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N
7. Leyes de Newton
- Un bloque de 10 kg que está en un plano sin rozamiento e inclinado 30
0
con respecto a la
horizontal, es sostenido mediante una cuerda, como se muestra en la figura. Determine la tensión
de la cuerda y la magnitud de la fuerza normal (perpendicular al plano inclinado).
Primero: Se identifican todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
T tensión de la cuerda
w peso del cuerpo
N normal
Segundo: Se realiza el diagrama de cuerpo libre o aislado , donde se colocan todas las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo en estudio (bloque).
Tercero: Elegir un sistema de referencia (de preferencia un eje perpendicular y otro paralelo al
plano). Considerar el eje x positivo en la dirección (o posible dirección) de movimiento del cuerpo.
Cuarto: Se aplica la segunda ley de Newton en forma de componentes rectangulares.
x x
F ma
y y
F ma
m
T
N
T
mg = w x+
El ángulo de inclinación
que forma el peso con
respecto al eje vertical
es
w
y+
Quinto: Se descomponen todas las fuerzas en sus componentes rectangulares. Debido al sistema
de referencia elegido, la normal N y la tensión T, están sobre los ejes. La única fuerza que se
descompone en este problema, es el peso. Sus componentes rectangulares son:
w mgsen
x
w mg cos
y
De esta forma, las fuerzas o componentes de fuerzas que se encuentran sobre le eje de las x's
son: la componente del peso w x
y la tensión de la cuerda T, las cuales se sustituyen por la F x
x x
F ma
Quedando:
x x
w T ma
Obsérvese que w x
es positivo y que T es negativo, ya que apuntan en tales direcciones.
Sustituyendo el valor de w x
x
mgsen T ma
En este caso, el cuerpo está en reposo, por lo que no hay cambios de velocidad, ó lo que es lo
mismo, no existe aceleración (a x
= 0 ). Sustituyendo:
mgsen T 0
Resolviendo para la tensión:
T mgsen
Sustituyendo los valores:
0
2
10 ( 9. 81 ) sen 30
s
m
T kg
T 49. 05 Nt
La fuerza normal se determina a partir de la sumatoria de fuerzas en el eje de las y's.
y y
F ma
Considerando también que no hay movimiento en el eje vertical ay = 0
y
N w
Despejando a la normal y sustituyendo la componente vertical del peso:
N mg cos
Sustituyendo los valores
0
2
10 ( 9. 81 )cos 30
s
m
N kg
N 94. 82 Nt
- Del problema anterior, suponga que la cuerda se rompe. Calcule la aceleración del bloque
cuando ésta se desliza sobre el plano inclinado.
Se deben de hacer tantos diagramas de cuerpo libre, como cuerpos en estudio tengamos.
Descomponer todas las fuerzas en sus componentes rectangulares y aplicar la segunda ley de
Newton a cada uno de los diagramas de cuerpo libre. Cuando no existe rozamiento, no es
necesario trabajar con la sumatoria de fuerzas en el eje de las y's, a menos que se pida la
magnitud de la fuerza Normal o la componente del peso en ese eje.
Haciendo suma de fuerzas en el eje de las x's
x x
F ma
1 1
x x
F ma
2 2
x x
T W ma
1 1 1 1
x x
W T ma
2 2 2 2
x
T mgsen ma
1 1 1
x
m gsen T ma
2 2 2 2
Como es la misma cuerda y mientras no se estire ni se afloje, la tensión en cualquier punto es la
misma por lo que:
T
1
= T
2
Consecuentemente, mientras un cuerpo desliza hacia arriba, el otro desliza hacia abajo,
experimentando ambos los mismos cambios de velocidad, es decir, que tienen la misma
aceleración:
a 1x
= a 2x
Con esto, las dos ecuaciones anteriores se convierten en:
T mgsen m a
1 1
m gsen T ma
2 2 2
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ( T y a ), que se resuelve por medio de
los métodos conocidos ( suma y resta; sustitución; igualación o determinantes).
