ecuación matricial Ax=tx que también podemos expresar Ax-tx=0 o (A-tI)x=0. La
ecuación vectorial anterior representa un sistema de ecuaciones homogéneo con matriz de los
coeficientes A-tI. Este sistema de ecuaciones tendrá solución distinta de la trivial si el determinante de
la matriz de los coeficientes es cero. El desarrollo de este determinante da lugar a un polinomio de
grado n, al que llamaremos polinomio característico. Cuando igualamos este polinomio a cero, la
ecuación que obtenemos se denomina ecuación característica. Las n soluciones de esta ecuación son
los valores propios que estábamos buscando. Resumiendo:
• Polinomio característico: |A-tI|
• Ecuación característica: |A-tI|=0
• Matriz característica: A-tI
Como la ecuación característica es de grado n, posee n soluciones, no necesariamente distintas. Por lo
tanto es conveniente acompañar cada raíz del número de veces que se repita, a dicho número lo
denominaremos orden de multiplicidad del valor propio..
Una vez calculados todos los valores propios habrá que calcular el conjunto de vectores propios
asociado a cada uno de ellos. Esto lo haremos resolviendo para cada t
i
(valor propio) el siguiente
sistema homogéneo (A-t
i
)x=0
