¡Descarga Cálculo de autovalores y autovectores de matrices usando el polinomio característico y más Diapositivas en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matemáticas.
Grao de Biotecnoloxía
Diagonalización de matrices
Notas Prácticas Sobre Diagonalización de Matrices.
(Sexa R o corpo dos números reais).
1.- Definición.
Unha matriz D = (αij ) (^) ∈ M nxn ( R ) dise que é unha matriz diagonal se αij = 0, se i (^) ≠ j.
D =
1 2
0 .. .. (^0) n
2.- Exemplo:
D =
3.- Definición.
Duas matrices A, B ∈ M nxn ( K ) dise que son semellantes se existe unha matriz invertible
S ∈ M nxn ( K ) tal que B = S -1^ AS.
4.- Definición.- Polinomio característico dunha matriz A.
Sexa A unha matriz cadrada. Chamamos polinomio característico de A o polinomio
QA(x) = det(A – xI).
5.- Exemplo.
A = (^)
1 4 , Q
A(x) =^ x
x −
(^1 4) = x 2 – 4x + 3 - 6 = x 2 – 4x – 3
B =
, QB (x) = x
x
x
−
= (1 – x)^2 (2 – x) + 3 – 3(1 – x) – (1 – x) =
= - (x – 1)^2 (x – 2) + 4(x – 1) +3 = - (x 2 – 2x + 1)(x – 2) + 4x -1 =
= -x 3 + 4x 2 - 4x + 2 + 4x -1 = -x 3 + 4x^2 + 1
6.- Definición.
Dado unha matriz cadrada A ∈ M nxn ( R ), chámanse vectores propios ou autovectores
de A ós elementos v =
a n
a
a
2
1
∈ R n^ para os que existe un escalar λ∈ R tal que Av = λv.
Sempre existe unha posibilidade trivial v =
e λ = 0 que non se considera.
Polo tanto un vector
a n
a
a
2
1
∈ R n^ dise que é un^ vector propio^ de A se:
i)
a n
a
a
2
1
≠
10.- Exemplo:
e
son matrices semellantes pois se tomamos
S =
entonces S -1^ =
e
S -1^ AS =
11.- Exemplo:
Sexa A =
unha matriz
Se A é diagonalizable, entonces existe
S =
11 12 13 21 22 23 31 32 33
s s s s s s s s s
invertible e D =
3
2
1
0 0
tal que S -1^ AS = D.
[Recordamos que a diagonal de D estará formada polas raíces de QA (x)]
Entonces para calcular os posibles λ 1 , λ 2 , λ 3 temos que calcular as raices do polinomio
det(A - xI) = 0.
det(A - xI) =
x x x
F 3 − F 2
x x
x
x
− −
= (x – 2) 0 1 1
x
x
C 3 + C 2
C 3 + C 2 (x – 2) 0 1 0
x x
x − − −
= (x – 2)(x – 2) 0 1 0
x
x
= (x – 2)^2 (– x) = - x(x – 2)^2.
Logo se existe S e D tal que S -1^ AS = D, necesariamente a diagonal de D será
[0, 2, 2] ou [2, 0, 2] ou [2, 2, 0]. Xa veremos que o orde non é un problema
Que S -1^ AS = D é equivalente a que AS = SD
11 12 13 21 22 23 31 32 33
a a a a a a a a a
11 12 13 21 22 23 31 32 33
s s s s s s s s s
11 12 13 21 22 23 31 32 33
s s s s s s s s s
3
2
1
0 0
Igualamos cada columna da esquerda con cada columna da dereita
A
11 21 31
s s s
= S
1 0 0
λ
= λ 1
11 21 31
s s s
, A
12 22 32
s s s
= S 2
λ
= λ 2
12 22 32
s s s
, A
13 23 33
s s s
= S
3
λ
= λ 3
13 23 33
s s s
Equivalentemente, se denotamos por I a matriz identidade de orden n,
(A - λ 1 I)
11 21 31
s s s
, (A - λ 2 I)
12 22 32
s s s
, (A - λ 3 I)
13 23 33
s s s
O sistema (A - λi I)
z
y
x
terá unha solución distinta da trivial
xa que λi é solución
de Q (^) A(x) = |A – xI| e polo tanto, como | A - λi I| = 0, temos que Rango(A - λi I) < 3.