Usando el método de sustitución:
Despejamos T de la primera ecuación:
T ma mgsen
1 1
y la sustituimos en la segunda:
m gsen ma mgsen m a
2 1 1 2
( )
60
0
30
0
m
1
m
2
Para el bloque m
1
Para el bloque m
2
y+
x+
y+
x+
Mov. de m
1
Mov. de m
2
en el eje
de las x's, positivo hacia
abajo
N
T
W
T
N
W
1
2
1
1
2
2
Resolviendo:
m gsen ma mgsen m a
2 1 1 2
)
m gsen mgsen ma m a
2 1 2 1
m gsen mgsen ( m m ) a
2 1 2 1
1 2
2 1
m m
mgsen m gsen
a
g
m m
msen m sen
a
1 2
2 1
Para calcular la tensión, únicamente sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las dos
ecuaciones lineales.
g mgsen
m m
msen m sen
T m
1
1 2
2 1
1
Analizando el resultado de la aceleración, podemos tener los siguientes casos:
{ Si: 0
0
y = 90
0
; sen y sen = 1
Correspondiendo dichos ángulos al primer caso, es decir, a la figura 1.
Por lo tanto, la aceleración de los bloques para esa figura es:
g
m m
m m
g
m m
msen m sen
a
1 2
2 1
1 2
0
1
0
2
90 0 ( 1 ) ( 0 )
1 2
2
m m
m g
a
Para la Figura 2 tenemos que:
0
y = 90
0
; sen = 1
g
m m
m m sen
g
m m
m m sen
a
1 2
2 1
1 2
2 1
( 1 )
Para la Figura 4 tenemos que:
0
y = 90
0
; sen sen = 1
g
m m
m m
g
m m
m m
a
1 2
2 1
1 2
2 1
( 1 ) ( 1 )
Los resultados obtenidos para la aceleración también pueden ser analizados, así por ejemplo, en el
último caso (Fig. 4):
v Si m 2
> m 1
tenemos que la aceleración de los cuerpos es positiva ( a > 0 ) y los cuerpos se mueven de la
siguiente forma:
m 1
hacia arriba
donde a 1y
= a 2y
= a
obteniendo dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
T mg m a
1 1
y m g T ma
2 2
Resolviendo por suma y resta:
m g mg ma m a
2 1 1 2
factorizando:
( m m ) g ( m m ) a
2 1 1 2
despejando:
g
m m
m m
a
1 2
2 1
( )
que es el mismo resultado obtenido a partir de la deducción del resultado de la tercer figura
- Dos bloques de masa m 1
= 3 kg y m 2
= 4 kg están tocándose sobre una mesa sin fricción. Si la
fuerza mostrada que actúa sobre m 1
es de 5 Nt.
a) ¿Cuál será la aceleración de los dos bloques?
b) ¿Con qué fuerza empuja m 1
a m 2
c) Repita los incisos anteriores, si la fuerza se aplica a m 2
a) Para determinar la aceleración de los bloques, consideremos a los dos como uno solo de masa
m 1
+ m 2
= 7 kg.
El diagrama de cuerpo libre es:
3kg
4kg
7 kg
N
mg
F
x+
y+
De la suma de fuerzas en el eje x:
x x
F Ma
donde: M = m 1
+ m 2
x
F Ma
2
s
m
kg
Nt
M
F
a
b) Para determinar la fuerza con que empuja m 1
a m 2
aplicamos la tercera ley de Newton que dice
que la fuerza que ejerce m 1
sobre m 2
es de igual magnitud, pero en sentido contrario a la que
ejerce m 2
sobre m 1
. Para ello analicemos las fuerzas que actúan sobre m 1
mediante el siguiente
diagrama de fuerzas.
x x
F ma
1 1
La segunda ley se aplica sobre el cuerpo en estudio ( m 1
) y la aceleración que este cuerpo
experimenta es la que encontramos en el inciso anterior ( a 1x
= a = 0.71 m/s
2
F P m a
1
P F m a
1
Nt
s
m
P 5 Nt ( 3 kg )( 0. 71 ) 2. 85
2
Luego entonces, por la tercera ley la fuerza con que empuja m 1
a m 2
es P' = 2.85 Nt.
c) Si la fuerza se aplica sobre m 2
, tendremos la misma aceleración, aunque los cuerpos se
moverán hacia la izquierda.
