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DISTRIBUCION BINOMIAL Y NORMAL
(DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES)
DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES
Para una variable aleatoria discreta (variable cuantitativa que no admite decimales-finito) es una tabla,
gráfica, fórmula u otro sistema utilizado para especificar todos los valores posibles , junto con sus
probabilidades respectivas, es decir, mediante el uso de un gráfico, formula o sistema para representar
todos los posibles de la variable cuantitativa discreta y saber la probabilidad de obtener cada uno de
esos valores.
La longitud de cada barra vertical indica la probabilidad para el valor correspondiente de x.
Los valores P(X) son todos positivos, menores que 1 y la suma de los mismos es igual a 1.
DISTRIBUCION
BINOMIAL
FRECUENCIA ABSOLUTA / TOTAL
Es una distribución de probabilidades de variables discretas
1. ENSAYO DE BERNOULLI
Es cualquier ensayo de algún experimento que conduce sólo a uno de dos resultados mutuamente
excluyentes , tales como: vivo o muerto; enfermo o sano; + o –; masculino o femenino, etc.
Estos pueden ser expresados en "Sí" o "No" si se hace una adecuada pregunta. Por ejemplo:
Al tirar una moneda, ¿Será cara?: En este contexto, ("cara") convencionalmente denota éxito y el
reverso ("sello") denota fallo. Por definición, una moneda tiene 0.5 de probabilidad de éxito.
Tirar un dado: En este caso designamos un 6 como un "éxito" y todos los demás resultados como
“fracaso".
¿Era el recién nacido niña?
¿Sus ojos son verdes?
¿El paciente, tiene TBC?
¿La prueba, salió +?
2. PROCESO DE BERNOULLI
Es la repetición de un Ensayo de Bernoulli, es decir, hacer independientes , pero idénticos , ensayos de
Bernoulli en forma repetida, por ejemplo tirar 10 veces una moneda.
Características de la Distribución Binomial (EXAMEN):
En cada ensayo ocurre 1 de 2 posibles resultados mutuamente excluyentes.
La probabilidad de éxito (p) permanece constante en cada ensayo.
La probabilidad de fracaso (q)= 1- p
Los ensayos son independientes , NO INFLUYE SOBRE OTRO ENSAYO.
Si nos fijamos en el ejemplo de la moneda, en este caso estaremos estudiando cuantas veces sale cara o
sale cruz, o las probabilidades de que salga:
- 3 veces cara de los 10 intentos.
- Calcular la probabilidad de 3 éxitos en 10 ensayos de Bernoulli
- Calcular la probabilidad de x éxitos en n ensayos de Bernoulli
3. DISTRIBUCION BINOMIAL
Se demuestra que la distribución binomial es una distribución de probabilidad ya que:
La distribución binomial tiene dos parámetros: n y p
B (n, p)
La media de la distribución binomial es: x
= np
La desviación estándar es: x
= npq
C. PARAMETROS DE DISTRIBUCION BINOMIAL
Ejemplo : En cierta población la prevalencia ( PROBABILIDAD DE ÉXITO DE UNA ENFERMEDAD ) de alergia
es de 20%. Si se selecciona una muestra aleatoria de 10 personas. Calcular
a. La probabilidad de que la muestra contenga exactamente un alérgico.
Datos: Éxito = tener alergia
p = 0,
q = 0,
n = 10
x = 1
Luego: p ( X=1 ) =
1
9
9
p(X=1) = 0,
b. La probabilidad de que la muestra incluya menos de dos
alérgicos
p = 0,
q = 0,
n = 10
DISTRIBUCION NORMAL Y CAMPANA DE GAUSS
Es una distribución de probabilidad de variables continuas (variables cuantitativas que admiten valores
decimales-infinitos).
Su importancia se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales
que siguen el modelo de la distribución normal:
- Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas) de una especie, por
ejemplo, tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros, etc.
- Caracteres fisiológicos , por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma
cantidad de abono.
- Caracteres sociológicos , por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de
individuos, puntuaciones de examen.
- Caracteres psicológicos , por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio, etc.
- Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
- Valores estadísticos muestrales , por ejemplo: la media.
- Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
- En general, cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.