Xa sabemos que os únicos valores posibles para λ 1 , λ 2 , λ 3 serán 0 e 2. Os posibles valores
para a matriz S serán as solucións dos sistemas
(A - 2I)
z
y
x
; (A - 0I)
z
y
x
Como o 2 está repetido na diagonal de D, necesitamos dúas solucións do sistema
(A - 2I)
z
y
x
Temos as matrices
(A - 2I) =
; (A - 0I) = A =
Que dan lugar ós sistemas
Pero se D =
1 2
0 .. (^0 0) n
, é unha matriz diagonal, entón
QD(x) =
1 2
0 .. (^0 0) n
= (λ 1 -x) (λ 2 -x) .... (λn -x) e polo tanto, para que Q (^) A(x) = Q (^) D(x), a
diagonal da matriz D estará formada polas raíces do polinomio característico de A (a
multiplicidade de cada raiz de QA(x) indicará o número de veces que esa raíz está repetida na
diagonal de D).
Polo tanto a primeira condición é que as raíces de Q (^) A(x) ten que ser reais.
Así, por exemplo, a matriz M =
non é diagonalizable pois
QA(x) =
x x
= x 2 – x + 1 e as raíces de Q (^) A(x) son x = 1 1 4 2
± − (^) que non son reais.
A existencia dunha matriz invertible S e unha matriz diagonal D tal que S -1^ AS = D é
equivalente a que exista unha matriz invertible S e unha matriz diagonal D tal que AS = SD
Se A =
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
a a a a a a
a a a
∈ M nxn ( R ), queremos calcular
S =
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
s s s s s s
s s s
e D =
1 2
0 .. (^0 0) n
tal que
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
a a a a a a
a a a
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
s s s s s s
s s s
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
s s s s s s
s s s
1 2
0 .. (^0 0) n
A igualdade entre as columnas dos dous produtos de matrices, esixe que
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
a a a a a a
a a a
11 21
1
n
s s
s
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
s s s s s s
s s s
1 0 .. .. 0
= λ 1
11 21
1
n
s s
s
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
a a a a a a
a a a
12 22
2
n
s s
s
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
s s s s s s
s s s
2
= λ 2
12 22
2
n
s s
s
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
a a a a a a
a a a
1 2 .. ..
n n
nn
s s
s
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
s s s s s s
s s s
λ n
= λn
1 2 .. ..
n n
nn
s s
s
En resumen, para que
A =
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
a a a a a a
a a a
∈ M nxn ( R ),
sexa unha matriz diagonalizable, necesitamos n escalares λ 1 , λ 2 , ..., λ n , que non ten por que
ser distintos xa que a matriz diagonal D pode ter elementos repetidos na diagonal, e unha
matriz
11 12 1 21 22 2
1 2
n n n n
n n nn n
a a a a a a
a a a
λ λ
λ
1 2 .. ..
n n
nn
s s
s
Vemos que, a columna i da matriz S ten que ser solucións do sistema
11 12 1 21 22 2
1 2
i n i n
n n nn i
a a a a a a
a a a
1 2 .. ..
i i
ni
s s
s
, i = 1, ..., n.
Necesitamos entón, calcular primeiro os escalares λ 1 , λ 2 , ..., λ n , e despois resolver eses
sistemas.
Dado que xa vimos que os escalares λ 1 , λ 2 , ..., λ n son raíces de Q (^) A(x), xa sabemos que
11 12 1 21 22 2
1 2
i n i n
n n nn i
a a a a a a
a a a
λ λ
λ
= 0, i = 1, ..., n.
e polo tanto os sistemas ten solución distinta da trivial
Como xa dixemos pode que dos ou mais deses escalares sexan iguais e se un escalar se repite
di veces, entón S terá di columnas solución do mesmo sistema (A – λ i I)X = 0
En conclusión o primeiro que necesitamos ver é se existen eses escalares, λ 1 , λ 2 , ..., λ n , raíces
do polinomio QA(x) = |A – xI| que necesitamos para a posible matriz
D =
1 2
0 .. (^0 0) n
λ λ
λ
Despois necesitamos resolver os sistemas
11 12 1 21 22 2
1 2
i n i n
n n nn i
a a a a a a
a a a
1 2 .. .. n
x x
x
, i = 1, ..., n,
e calcular para cada un tantas solucións como como veces se repite a raiz λi no polinomio
QA(x) = |A-xI| para ver se podemos calcular unha matriz invertible.