Para determinar la fuerza con que empuja m 1
a m 2
se realizan los mismos pasos, pero la suma de
fuerzas es ahora sobre m 2
x x
F ma
2 2
F R m a
2
N
m
1
g
F
x+
y+
P
F = Fuerza aplicada
P = Fuerza que ejerce m
2
sobre
m
1
y que detiene a m
1
N
m
2
g
F
x+
y+
P
F = Fuerza aplicada
R = Fuerza que ejerce m
1
sobre
m
2
y que detiene a m
2
x
en la dirección de movimiento.
x x
F ma
x x
F W ma
x
F mgsen ma
F ma mgsen
x
0
2 2
50 ( 2 ) 50 ( 9. 81 ) sen 30
s
m
kg
s
m
F kg
F 345. 25 Nt
Si se deposita la caja sobre el plano inclinado, ¿con qué aceleración bajará?
¿Qué tanta fuerza se requiere para que baje con una aceleración de 2 m/s
2
? ¿Hacia dónde debe
de aplicarse dicha fuerza?
- Una bala de 8.0 gr penetra en una pieza de plástico de 2 cm de espesor con una rapidez de 140
m/s.
¿Cuál es la fuerza promedio que retarda el paso de la bala por el plástico?
x x
F ma
x
F ma
donde:
2
2
0
2
0
2
2 ( ) s
m
m
s
m
x x
v v
a
f
Nt
s
m
F ( 0. 008 kg )( 490000 ) 3920
2
Cabe hacer la aclaración de que no se puso el peso ni la fuerza normal en el diagrama de cuerpo
libre, ya que no son relevantes para la resolución del problema. En el caso de la fuerza normal,
ésta actúa sobre toda la superficie cilíndrica y saliendo, de tal manera que se contrarrestan
mutuamente.
- Un prisionero de 60 kg desea escapar por una ventana del tercer piso deslizándose por una
cuerda hecha de sábanas. Por desgracia, la cuerda puede sostener sólo 500 Nt.
¿Con qué rapidez debe el prisionero acelerar hacia abajo de ella para que no se rompa?
Calculemos primero el peso del prisionero para comparar dicha fuerza con la máxima tensión de la
cuerda. Si el peso del prisionero es mayor que la tensión de la cuerda, entonces ésta se rompe.
2 cm
v = 0
v = 140 m/s
0
Antes Después
F
x+
y+
W = mg = 60 kg ( 9.81 m/s
2
) = 588.6 Nt.
Por lo que la cuerda no puede sostener al prisionero en esas condiciones. Sin embargo, existe una
forma de hacerlo sin que se rompa la cuerda. Para ver esta forma, hagamos una similitud con un
experimento, siendo éste el siguiente. Si ato un ladrillo o bloque con un hilo de coser a máquina,
éste se romperá, puesto que no puede sostener el peso. Pero si dejo caer el bloque con el hilo
amarrado, éste viajará junto con el bloque sin romperse, teniendo ambos una aceleración igual a la
de la gravedad.
Puedo soltar el bloque teniendo sostenido el hilo, pero de tal manera que esté tenso y viajando con
el bloque a medida que vaya cayendo. Ésa es la forma en que el hilo no se rompa; es decir, que se
encuentre acelerado hacia abajo.
En el caso del prisionero ocurre lo mismo, para que la cuerda no se rompa, él debe de acelerarse
hacia abajo.
