distribucion de posison, Apuntes de Estadística Inferencial

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ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA y

PROBABILIDADES

Medidas de tendencia central

Estadística Descriptiva y Probabilidades

SESIÓN 3

LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión de clase, el estudiante calcula e

interpreta las medidas de tendencia central para

datos no agrupados y agrupados, según sus

frecuencias.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 𝑋𝑛− 1 X: Ventas diarias de un supermercado 𝑋 7

Las medidas de tendencia central

son valores que permiten resumir a

un conjunto de datos, estas

medidas equivalen a un centro de

gravedad (Valor representativo)

que adopta un valor representativo

para todo un conjunto de datos

predeterminados.

𝑋 → 𝑀𝑒 → 𝑀𝑜 Que es una Medida de tendencia central?

Notación: media aritmética de la población es μ , es decir: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Es una medida de tendencia central que se define como el promedio aritmético de un conjunto de datos. Es una de las más utilizadas en el campo de la estadística y a veces mal utilizada. Media aritmética ( 𝑿 ) Media aritmética datos no agrupados 𝑋 = 𝑋 1

• 𝑋 2
• 𝑋 3
• ⋯ + 𝑋 𝑛 𝑛 = 𝑖= 1 𝑛 𝑋 𝑖 𝑛 Notación que se utilizará para representar la media aritmética de una muestra, si x es la variable que toma los valores : 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 ,.. , 𝑋𝑛; entonces:

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Media aritmética para datos no agrupados ( 𝑿 ) Se tiene el registro de ventas en millones de soles durante 10 años de una empresa transnacional. 19 ,20 , 18, 16 , 16, 25, 23, 18, 19, 13 Calcule la media o promedio de las ventas 𝑋 = 𝑋𝑖 𝑛 → 𝑋 = 19 + 20 + 18 + 16 + 16 + 25 + 23 + 18 + 19 + 13 10 → 𝑋 = 18.7 millones de soles Interpretación: La venta media de la empresa trasnacional en los 10 años es 18. 7 millones soles. Solución: Caso 1: Ventas en empresa transnacional

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Propiedades de la media aritmética:

1. Si cada una de las observaciones se le suma o se le resta una constante, la media aritmética del nuevo conjunto de datos (𝑌𝑖 = 𝑋𝑖 ± 𝑏) será igual a:
2. Si cada una de las observaciones se le multiplica por una constante, la media aritmética del nuevo conjunto de datos (Yi = ax i , a≠ 0 ) será igual a:

Variable (Xi) fi X 1 f 1 X 2 f 2 X 3 f 3 … … Intervalos [𝐿𝑖𝑛𝑓, 𝑆𝑠𝑢𝑝> [ , > [ , > … Caso discreto (^) Caso continuo (Intervalos) fi f f f … Paso1: Hallar la marca de clase: 𝑋𝑖 𝑋 = 𝑋𝑖𝑓𝑖 𝑛 Paso2 : Reemplazar en la fórmula 𝑋 = 𝑋𝑖𝑓𝑖 𝑛 Paso1 : Reemplazar en la fórmula Donde: 𝑋𝑖 ∶ Valor de marca de clase intervalo 𝑓𝑖 ∶ Frecuencia absoluta Donde: 𝑋𝑖 ∶ Valor de variable 𝑓𝑖∶ Frecuencia absoluta MEDIDAS DE TENDENCIA DE CENTRAL Media aritmética para datos agrupados

MEDIDAS DE TENDENCIA DE CENTRAL Media aritmética para datos agrupados: Caso Discreto Solución: N° de aplicativos 𝒇𝑖 𝑋𝑖. 𝒇𝑖 2 3 6 3 4 12 4 7 28 6 5 30 7 1 7 20 83 + 𝑋 = 𝑋𝑖𝑓𝑖 𝑛 Paso 1: Reemplazar 𝑋 = 83 20 = 4. 15 Interpretación : El número promedio de aplicativos desarrollados por la empresa en el año 2018 fue 4.