S =
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
s s s s s s
s s s
13. Conclusión.
Dada A, unha matriz cadrada de orden n, existe unha matriz invertible S e unha matriz
diagonal D, tal que S -1^ AS = D, se e só se, existen
λ 1 , λ 2 , ...., λn e
11
1
n
s
s
12
2
n
s
s
1 .. ..
n
nn
s
s
tal que
(A - λ 1 I)
11
1
n
s
s
, (A - λ 2 I)
12
2
n
s
s
, ...., (A - λn I)
1 .. ..
n
nn
s
s
e a matriz S =
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
n n nn
s s s s s s
s s s
sexa invertible.
rango(A – 3I) = rango
F^2 −^ ^ F^1 , F ^4 + F^1 →
F^3 +^ ^ F^2 , F ^4 +^3 F^2 →
F^3 +^ ^ F^2 , F ^4 +^3 F^2 →
Así rango(A – 3I) = 2
En consecuencia o subespazo vectorial de autovectores asociados ao autovalor 3 (é dicir o
subespazo Ker(A – 3I)) ten dimensión 2 e polo tanto podemos calcular dous autovectores
asociados ao 3 linealmente independentes.
rango(A – 2I) = rango
( F 1 ↔ F 2 )
F 4 + F^1 →
F^3 −^ ^ F^2 , F ^4 − F^2 →
Así rango(A – 2I) = 2
En consecuencia o subespazo vectorial de autovectores asociados ao autovalor 2 (é dicir o
subespazo Ker(A – 2I)) ten dimensión 2 e polo tanto podemos calcular dous autovectores
linealmente independentes asociados ao autovalor 2.
Para calcular os autovectores temos que resolver os sistema
(A - 3I)
4
3
2
1
x
x
x
x
é dicir 0
1 3
1 2 3 4 − + =
x x
x x x x
(A - 2I)
4
3
2
1
x
x
x
x
é dicir 0
1 2 3
2 3 4 − + + =
x x x
x x x
Resolvendo o primeiro sistema
1 3
1 2 3 4 − + =
x x
x x x x
obtemos as solucións
x4 = x1 – x
x3 = x
e polo tanto
Solucións = {
4
3
2
1
x
x
x
x / x3 = x 1 , x4 = x1 – x2 } = {
1 −^2
1
2
1
x x
x
x
x / x1, x (^2) ∈R} =
1
1
1 0
x
x
x
2 0
x
x / x1, x 2 ∈R} = {x (^1)
/ x1, x4 ∈R} =
15.- Exemplo.
A =
Os autovalores de A serán as raíces de
det(A - xI) =
x
x
x
x
C 2 − C 4
x x
x
x
x
= (x – 3)
x
x
x
C3+ C2,C4-C (x – 3) 2 1 2 1
x
x
x
= - (x – 3) 2 2 1
x
x
x
F3-F
x
x
− −
= - (x – 3)(x – 2) 1 0 1
x
x
C3+ C
x
x x
= - (x – 3)(x – 2) 4 1
x
x = -(x - 3)(x - 2)(-2 - x 2 + 5x - 4) = (x - 3)(x - 2)(x 2 - 5x + 6) =
= (x – 3)(x – 2)(x – 3)(x – 2) = (x – 3)^2 (x – 2)^2
Os autovalores desta matriz A son 3 e 2.
Se existe D e S tal que S-1^ AS = D con D diagonal, entonces det(A – xI) = det(D – xI) e polo
tanto a diagonal de D está formada por 3, 3, 2, 2 (dous 3 e dous 2)
Os autovectores asociados ao 3 e o 2 serán as solucións dos sistemas respectivos
(A - 3I)
4
3
2
1
x
x
x
x
é dicir 2 3 3 0
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
(A - 2I)
4
3
2
1
x
x
x
x
é dicir 2 3 2 0
1 2 3 4
1 2 3 4
3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
x x
x x x x
rango(A - 3I) = 2
rango(A - 2I) = 3
En consecuencia o sistema (A - 2I)
4
3
2
1
x
x
x
x
só ten unha solución linealmente independente
e a matriz S non pode ser invertible pois dúas columnas son linealmente dependentes.