Hagamos un análisis de las fuerzas que actúan sobre él, siendo éstas: su propio peso (hacia abajo)
y la tensión de la cuerda (hacia arriba), eligiendo un sistema de referencia positivos hacia abajo,
por la segunda ley tendremos:
y y
F ma
y
W T ma
y
mg T ma
2
s
m
kg
Nt
kg
Nt Nt
m
mg T
a
y
- Una masa de 200 gr se cuelga de un hilo, del fondo de ella pende una masa de 300 gr atada a
un segundo hilo. Encuentre las tensiones de los dos hilos, si las masas:
a) Permanecen inmóviles.
b) Aceleran hacia abajo con una aceleración constante de 5 m/s
2
c) Caen libremente.
d) Si la máxima tensión que pueden soportar las cuerdas es de 15 Nt. ¿Cuál es la máxima
aceleración hacia arriba que se le puede dar a las masas sin que se rompa la cuerda?
a) Si permanecen inmóviles. a = 0
Para m 1
: Para m 2
Fy = m 1 a1y Fy = m 12 a2y
m 1
g +T 2
- T
1
= 0 m 2
g - T 2
200 gr
300 gr
T
1
T
2
sobre m
1
T
1
T
2
m g
1
sobre m
2
T
2
m g
2
y+ y+
kg kg
kg kg
s
m
Nt
a
2
2
- 19
s
m
a
- Un pasajero que viaja en un barco en un mar tranquilo, cuelga con un hilo una pelota del techo
de su camarote. Observa que, al acelerar la nave, la pelota se encuentra detrás del punto de
suspensión y el péndulo ya no cuelga verticalmente.
¿Cuál será la aceleración del barco cuando el péndulo se halla en un ángulo de 5
0
con la vertical?
x x
F ma
x x
T ma
x
Tsen ma
m
Tsen
a
Para determinar T hagamos suma de fuerzas en el eje y.
y y
F ma
y y
T ma
T cos mg 0
cos
mg
T
Sustituyendo en la ecuación de aceleración encontrada en la suma de fuerzas en el eje x :
2
0
2
tan ( 9. 81 )(tan 5 ) 0. 85
tan
cos
s
m
s
m
g
m
mg
m
sen
mg
a
- Un bloque sin velocidad inicial se desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado de 37
0
Después de 3 s.
a) ¿Qué distancia recorre?
b) ¿Con qué velocidad baja al final del plano si éste tiene una distancia de 40 m?
Como ya se vio en uno de los problemas anteriores, cuando no existe rozamiento, la aceleración
de los cuerpos es a = g sen en este caso, a = 5.90 m/s
2
Sin acelerar acelerando y+
x+
T
mg
a) La distancia que recorre en tres segundos viene dada por la ecuación de cinemática:
2
0 0
x x vt at
s m
s
m
x x ( 5. 9 )( 3 ) 26. 55
2
1
2
2
0
b) La velocidad con la que baja cuando a recorrido una distancia de 40 m viene dada por la
ecuación:
0
2
0
2
v v a x x
s
m
m
s
m
v 2 a ) x x ) 2 ( 5. 9 )( 40 ) 21. 72
2
0
- En la parte superior de un plano inclinado sin fricción de 16 m de longitud se suelta un cuerpo,
originalmente en reposo y tarda 4 s en llegar a la parte mas baja del plano. Desde ahí se lanza
hacia arriba a un segundo cuerpo, justo en el momento en que se suelta el primero, de tal forma
que ambos llegan simultáneamente a la parte más baja.
a) Calcular la aceleración de cada uno de los cuerpos sobre el plano inclinado.
b) ¿Cuál era la velocidad inicial del segundo cuerpo?
c) ¿Cuál es el ángulo que forma el plano respecto a la horizontal?
