Apuntes de Geometría: Unidad 6, Diapositivas de Historia

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Geometría

Sesión 6

Ciclo: Marzo 2020

GEOMETRÍA

- Espacio vectorial bidimensional.

ESQUEMA DE LA UNIDAD

ELEMENTOS

DEL ALGEBRA

VECTORIAL EN

R

2 Y R

3

ESPACIO

VECTORIAL

BIDIMENSIONAL

ESPACIO

VECTORIAL

TRIDIMENSIONAL

PROYECCION

ORTOGONAL

LA RECTA EN R

2

LA RECTA EN

R

3

ÁNGULO ENTRE

RECTAS

PLANOS

𝑨

𝑩

𝑶

¿(3,4) es un punto o un vector?

Entre los vectores 𝑨𝑩 𝒚 𝑶𝑨 𝒉𝒂𝒚 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂

Nace en el

centro de

coordenadas

No nace en el

centro de

Vector coordenadas

Radio Vector

Dado un vector 𝒄 ¿ 𝑪ó𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓 𝒔𝒊 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒐 𝒖𝒏 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓?

En adelante 𝐴𝐵; 𝑎Ԧ; 𝑏 son vectores, todos tienen modulo dirección y

sentido, su escritura se diferencia por la interpretación

¿Qué es un Punto?Un Radio Vector

Plano Vectorial Bidimensional 𝑅

2

Un punto en el

Espacio

Radio Vector

𝑩

𝑨

MÓDULO DE UN VECTOR

𝑎 ത 𝑎ത

Es una medida

o valor del

vector

1

2

) ⇒^ 𝑎ത^ =^ (𝑎

1

2 +(𝑎 2

2

2

• 3

2 = 45

DISTANCIA ENTRE PUNTOS

𝟏

𝟏

𝟑

𝟐

𝟐

𝟏

𝑨𝑩

𝑩 − 𝑨 = 𝟑, 𝟐 − 𝟏, 𝟏 = (𝟐, 𝟏)

𝑨𝑩

( 2 )

2 +( 1 )

2

𝑨𝑩 = 𝑨𝑩

= 5

Datos/Observaciones

𝟐 𝟓^ 𝟖 𝟏𝟎

𝒂 (^) 𝒃 𝒄 𝒅

𝒄 = (𝟖, 𝟎) 𝒅^ =^ (𝟏𝟎,^ 𝟎)

VECTORES CANÓNICOS

𝒊 , 𝒋

Puntos o radio vectores

Al tomar dos

puntos se forma

un vector

No es unitario

Convirtiéndolo

en unitario

Vectores unitarios

que se encuentran

en los ejes

Vectores unitarios

que se encuentran

en los cuadrantes

Datos/Observaciones

Conociendo los vectores canónicos i = (1,0) y j = (0,1), se puede expresar

todo vector en función de estos vectores.

𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋

= 𝒙(𝟏, 𝟎) + 𝒚(𝟎, 𝟏)

= (𝒙, 𝟎) + (𝟎, 𝒚)

= (𝒙, 𝒚)

Datos/Observaciones

Dados los vectores: 𝒂ഥ = 𝟒, 𝟓 ; 𝑨𝑩 = −𝟐, 𝟑 ; 𝒃 = 𝟓, −𝟑 ; 𝒄 = (𝟔, −𝟐)

Halle: 𝑎ത + 2 𝐴𝐵 − 3 𝑏𝑐

Halle: 𝑎ത + 2 𝐴𝐵 − 3 𝑏𝑐 ; 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠

Solución:

𝑏𝑐 = 𝑐 − 𝑏 “por la definición del vector”

⇒ 𝟒, 𝟓 + 𝟐 −𝟐, 𝟑 − 𝟑(𝟏, 𝟏) ⇒

E 𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒔 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒏ó𝒏𝒊𝒄𝒐𝒔

⇒

𝑏𝑐 = 𝑐 − 𝑏 “por la definición del vector”⇒ 𝟔𝒊^ −^ 𝟐𝒋^ −^ 𝟓𝒊^ −^ 𝟑𝒋^ =^ 𝒊^ +^ 𝒋

Datos/Observaciones

Dado un polígono de 5 lados con vértices A(-3,2) ; B(5,5) ; C((3,1) ; D((9,-1) y E(-1,-4).

Halle el perímetro de la figura.

Halle la resultante geométricamente de los vectores 𝐴𝐵; 𝐵𝐶; 𝐶𝐷; 𝐷𝐸

Solución:

Perímetro:

2

• 3

2

• (− 2 )

2 +(− 4 )

2

• 6

2

• (− 2 )

2

• (− 10 )

2 +(− 3 )

2

Resultante 𝑨𝑬

Datos/Observaciones

ത 𝑏

𝟑

ഥ 𝒃

ത 𝑏

ത 𝑏

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Ángulo de inclinación de un

vector

Se traza una horizontal

𝜃

𝜃 𝑒𝑠 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛

ത 𝑏

1

2

Las coordenadas de un vector

están en función del módulo del

vector y el ángulo de inclinación

⇒

𝒃 𝟏

𝒃 𝟐

𝒃 𝟏

, 𝒃 𝟐

𝑆𝑒𝑛𝜃 =

𝑏 2

ത 𝑏

⇒

ത 𝑏 𝑆𝑒𝑛𝜃 = 𝑏 2

𝐶𝑜𝑠𝜃 =

𝑏 1

ത 𝑏

⇒

ത 𝑏 𝐶𝑜𝑠𝜃 = 𝑏 1

Datos/Observaciones

El módulo del

vector resultante

se halla por

Pitágoras

Problema: Halle la resultante de los siguientes vectores: A= 4 dirección horizontal, a

la derecha; B= 1 dirección horizontal, a la izquierda; C= 6 con dirección vertical, hacia

arriba y D= 2 con dirección vertical, hacia abajo

3

𝟓 4

En física se trasladan

todos los vectores al

centro de coordenadas

Hay una resultante

horizontal

Hay una resultante

vertical

Los vectores se

disponen en forma

concurrente

3

4

𝟓

Datos/Observaciones

Si un vector

multiplicado por

un escalar da el

otro vector

Denota:

¿Cómo probamos que dos vectores son

paralelos? 𝒂ഥ

ഥ𝒂

ഥ 𝒃

ഥ 𝒃

¿Qué vectores son paralelos? 𝑎ത = 3 , − 2 ;

Datos/Observaciones

Denota: 𝑎ത.

ത 𝑏

El operador Producto Escalar es un número

𝑎 ത.

ത 𝑏 = 𝑎

, 𝑎

. 𝑏

, 𝑏

= 𝑎

. 𝑏

• 𝑎

. 𝑏

Sean los vectores 𝑎ത = 3 , − 2 𝑦

𝑏 = 4 , 4. Halle el producto escalar