DISTRIBUCION NORMAL
Es una distribución de probabilidad de variables cuantitativas continuas.
p(X<2) = p(X=0) + p(X=1)
La curva normal tiene forma de campana con un solo pico justo en el centro de la distribución.
DISTRIBUCION SIMETRICA : La media, mediana y moda de la distribución son iguales y se localizan en
el pico
La mitad del área bajo la curva está a la derecha del pico, y la otra mitad está a la izquierda (pico
divide en dos mitades).
La distribución normal es asintótica - la curva se acerca cada vez más al eje x, pero en realidad nunca
llega a tocarlo.
Características más importantes :
1. Es simétrica respecto a la media (): La media, la mediana y la moda son iguales y están
en el pico.
2. El área total debajo de la curva y el eje x es igual a una unidad cuadrada 3. Si se levantan perpendiculares a una cierta distancia de la desviación estándar se
delimita un porcentaje del área total :
1 desviación estándar: 68% del área total.
2 desviaciones estándar: 95% del área total
desviaciones
estándar:
aproximadamente el 100%.
4. La distribución normal queda completamente determinada por los parámetros (media)
y (desviación estándar)
Área Bajo la Curva Normal
Cerca de 68, 26% del área bajo la curva normal está a menos de una desviación estándar respecto a
la media. μ ± 1 σ
Alrededor de 95, 44% está a menos de dos desviaciones estándar de la media. μ ± 2 σ
Alrededor 99.74% está a menos de tres desviaciones estándar de la media. μ ± 3
Como toda figura geométrica en el plano, la curva normal posee una fórmula o ecuación denominada
también Función de densidad de la variable aleatoria continua que es la siguiente:
Donde:
y = altura de la curva en el punto x
= media aritmética de la distribución
= desviación estándar de la distribución
CAMPANA DE GAUSS
(Representación grafica de la
función de densidad)
1. DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR
Tiene una media de cero y desviación estándar de uno
Una distribución normal que tiene media igual a 0 y desviación
estándar igual a 1 se denomina distribución normal estándar.
Las cuatro distribuciones del gráfico son normales, con distintos valores de la media y la desviación
típica. La verde es la "normal estándar", de media cero y desviación típica uno.
Gráfica de una distribución normal y significado del área bajo la curva.
Cual es la probabilidad de que un valor X se
encuentre entre a y b
Cual es la probabilidad de que x sea mayor o
igual a A y menos o igual a B
El área bajo la curva es igual la probabilidad de
obtener un valor X entre a y b
Distribuciones normales con
diferente media, pero la
misma desviación estándar.
(diferente pico mismo ancho)
Abreviaturas :
- Media de la población = μ
- Media de una muestra = x
- Desviación estándar = σ
- Desviación estándar muestral = s
- Población = N
- Muestra = n - Grados de libertad = v
- Distribución Normal Estándar = z
μ = 0 y σ =
TABLA DE DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR Z: N (0,1)
Área bajo la curva por detrás
de X o área bajo la curva
menor que X
Ejemplos con estudios reales y distribuciones normales NO estándar
Tenemos que transformar la curva normal de nuestros datos a la curva normal estándar.
Z es una variable con distribución normal que está definida por: la distancia entre un valor seleccionado,
designado como X, y la población media (μ), dividida entre la desviación estándar de la población (σ)
Ejemplo:
Los niveles de colesterol total en la población general se distribuyen normalmente con =200 y = 20. Si
de esta población se selecciona un sujeto al azar:
a. ¿cuál es la probabilidad de que tenga un valor entre 170 y 230?
Se solicita: p(170x230) =?
En el gráfico, el área que debemos calcular aparece sombreada:
Se transforman o estandarizan los valores de x
i
en términos de z.
Luego: p (170 x 230) = p (-1,50 z 1,50 )
De la tabla:
P (-1,50 z 1,50) = 0,93319 - 0,06681 = 0.
Interpretación :
La probabilidad de que un sujeto seleccionado al azar tenga un nivel de colesterol entre 170 y 230, es
de 0,86638.
El 86.6% de personas tienen colesterol entre 170 y 230.
b. Tenga un valor de 270 o más.
Cálculo de z:
Z= 270 – 200= 3,
Luego:
P (x 270) = p (z 3,50)
De la tabla p de 3.5 = 0,