a) Como no hay rozamiento, la aceleración viene dada por a = g sen la cual se puede
determinar también mediante la ecuación de cinemática:
2
0 0
x x vt at
2
0
x x 0 at
2 2 2
0
2
( 4 )
2 ( ) 2 ( 16 )
s
m
s
m
t
x x
a
A partir de este resultado, podemos calcular el ángulo de inclinación del plano inclinado, siendo
éste:
a gsen
0
2
2
1 1
76
81
2
s
m
s
m
sen
g
a
sen
b) Para determinar la velocidad del segundo cuerpo, utilizamos el hecho de que el plano no tiene
rozamiento, de tal forma que cuando sube, el cuerpo va desacelerando uniformemente siendo la
aceleración a = - g sen . Cuando desciende, el cuerpo va acelerando uniformemente, teniendo
una aceleración de a = g sen . Por la simetría del problema, el tiempo que tarda en subir es el
mismo que tarda en bajar y como el tiempo total es la suma de ambos, entonces el tiempo en subir
es de 2 segundos. Utilizando ese hecho y la ecuación de movimiento de cinemática:
v = v 0
+ at
Despejamos v 0
y sustituimos el valor de la aceleración de subida
- Un hombre de 80 kg se lanza con un paracaídas y sufre una desaceleración de 2.5 m/s
2
. La
masa del paracaídas es de 5 kg.
a) ¿Cuál es el valor de la fuerza ejercida hacia arriba por el aire sobre el paracaídas?
b) ¿Cuál es el valor de la fuerza ejercida hacia abajo por el hombre sobre el paracaídas?
Hagamos suma de fuerzas sobre el hombre, iniciamos con él, debido a que sobre el paracaídas
desconocemos la fuerza que ejerce el hombre sobre el paracaídas, en estos casos, erróneamente
se supone que esta fuerza es igual al peso del hombre, pero como los cuerpos están acelerados,
dicha fuerza puede aumentar o disminuir. Para reafirmar lo anterior, si el hombre fuese en caída
libre (acelerado) su peso sería nulo.
Sobre el hombre:
F m a
y H
F m g m a
H H
H
p
F m a m g
H H
H
p
H
H
p
F ( a g ) m
kg
s
m
s
m
F
H
p
2 2
F Nt
H
p
Por la tercera ley de Newton, esta fuerza es igual en magnitud pero en sentido contrario a la que
ejerce el hombre sobre el paracaídas.
Sobre el paracaídas:
F m a
y p
F m g F m a
p
p
a p H
p
a p H
F m ( a g ) F
Sobre el paracaídas
Sobre el hombre
W
h
= peso del hombre
y +
y-
w
p
h
w
F
a/p
= Fuerza que ejerce el aire
sobre el paracaídas.
y +
y -
W
T/p
= Fuerza que ejerce la Tierra
sobre el paracaídas.
W
h/p
= Fuerza que ejerce el hombre
sobre el paracaídas.
F
p/h
= Fuerza que ejerce el
bloque A se mueva 1.0 mts.
paracaídas sobre el
hombre
Nt
s
m
F kg
a
( 5 )( 2. 5 9. 81 ) 984
2
F Nt
a
Nota : en este ejercicio, se consideró una aceleración positiva de 2.5 m/s
2
¿Por qué? si el problema
dice que tiene una desaceleración de 2.5 m/s
2
. Sugerencia : en base a diagramas de caída de los
cuerpos, considerando sistemas de referencia positivos hacia arriba, negativos hacia abajo, analice
como son los cambios de posición, como son las velocidades y los cambios de velocidad para
determinar el signo de la aceleración.
- De la siguiente figura, calcule la aceleración de las masas y las tensiones de las cuerdas.
Como tenemos tres cuerpos moviéndose simultáneamente, debemos tener un diagrama de cuerpo
libre para cada uno.
