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Diseño de experimentos.
Los modelos de diseño de experimentos son modelos estadísticos clásicos cuyo objetivo es averiguar si unos determinados factores influyen en una variable de interés y, si existe influencia de algún factor, cuantificar dicha influencia. La metodología del diseño de experimentos se basa en la experimentación. Es sabido que, si se repite un experimento, en condiciones indistinguibles, los resultados presentan una cierta variabilidad. El objetivo del diseño de experimentos es estudiar si cuando se utiliza un determinado tratamiento se produce una mejora en el proceso o no. Para ello se debe experimentar aplicando el tratamiento y no aplicándolo. Si la variabilidad experimental es grande, sólo se detectará la influencia del uso del tratamiento cuando éste produzca grandes cambios en relación con el error de observación. La metodología del diseño de experimentos estudia cómo variar las condiciones habituales de realización de un proceso empírico para aumentar la probabilidad de detectar cambios significativos en la respuesta; de esta forma se obtiene un mayor conocimiento del comportamiento del proceso de interés. Para que la metodología de diseño de experimentos sea eficaz es fundamental que el experimento esté bien diseñado. Un experimento se realiza por alguno de los siguientes motivos: — Determinar las principales causas de variación en la respuesta. — Encontrar las condiciones experimentales con las que se consigue un valor extremo en la variable de interés o respuesta. — Comparar las respuestas en diferentes niveles de observación de variables controladas. — Obtener un modelo estadístico-matemático que permita hacer predicciones de respuestas futuras.
Experimentos con un factor.
El método tradicional de experimentación, el que quizás surge de forma más intuitiva para estudiar el sistema de la Figura 1, consiste en variar-un-factor-cada-vez (VUFCV): a partir de unas condiciones iniciales, se realizan experimentos en los cuales todos los factores se mantienen constantes excepto el que se está estudiando. De este modo, la variación de la respuesta se puede atribuir a la variación del factor, y, por tanto, revela el efecto de ese factor. El procedimiento se repite para los otros factores. El razonamiento que soporta esta forma de actuar es que si se variaran dos o más factores entre dos experimentos consecutivos, no sería posible conocer si el cambio en la respuesta ha sido debido al cambio de un factor, al de otro, o al de todos a la vez. La Figura 2a ilustra el estudio del efecto de tres factores (A, B y C) sobre el rendimiento de una reacción química. El método VUFCV aplicado al factor A consiste en realizar un experimento a unos valores determinados de B y C pero a dos valores distintos de A (puntos 1 y 2). La variación en la respuesta indica el efecto de A sobre la respuesta. El procedimiento se repite para los otros dos factores. Para reducir la incertidumbre de los efectos observados se pueden repetir los experimentos.
El análisis de la varianza permite contrastar la hipótesis nula de que las medias de K poblaciones (K >2) son iguales, frente a la hipótesis alternativa de que por lo menos una de las poblaciones difiere de las demás en cuanto a su valor esperado. Este contraste es fundamental en el análisis de resultados experimentales, en los que interesa comparar los resultados de K 'tratamientos' o 'factores' con respecto a la variable dependiente o de interés. Ejemplo: Se quiere evaluar la eficacia de distintas dosis de un fármaco contra la hipertensión arterial, comparándola con la de una dieta sin sal. Para ello se seleccionan al azar 25 hipertensos y se distribuyen aleatoriamente en 5 grupos. Al primero de ellos no se le suministra ningún tratamiento, al segundo una dieta con un contenido pobre en sal, al tercero una dieta sin sal, al cuarto el fármaco a una dosis determinada y al quinto el mismo fármaco a otra dosis. Las presiones arteriales sistólicas de los 25 sujetos al finalizar los tratamientos son: Grupo 1 2 3 4 5 180 172 163 158 147 173 158 170 146 152 175 167 158 160 143 182 160 162 171 155 181 175 170 155 160 La tabla de anova es: Fuente de variación GL SS MS F Inter-grupos 4 2010,64 502,66 11, Intra-grupos 20 894,4 44, Total 24 2905,
Como F 0,05(4,20) =2,87 y 11,24>2,87 rechazamos la hipótesis nula y concluimos que los resultados de los tratamientos son diferentes.
Experimentos con dos factores.
