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Asignatura: tecnicas cuantitativas, Profesor: Agustin Hernandez, Carrera: Administración y Dirección de Empresas, Universidad: UGR
Tipo: Apuntes
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Distribución Rectangular o Uniforme.- 𝑿 → 𝑼(𝒂, 𝒃)
𝒇(𝒙) = {
𝟏 𝒃 − 𝒂
; 𝒙 ∈ (𝒂, 𝒃)
𝟎; 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐
𝑭(𝒙) = {
𝟎; 𝒙 ≤ 𝒂 𝒙 − 𝒂 𝒃 − 𝒂
; 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃
𝟏; 𝒙 ≥ 𝒃
𝟐
Coeficiente de asimetría de Fisher: 𝒈𝟏(𝑿) = 𝟎;
Coeficiente de curtosis de Fisher: 𝒈𝟐(𝑿) = − 𝟔𝟓 ;
Caso particular: (𝒂, 𝒃) = (𝟎, 𝟏).
Distribución Exponencial de parámetro 𝜽 .-
𝑿 → 𝑬𝒙𝒑(𝜽); 𝜽 > 0;
𝒇(𝒙) = {
𝟏 𝜽
𝒆−
𝒙 𝜽; 𝒙 > 0
𝟎; 𝒙 < 0
𝒙
Coeficiente de asimetría de Fisher: 𝒈𝟏(𝑿) = 𝟐;
Coeficiente de curtosis de Fisher: 𝒈𝟐(𝑿) = 𝟔;
Coeficiente de asimetría de Fisher: 𝒈𝟏(𝑿) = (^) √𝜶𝟐 ;
Coeficiente de curtosis de Fisher: 𝒈𝟐(𝑿) = 𝟔𝜶 ;
Casos particulares:
Si 𝜽 = 𝟏 , entonces se obtiene la 𝑮𝒂𝒎𝒎𝒂(𝜶)
Si 𝜶 = 𝟏 , entonces se obtiene la 𝑬𝒙𝒑(𝜽)^ ;
Distribución Beta de parámetros p 𝒚 𝒒 .-
𝑿 → 𝑩𝒆𝒕𝒂(𝒑, 𝒒); 𝒑 > 0 , 𝑞 > 0;
Donde la función,
𝑩(𝒑, 𝒒) = ∫ 𝒙𝟎𝟏 𝒑−𝟏(𝟏 − 𝒙)𝒒−𝟏^ 𝒅𝒙 = 𝚪(𝒑)𝚪(𝒒)𝚪(𝒑+𝒒) ;
Si p>1, y, q>1, entonces la distribución es
Distribución Normal de parámetros 𝝁 𝒚 𝝈𝟐 .-
𝑿 → 𝑵(𝝁, 𝝈𝟐) ;
Hacemos un cambio de origen y de escala en la anterior variable
𝒁 → 𝑵(𝟎, 𝟏) ; con 𝝁 ∈ ℝ, 𝝈 > 0 ;
𝑿 = 𝝈 𝒁 + 𝝁 ,
Entonces,
𝒇(𝒙) =
𝟏 √𝟐𝝅 𝝈^
𝒆
− (𝒙−𝝁)
𝟐 𝟐𝝈𝟐^ , 𝒔𝒊 𝒙 ∈ ℝ ;
Coeficiente de asimetría de Fisher: 𝒈𝟏(𝑿) = 𝟎;
Coeficiente de curtosis de Fisher: 𝒈𝟐(𝑿) = 𝟎;
Propiedad importante:
Dado un conjunto de v.a. independientes con distribución Normal cada una de ellas, cualquier combinación lineal de las variables sigue también una distribución Normal.
𝑿𝟏 → 𝑵(𝝁𝟏, 𝝈𝟏𝟐); …….. 𝑿𝒌 → 𝑵(𝝁𝒌, 𝝈𝒌𝟐);
Entonces la nueva variable,
𝒀 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝑿𝟏 + ⋯ + 𝒂𝒌𝑿𝒌 sigue una distribución Normal, con
Media = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝝁𝟏 + ⋯ + 𝒂𝒌𝝁𝒌 ;
y
Varianza = 𝒂𝟏𝟐^ 𝝈𝟏𝟐^ + ⋯ + 𝒂𝒌𝟐^ 𝝈𝒌𝟐^ ;
Distribución 𝒕(𝒏) de Student con “n” grados de libertad.-
Esta distribución surge del cociente entre
una 𝑵(𝟎, 𝟏)^ y la raíz cuadrada de una
𝝌𝟐(𝒏) ponderada por sus grados de
libertad. Es decir,
𝒕(𝒏) =
𝑵(𝟎,𝟏) √𝝌𝟐𝒏(𝒏)
;
El recorrido de esta variable es todo ℝ.
Tablas de la distribución.
de libertad.-
Esta distribución surge del cociente de dos distribuciones 𝝌𝟐^ de Pearson, independientes, cada una de ellas ponderada por sus grados de libertad. Es decir,
𝝌𝟐(𝒏) 𝒏 𝝌𝟐(𝒎) 𝒎
Se verifica que:
El recorrido de la variable son los números reales positivos.
𝟏 𝑭(𝒎,𝒏)^
Tablas de la distribución.
Dada una variable aleatoria X con función de distribución F(x) y función de densidad f(x), una muestra aleatoria simple de tamaño “n” es un conjunto de “n” variables aleatorias 𝑿𝟏, … , 𝑿𝒏 que son independientes y que tienen la misma distribución que X. En particular,
si 𝑬[𝑿] = 𝝁 , entonces,
𝑬[𝑿𝟏] = ⋯ = 𝑬[𝑿𝒏] = 𝝁
si 𝑽𝒂𝒓[𝑿]^ = 𝝈𝟐^ , entonces,
𝑽𝒂𝒓[𝑿𝟏] = ⋯ = 𝑽𝒂𝒓[𝑿𝒏] = 𝝈𝟐
Inferencia paramétrica.
Inferencia no paramétrica.
Estadístico muestral.-
Ejemplo: Dada una muestra de tamaño 3,
Dada una muestra de tamaño “n” 𝑿𝟏, … , 𝑿𝒏.
MEDIA MUESTRAL.-
𝒏
𝒊=𝟏
𝑽𝒂𝒓[𝒙̅] = 𝑽𝒂𝒓 [𝟏𝒏 ∑^ 𝒏𝒊=𝟏 𝑿𝒊] = (^) 𝒏𝟏𝟐 𝑽𝒂𝒓[∑^ 𝒏𝒊=𝟏 𝑿𝒊]^ =
𝟏 𝒏𝟐^ 𝒏 𝝈
𝟐 (^) = 𝝈𝟐 𝒏 ;
Datos = una muestra (aleatoria simple) =
= 𝒙𝟏, … , 𝒙𝒏 ;
La función de densidad de la muestra se denomina
“VEROSIMILITUD DE LA MUESTRA”
𝒏
𝒊=𝟏 Que también se nota como
o simplemente,
dada una muestra fija, como
para destacar que para una muestra dada es
Estadísticos suficientes:
Un estimador 𝑻(𝒙𝟏, … , 𝒙𝒏)^ es suficiente cuando contiene la misma información que la muestra completa.
Ejemplos:
Binomial 𝑩𝒊(𝒏, 𝒑)^ con “n” conocido; Poisson 𝑷(𝝀)^ ; Normal 𝑵(𝝁, 𝝈𝟐)^.