Aplicamos la suma de fuerzas en cada diagrama, pero antes, observemos que la aceleración de
los cuerpos va a ser la misma, es decir a1x = a2x =a3y = a ;
F
x
= m 1
a 1x
F
x
= m 2
a 2x
F
x
= m 3
a 3x
T 1 = m 1 a T 2 + m 2 g sen - T 1 = m 2 a m 3 g -T 2 = m 3 a
despejando T 2
de la tercera ecuación:
T
2
= m 3
g - m 3
a
sustituyendo T 1
de la primera y; T 2
despejada en la ecuación de enmedio:
m 3
g - m 3
a + m 2
g sen - m 1
a = m 2
a
despejando a la aceleración:
m 3
g + m 2
g sen - = m 2
a + m 3
a + m 1
a
m 3
g + m 2
g sen - = ( m 2
)a
100 kg
200 kg
300 kg
37
0
T
2
N
1
W
1
N
2
T
2
T
1
W
2
y+
x+
y+
x+
Sobre m
1
Sobre m
2
Sobre m
3
W
3
y+
y-
T
1
a) Despejando el tiempo y como el cuerpo parte del reposo ( v 0
mgsen
x x m m
m m
m gsen
x x
a
x x
t
1
0 1 2
1 2
1
0 0
2 ( ) 2 ( ) 2 ( )( )
sustituyendo valores:
s
sen
s
m
kg
m kg kg
t 0. 823
20 ( 9. 81 ) 37
2 ( 21 )( 20 20 )
0
2
b) La tensión se encuentra sustituyendo la aceleración en la ecuación respectiva:
1 2
2 1
1 2
1
2
m m
mm gsen
m m
m gsen
T m
Nt
kg
sen
s
m
kg kg
T 59. 03
0
2
- Calcule en función de m 1
, m 2
y g , la aceleración de los dos bloques si no existe rozamiento
entre m 1
y la mesa, ni en la polea.
Antes de resolver el problema, debemos analizar el movimiento de los dos cuerpos. Cuando m 1
recorre una distancia d hacia la derecha; el cuerpo de masa m 2
baja una distancia d/2 , debido a
que es la misma cuerda. En otras palabras, la longitud de la cuerda en m 1
debe de compartirse en
el cuerpo 2, por tal razón la aceleración a 1
deberá ser el doble de la aceleración a 2
, para que en el
mismo tiempo un cuerpo recorra una distancia d y el otro una d/.
F
x
= m 1
a 1 x
F
y
= m 2
a 2 y
T = m 1
a 1x
m 2
g -T - T = m 2
a 2y
donde:
a = a 1x
= 2 a 2y
ó a 2y
= a / 2
entonces:
T = m 1
a
y
m 2
g -T - T =( m 2
a ) / 2
m 2
g - m 1
a - m 1
a =( m 2
a ) / 2
M
2
m
1
x+
y+
y+
y -
T
1
m
1
g m
2
g
T
1
T
1
x+
m 2
g =( m 2
a ) / 2 + m 1
a + m 1
a
a (m 2
/ 2 + m 1
+ m 1
) = m 2
g
a (m 2
/ 2 + 2 m 1
) = m 2
g
m g
m m
a
2
2 1
a m m m g
2 1 2
( 4 )
2
2 1
2
m m
m g
a
la aceleración para m 1
. Para m 2
2 ( 4 )
2 1
2
2
m m
a m g
a
y
- ¿Cuál es la magnitud de una fuerza paralela a un plano inclinado 30
0
necesaria para dar a una
caja de 5 kg una aceleración de 0.20 m/s
2
hacia arriba del plano? ¿Y si la fuerza es transversal al
plano?
F
x
= m a x
F
x
= m a x
F - mg sen = max F cos - mg sen = m ax
F = mg sen + ma x
cos
x
mgsen ma
F
F = m ( g sen + a x
cos
( )
x
mgsen a
F
2
0
2
5 ( 9. 81 ) 30 0. 2
s
m
sen
s
m
F kg
0
2
0
2
cos 30
5 ( 9. 81 ) 30 0. 2
s
m
sen
s
m
kg
F
F = 25.52 Nt. F = 29.47 Nt.
y+
x+
y+
x+
N F
W
W
N
F
paralela
transversal
