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0.1. Ejercicio 1
¿Cu´ales de estas relaciones son parcialmente ordenadas en {0,1,2,3}?
a) {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)}
Esta relaci´on si es parcialmente ordenada, ya que la condici´on para que se de esa parcialidad es que se cumpla la relaci´on reflexiva, anti- sim´etrica y transitiva, en este caso cumple la relaci´on de la reflexividad, antisim´etria y como los valor x son iguales a y,la transitividad siempre se cumplir´a.
b) {(0,0), (1,1), (2,0), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}
Esta relaci´on no es parcialmente ordenada, ya que no se cumple la relaci´on antisim´etrica al existir los pares ordenados (2,3), (3,2) y no cumple la regla a, b|(a, b) ∈ R ∧ a 6 = b → (b, a) ∈/ R
c) {(0,0), (1,1), (1,2), (2,2), (3,3)}
Esta relaci´on si es parcialmente ordenada, ya que cumple las tres re- laciones, la ´unica diferencia con el ejercicio a), es que este tiene el par ordenado (1,2), y esta si es antisim´etrica porque no existe el par orde- nado (2,1) y es transitiva porque tiene relaci´on con (2,2) y terminando con (1,2).
d) {(0,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3)}
Esta relaci´on si es parcialmente ordenada, ya que cumple las tres rela- ciones, la diferencia con el ejercicio c), es que esta los pares ordenados (1,3) y (2,3), ambos son antisim´etricas ya que no hay los pares or- denados (3,1) y (3,2). Adem´as es transitiva porque para el par (1,3) puede relacionarse con el (3,3) formando una relaci´on (1,3), (3,3) y lo mismo con el caso del par (2,3) que se relaciona con (3,3) formando una relaci´on (2,3), (3,3).
e) {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,2), (3,3)}
Esta relaci´on no es parcialmente ordenada, ya que no se cumple la antisim´etria, ya que existen los pares ordenados (0,1) y (1,0), por lo qye no se cumple la regla a, b|(a, b) ∈ R ∧ a 6 = b → (b, a) ∈/ R.
0.2. Ejercicio 2
Determine si (S,R), siendo S el conjunto de todas las personas del mundo, y a,b (personas), tal que (a,b) ∈ R
a) Si a es m´as alto que b
a, b|(a, b) ∈ R, a > b
No es parcialmente ordenada, ya que al tener que ser a ¿b, no se permite que exista una reflexividad porque a 6 = b.
b) Si a no es m´as alto que b
a, b|(a, b) ∈ R, a < b
No es parcialmente ordenada, ya que al tener que ser a ¡b, no se permite que exista una reflexividad porque b 6 = a.
c) Si a=b, o a no es m´as algo que b
a, b|(a, b) ∈ R, a < b ∨ a = b ∈ R
Si es parcialmente ordenada: Es reflexiva debido a que a = b, por lo que se cumple la condici´on de la reflexividad.
Es antisim´etrica debido a que a ¡b, por lo que existir´a el par ordenado (a,b) , pero nunca (b,a).
Es transitiva debido a que se puede dar una relaci´on en donde a ¡b, b ¡c, y finalmente a ¡c, cumpliendo la regla de la transitividad.
0.3. Ejercicio 3
¿Cu´ales son conjuntos parcialmente ordenado?
Transitiva porque cumple esta relaci´on: (a,b), (b,b) y (d,c), (c,c) esto permitiendo la transitividad
0.5. Ejercicio 7
Construir el diagrama de Hasse para R: {(a,b)/ a divide a b} en A= {1,2,3,4,6,8,12}
Si es de orden parcial, ya que los pares ordenados ser´ıan:
0.6. Ejercicio 8
Construir el diagrama de Hasse para R: {(a,b)/ a divide a b} en A= {2,3,5,6,7,11,12,35,385}