Al presentar las fórmulas generales para el análisis de varianza de un experimento de 2 factores utilizando observaciones repetidas en un diseño completamente aleatorizado, debe considerarse el caso de n réplicas de las combinaciones del tratamiento, determinadas por a niveles del factor A y b niveles del factor B. Las observaciones se podrían clasificar usando un arreglo rectangular, donde los renglones representan los niveles del factor A y las columnas representan los niveles del factor B. Cada combinación de tratamiento define una celda del arreglo. Así, se tienen ab celdas, cada una de las cuales contiene n observaciones. Se denota con yijk, la k-ésima observación tomada en el i-ésimo nivel del factor A y el j-ésimo nivel del factor B. En la tabla 14.1 se muestran las abn observaciones.
Cada observación de la tabla 14.1 se puede escribir en la siguiente forma: donde ∈ijk mide las desviaciones de los valores yijk observados en la (ij)- ésima celda a partir de la media de la población μij. Si (αβ)ij denota el efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A y el j- ésimo nivel del factor B, αi el efecto del i-ésimo nivel del factor A, βj el efecto del j- ésimo nivel del factor B, y μ la media conjunta, escribimos Ejemplo:
Factorial 4 × 3. Consideremos un experimento en el que se quiere estudiar el efecto de los factores A: profundidad de corte sobre el acabado de un metal y B: velocidad de alimentación. Aunque los factores son de naturaleza continua, en este proceso sólo se puede trabajar en 4 y 3 niveles, respectivamente. Por ello, se decide correr un factorial completo 4 × 3 con tres réplicas, que permitirá obtener toda la información relevante en relación al efecto de estos factores sobre el acabado. Al aleatorizar las 36 pruebas se obtienen los datos de la tabla 5.3. El acabado (Y) está en unidades de gramos e interesa minimizar su valor. La representación gráfica del diseño 4 × 3 se muestra en la figura: normal con media cero y varianza constante 𝜎^2 (N(0, 𝜎^2 )) y son independientes entre sí. Para que la estimación de los parámetros en este modelo sea única, se introducen las restricciones Es decir, los efectos dados en el modelo son desviaciones relacionadas con la media global. En este modelo para el ejemplo 5.2 a = 4, b = 3 y n = 3 replicas. Las hipótesis de interés para los tres efectos en el modelo anterior son: H0 : Efecto de profundidad (A) = 0 HA : Efecto de profundidad (A) π 0 H0 : Efecto de velocidad (B) = 0
Experimentos con tres factores.
Cuando se quiere investigar la influencia de tres factores (A, B y C) sobre una o más variables de respuesta, y el número de niveles de prueba en cada uno de los factores es a, b y c, respectivamente, se puede construir el arreglo factorial a × b × c, que consiste de a × b × c tratamientos o puntos experimentales. Entre los arreglos de este tipo que se utilizan con frecuencia en aplicaciones diversas se encuentran: el factorial 23 , el factorial 3^3 y los factoriales mixtos con no más de cuatro niveles en dos de los factores, por ejemplo, el factorial 4 × 3 × 2 y el factorial 4 × 4 × 2, por mencionar dos de ellos. El modelo para el experimento de 3 factores es: El término (αβγ) ijk se denomina efecto de interacción de 3 factores, y representa la no aditividad de las (αβ)ij sobre los diferentes niveles del factor C. Igual que antes, la suma de todos los efectos principales es igual a 0, y la suma sobre cualesquiera de los subíndices de los efectos de la interacción entre 2 y 3 factores es igual a 0. En muchas situaciones experimentales estas interacciones de orden superior son insignificantes y sus cuadrados medios sólo reflejan variación aleatoria; pero se debe describir el análisis en su forma más general. Nuevamente, para realizar pruebas válidas de significancia debe suponerse que los errores son valores de variables aleatorias independientes y con distribución normal, cada una con media igual a 0 y varianza común σ 2. La filosofía general respecto al análisis es la misma que la que se estudió para los experimentos de 1 y 2 factores. La suma de cuadrados se divide en 8 términos, donde cada uno representa una fuente de variación de los que se obtienen estimados independientes de σ 2 cuando todos los
efectos principales y de la interacción son iguales a 0. Si los efectos de cualquier factor dado o interacción no son iguales a 0, entonces el cuadrado medio estimará la varianza del error más un componente debido al efecto sistemático en cuestión.