.
16.- Nota.
Un vector propio ten un único valor propio asociado, mentres que un valor propio ten máis
dun vector propio asociado. En efecto:
Se Av = λv, entonces λ está completamente determinado.
O sistema (A - λI)v = 0 ten máis de unha solución.
17.- Conclusión.
Dada unha matriz A será é diagonalizable se o polinomio característico ten todas as raices λ 1 ,
λ 2 , ..., λs no corpo con multiplicidade d 1 , d2 , ..., ds e rango(A - λi ) = n – d (^) i.
En efecto:
S -1^ AS = D ⇒ Q (^) A(x) = Q (^) D(x) que ten todas as raices no corpo por ser os elementos da
diagonal de D.
n0 =
00 10 20
0
m
n n n
n
, n1 =
01 11 21
1
m
n n n
n
, n2 =
02 12 22
2
m
n n n
n
, respectivamente. Aquí, n (^) xk designa el número de
hembras del grupo de edad x en el momento t = k·∆t.
Sean F 0 , F 1 , F 2 , ..., Fm el número promedio de hijas nacidas de una hembra del grupo de edad
0, 1, 2, ..., m, respectivamente. Las hembras pueden no ser reproductivas en todas las edades.
Puede existir una fase pre-reproductiva y una post-reproductiva. Por lo tanto, algunos de los
Fx, por ejemplo F 0 , F 1 y Fm, pueden ser cero. El número total de hijas nacidas durante el
primer intervalo de tiempo de t = 0 a t = ∆t es entonces
F 0 n00 + F 1 n 10 + F 2 n 20 + … + Fmnm Ahora suponemos que por F 0 , F 1 , F 2 ,. .. solo hemos contado las hijas que sobreviven hasta
que ha pasado el intervalo de tiempo en el que nacieron. Al final de este intervalo, todos se
considerarán de 0 años. Por lo tanto, el número n01 de mujeres del grupo 0 en el tiempo t = ∆t
es igual al resultado en la fórmula
F 0 n00 + F 1 n 10 + F 2 n 20 + … + Fmnm
Por P (^) x denotamos la probabilidad de que una mujer del grupo de edad x sobreviva y entre en
el grupo de edad x + l. Por lo tanto, para x = 0, 1, ..., m - 1 obtenemos
P (^) xnx0 = n (^) x+1,k+
Nótese que P (^) m = 0. En el caso especial k = 0 obtenemos P (^) xnx0 = nx+1,.
La transición de la población de t = 0 a t = ∆t se puede resumir mediante la multiplicación de
la matriz como sigue
0 1 1 0 1
1
m m
m
F F F F
P
P
P
−
−
00 10 20
0
m
n n n
n
01 11 21
1
m
n n n
n
o en notación matricial Mn 0 = n1 , donde M =
0 1 1 0 1
1
m m
m
F F F F
P
P
P
−
−
Suponiendo que Fx y P (^) x permanecen constantes a medida que avanza el tiempo, podemos
repetir el mismo procedimiento. Así
Mn1 = n 2 , Mn 2 = n3 , etc.
Resulta que n2 = M (M n 0 ) = M 2 n0 y por inducción que
nk = M k^ n 0.
Dado el tamaño inicial de la población y la estructura de edad y dada la llamada matriz de
proyección M, podemos calcular el tamaño y la estructura de edad de la población futura por
la fórmula nk = M k^ n.
Si sólo conocemos n0 , podemos preguntar: ¿Qué propiedades debe tener M si la población va
a ser estable en tamaño, es decir, si n 0 = n 1 = n 2 = ...?
Dejamos que el lector responda esta pregunta.
También podemos estar interesados en una distribución de edad estable (nos referimos a que
las proporciones entre diferentes grupos de edad sean constantes. Esta pregunta lleva a la
ecuación
nk+1 = λnk o Mnk = λnk.
donde λ denota un número positivo que explica el posible crecimiento de la población. Si se
nos da M, la solución a esta cuestión requiere de conocimientos sobre el cálculo del
polinomio característico y de los valores y vectores propios de la matriz M.