MEDIDAS DE TENDENCIA DE CENTRAL Los ingresos (en soles) que ofrece una empresa hotelera a sus practicantes se presentan en la siguiente tabla de frecuencias: Ingreso (soles) Nº de practicantes 625 3 675 7 725 10 775 3 825 2 Calcular el ingreso promedio. Media aritmética para datos agrupados: Caso Continuo Caso 3: Ingreso practicantes Ingresos en soles de practicantes de una empresa hotelera Fuente: Departamento de Recursos humanos

MEDIDAS DE TENDENCIA DE CENTRAL Aplicación de Propiedad: caso empresa hotelera, ejercicio 1 Caso 4 : Si: a todos los practicantes se les incrementan sus ingresos en 150 soles, entonces los nuevos ingresos tienen la siguiente forma: 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 + 150 y el nuevo ingreso promedio es igual a: 𝑌 = 𝑋 + 150  𝑌 = 713 + 150  𝑌 = 863 Finalmente, el nuevo ingreso promedio de los 25 practicantes es igual a 863 soles. Caso 5 : todos los practicantes se les incrementan sus ingresos en un 20 %, entonces los nuevos ingresos tienen la siguiente forma: 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 + 20 %𝑥𝑖  𝑦𝑖 = 1. 2 𝑥𝑖 y el nuevo ingreso promedio es igual a: 𝑌 = 1. 2 𝑋  𝑌 = 1. 2 713 = 855. 6 Finalmente, el nuevo ingreso promedio de los 25 practicantes es igual a 855. 6 soles. Recuerda: 𝑋 = 713 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠

MEDIDAS DE TENDENCIA DE CENTRAL Calcular el ingreso medio o promedio. Media aritmética para datos agrupados: continuo Caso 6: Ingreso practicantes de programación Los ingresos (en dólares) que ofrece una empresa de desarrollo de software a sus practicantes de programación en Android presentan en la siguiente tabla de frecuencias: Ingreso ($) Nº Practicantes (fi) [700; 750> 3 [750; 800> 7 [800; 850> 9 [850; 900> 4 [900; 950> 2 Ingresos en dólares de practicantes de una empresa de desarrollo de software Fuente: Área de recursos humanos

MEDIDAS DE TENDENCIA DE CENTRAL Mediana La mediana tiene la propiedad de que el 50 % de los datos son menores o iguales que ella y el otro 50 % son mayores o iguales. Entonces la mediana divide el conjunto de datos en dos subconjuntos iguales. Si n es impar , entonces Si n es par , entonces 𝑀𝑒 = 𝑋 (^) 𝑛+ 1 2 𝑀𝑒 = 𝑋 (^) 𝑛 2

𝑋 (^) 𝑛 2

• 1 2 Mediana datos no agrupados 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑛 + 1 2 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑛 2 , 𝑛 2
• 1 e𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑎𝑡𝑜 Recuerda ordenar los datos previamente

MEDIDAS DE TENDENCIA DE CENTRAL Mediana datos no agrupados “n” es impar. Paso 1: Ordenar los datos de menor a mayor “n” es par. Paso 1: Ordenar los datos de menor a mayor Las notas obtenidas por 7 alumnos fueron: 16 , 11 , 10 , 16 , 09 , 10 y 17. la mediana de la muestra es: Las notas obtenidas por 8 alumnos fueron: 16 , 11 , 10 , 08, 15 , 09 , 13 y 18. La mediana de la muestra es: Solución: 9, 10, 10, 𝟓𝟎%

𝟓𝟎%

𝟓𝟎%

𝟓𝟎% 𝑀𝑒 = 𝑋 4 = (^11) 𝑀 𝑒 =^ 𝑋 (^4) +𝑋 (^5) 2 = 11 + 13 2 = 12 Solución:

𝑛 = 7 ^ 𝑛^ =^8 

Caso 7: Notas de alumnos