Ejemplo: El experimento. Se desea investigar el efecto del tipo de suspensión (A), abertura de malla (B) y temperatura de ciclaje (C) en el volumen de sedimentación Y(%) de una suspensión. Para ello se decide correr un experimento factorial 3 × 2 × 2 con seis réplicas, y las observaciones obtenidas en las 72 corridas experimentales se muestran en la siguiente tabla: Los niveles de prueba para cada factor, tanto en unidades originales como en unidades codificadas, se muestran en la siguiente tabla: La representación geométrica del experimento se muestra en la figura 5.8. Nótese que el factor A tiene tres niveles porque interesa evaluar precisamente tres suspensiones.
Diseño de bloques.
El diseño de bloques completos aleatorizados es el más sencillo de este tipo de diseños utilizados para controlar y reducir el error experimental, en él las unidades experimentales quedan estratificadas en bloques de unidades homogéneas, cada tratamiento se asigna al azar a un número igual (por lo general uno) de unidades experimentales en cada bloque y es posible hacer comparaciones más precisas entre los tratamientos dentro del conjunto homogéneo de unidades experimentales en un bloque. El uso de bloques fue muy provechoso en el siguiente estudio. Un plan clásico para el diseño de bloques completos aleatorizados (BCA) usando tres mediciones en cuatro bloques es el siguiente: Las t denotan la asignación de cada uno de 3 tratamientos a los bloques. Desde luego, la asignación verdadera de los tratamientos a las unidades dentro de los bloques se hace al azar. Una vez que ha finalizado el experimento, los datos se pueden registrar como en el siguiente arreglo de 3 × 4: donde y 11 representa la respuesta que se obtiene al utilizar el tratamiento 1 en el bloque 1, y 12 es la respuesta que se obtiene al utilizar el tratamiento 1 en el bloque 2,..., y y 34 es la respuesta que se obtiene al utilizar el tratamiento 3 en el bloque 4. Ahora vamos a generalizar y a considerar el caso de k tratamientos asignados a b
De manera similar, el promedio de las medias de la población para el j-ésimo bloque, μ.j, es definido por: y el promedio de las bk medias de la población, μ, es definido por: Para determinar si parte de la variación de nuestras observaciones se debe a diferencias entre los tratamientos, se considera la siguiente prueba: H0: μ1. = μ2. = ··· μk. = μ, H1: No todas las μi. son iguales Ejemplo: El momento de fertilizar el trigo con nitrógeno Las recomendaciones actuales para fertilizar el trigo con nitrógeno incluyen la aplicación de cantidades especificas en etapas establecidas del crecimiento de la planta. Las recomendaciones se desarrollaron a través de un análisis periódico del contenido de nitratos en los tejidos de la espiga, se pensó que el análisis del tejido era un medio efectivo para supervisar la cantidad de nitrógeno en la cosecha 1 y tener una base para predecir el nitrógeno necesario para una producción óptima. El diseño del tratamiento incluyó seis programas diferentes de aplicación de nitrógeno que podían proporcionar el intervalo de condiciones necesarias para evaluar el proceso. Para la comparación se incluyó un tratamiento sin nitrógeno al
igual que la recomendación normal vigente. el experimento se llevó a cabo en un campo irrigado, con un gradiente de agua en dirección del área de parcelas experimentales. El diseño de experimento resultante fue un diseño de bloques completo aleatorizado, con cuatro bloques de seis parcelas a las que se asignaron al azar los tratamientos de nitrógeno.
Diseños factoriales.
Diseño experimental que sirve para estudiar el efecto individual y de interacción de varios factores sobre una o varias respuestas. Un diseño factorial es un tipo de experimento diseñado que permite estudiar los efectos que varios factores pueden tener en una respuesta. Al realizar un experimento, variar los niveles de todos los factores al mismo tiempo en lugar de uno a la vez, permite estudiar las interacciones entre los factores. Los métodos de investigación tradicionales generalmente estudian el efecto de una variable a la vez, ya que estadísticamente es más fácil de manipular. Sin embargo,
De acuerdo con su experiencia, el vendedor considera que el cierre de este material depende de las siguientes características: Temperatura Presión Grueso del plástico Tiempo de sellado. Y ha definido las siguientes variables para realizar un experimento. Ho: efecto de temperatura = 0
H1: efecto de temperatura≠ 0
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