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"Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparación para comprender las cosas que hay más allá." HIPATIA DE ALEJANDRIA
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Al nalizar la sesión el estudiante identi ca y resuelve ecuaciones diferenciales exactas.
2.3 Diferencial exacta
La diferencial total de la función F (x, y) es la expresión
df (x, y) = ∂ ∂x
f (x, y)dx + ∂ ∂y
f (x, y)dy
2.3.1 Ecuaciones diferenciales exactas Decimos que la ecuación diferencial
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
es exacta, si existe f (x, y) de modo que
∂f ∂x
= M y ∂f ∂y
= N
2.3.2 Criterio de exactitud
La ecuación diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
es exacta si, y solo si ∂M ∂y =^
∂N
∂x
2.3.3 Solución de ecuaciones diferenciales exactas
Dada la ecuación diferencial
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
.
- Veri camos que la ecuación diferencial sea exacta, entonces existe f (x, y) tal que
∂f ∂x =^ M,
∂f ∂y =^ N
- Integramos esta igualdad con respecto a x (con respecto a y) y se obtiene
f (x, y) =
M dx + g(y), ( f (x, y) =
N dy + h(x)
- Derivamos f respecto a y (respecto a x) y obtenemos ∂f ∂y
= N,
∂f ∂x
= M
de donde podemos despejar g′(y) (o h′(x)).
- Integramos g′(y) (´o h′(x)) para hallar g(y) (´o h(x)).
Esto se puede reducir a utilizar la regla: f (x, y) =
M (x, y)dx +
∫ [
N (x, y) −
∂y M^ (x, y)dx
]
dy = C
Ejemplo 1. Resolver
3 x^2 + 2xy + 3y^2 +
x^2 + 6xy
y′^ = 0
Solución. :
Ejemplo 2. Resolver
(y cos(x) + 2x) dx+(sin(x) + cos(y)) dy = 0; y(0) = π 2 Solución. :
CÁLCULO PARA LA TOMA DE DECISIONES
Semana 2 Sesión 2
EJERCICIOS ADICIONALES
- Resolver ( 3 x^2 + 4xy − 3 x^2 y + 6x
dx +
2 x^2 − x^3
dy = 0
- Resolver ( 3 x^2 + 2y sin(2x)
dx +
2 sin^2 (x) + 3y^2
dy = 0
- Resolver
4 ydx +
2 xydy^ =^ xy
(^2) dy
- Resolver ( 2 y^2 + 3x
dx + 2xydy = 0
CÁLCULO PARA LA TOMA DE DECISIONES
TAREA DOMICILIARIA
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
2 xey^ + 2ye^2 x
dx +
x^2 ey^ + e^2 x^ + 3y^2
dy = 0
- 3 y(x^2 − 1)dx +
x^3 + 8y − 3 x
dy = 0; y(0) = 1
- 2 y(x + y + 2)dx + (y^2 − x^2 − 4 x − 1)dy = 0
- 2 y.y′^ + x^2 + y^2 = − 2 x
- (yey^ − xex) dydx + xex^ = −ex
Respuestas:
- x^2 ey^ + ye^2 x^ + y^3 = c.
- y
x^3 − 3 x
- x
2 y
= c
- ex^
y^2 + x^2
= c
- y
2 2
