Distribuciones bidimensionales, Apuntes de Estadística Descriptiva

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Estadística Descriptiva

TEMA 4. DISTRIBUCIONES^ BIDIMENSIONALES^ BIDIMENSIONALES Profesora: Sonia de Lucas

Estadística Descriptiva

1.^ DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES DEFRECUENCIA.^ –^ TABLAS DE CORRELACIÓN Y TABLAS DECONTINGENCIA.^ –^ DISTRIBUCIONES MARGINALES Y DISTRIBUCIONES^ CONDICIONADAS.^ CONDICIONADAS. 2.^ MOMENTOS DE LAS DISTRIBUCIONESBIDIMENSIONALES.3.^ INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA EINDEPENDENCIA FUNCIONAL. Profesora: Sonia de Lucas

Estadística Descriptiva

1.^ DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES DE FRECUENCIA.^ •^ Distribuciones marginales de frecuencia:^ Dada la distribución bidimensional de las variables (X, Y) llamamosdistribuciones marginales de dichas variables a los conjuntos:^ (^ ){^^ Siendo el estudio unidimensional de cada variable con independencia de la otra

distribuciónmarginalde;. : , , , , x n = … i 1 2 r } i i {( ;. ) : , , , },y n j= … j 1 2 m i X; distribuciónmarginaldeY

-^ Distribuciones condicionadas de frecuencia:^ Dada la distribución bidimensional de las variables (X, Y) llamamos variableX condicionada a Y=y, y denotamos (X/Y=yj^ Profesora: Sonia de Lucas

) a la variable estadística quej toma los valores xcon frecuencia absoluta ni^

:ij {^ - - (^ /^ )^ (^ ;^ ) :^ 1,2,...,^ 1,2,...,^ X^ Y^ y^ x n^ i^ r^ para^ cualquier^ j^ m^ =^ =^ =^ =}^ j^ i^ ij r^ :^ /^ donde^ X^ Y^ y^ n=^ =^ La frecuencia total de^ es n^ (^ )^ ∑.j^ j^ ij^1 j^ = (^ /^ )^ (^ ;^ ) :^ 1, 2,...,^ 1, 2,...,^ Y^ X^ x^ y^ n^ j^ m^ para^ cualquier^ i^ {^ }^ i^ j^ ij m^ :^ /^ (^ )^ .i^ i^ ij^1 j

r donde^ Y =^ =^ =^ =^ X^ x^ n=^ =^ La frecuencia total de^ es n ∑^ =

Estadística Descriptiva

2.^ MOMENTOS EN LAS DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES^ a)^ Respecto al origen:^

r^ m^ nijh^ k^ ,^ ( ,^ )a x y^ h k = ∈ℕ∑∑^ hk i^ j N^1 1 i j=^ = ..

;^10 011

arg

r^ m^ nnji a x^ a^ y^ mediasi^ j i j

m^ inales N N

=^ =∑^ ∑=^ =^ r^ m^ nn^ .j^2 2 .i^ ;a x^ a^ y^ =^ =∑^ ∑ 20 02 i^ j^ N^ NN^ N^1 1 i^ j=^ =^1 1 i^ j=^ =^ r^ m^ nij^ , a x y^ momento^ producto =^ ∑∑ 11 i^ j^ N^1 1 i^ j=^ = b) Respecto a las medias: Profesora: Sonia de Lucas

r^ m^ nijh^ k^ (^ ) (^ )^ ,^ ( ,^ )m x^ a^ y^ a^ h k = −^ −^ ∈ℕ∑ ∑^10 01 hk i^ j N^1 1 i j=^ = 11 ,^

(^10 011 1).. 10 01 10 01 11 10 01 1 1 1

r^ m^ ij ( , ) (^ )(^ )x y i^ j i j^1

r^ m^ m^

rij j i i j j i i^ j^ j^

n m Cov x y S x a y a N = = n n n x y a y a x a a a^ a a N N Ni

=^ =^ =^

=^ =^ =^ −^ −^ = =

=^ −^ −^

∑∑ +^ =^ − ∑∑^ ∑^

∑

Estadística Descriptiva^ i^ j^ ij 4.2. A partir de la siguiente distribución bidim ensional (X , Y ;n^2 2 x^ y^ xy

calcule la X, Y, S^ , S^ y S^. Calcule la di

stribución de X condicionada a que Y=4. ¿Son independientes las variables X e Y?^ X/ Y^1 2 3 4

(^2) ni. xini. sumayjnijxini.*^ xisumayjnij -1^2 4 6 10

30 -30^30

- 0 1 2 3 5 4

15 0 0 54

0 1 3 6 9 15 12

45 45 45 162

162 2 4 8 12 20 16

60 120 240 216

432 n.j^10 20 30 50

150 135 315

486 n.j^10 20 30 50 Profesora: Sonia de Lucas 40 150 135 315

486 yjn.j*^10 40 90 200

540 a11=

3. (^2) yjn.j^10 80 270 800 2160

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Distribución condicionada que y=4 Independencia Estadística Profesora: Sonia de Lucas

Independencia Lineal

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c) Calcule la distribución de los ingresos condicionada al intervalomediano de vivienda familiar. d) Son independientes los ingresos familiares y el tamaño de lavivienda donde habitan?. Profesora: Sonia de Lucas

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4.8 Dada la siguiente distribución bidimensional, donde lasvariables X e Y son estadísticamente independientes.^ X\Y^3 4 ni.^1^3 c^ 3+c^2^2 6 8^ n.j^^5 6+c^ 11+c^ a)^ Determinar las distribuciones marginales de ambas variablesb) Determinar las medias y las varianzas, así como el valor de la covarianzas Profesora: Sonia de Lucas

Estadística Descriptiva Dada la siguiente tabla de correlaciones entre la edad (X) y las horas semanales frenteal televisor (Y).^ X/Y^5

40 70 ni.^ xini.*

xi^2ni. 10*^3 7

4 20 200 2000 20^6 14

8 40 800 16000 40^5 10

6 30 1200 48000 60^1 4

2 10 600 36000 n.j^^15 35

20^100^2800 yjn.j*^^75 525

1400 3200 yj^2n.j*^^375 7875 a) Consideradas individualmente, ¿qué variable presenta mayor dispersión relativa,¿y mayor concentración? Profesora: Sonia de Lucas 48000 98000 154250

Estadística Descriptiva b) Calcule la covarianza entre la edad del individuo y las horas semanales empleadasen ver TV. ¿Qué puede comentar con este resultado? Profesora: Sonia de Lucas

Estadística Descriptiva e) Calcule la distribución de edad condicionada a aquellos que ven 5 horas de TV a lasemana^ d) Calcule la media aritmética de las horas de TV que ve el intervalo más joven de lapoblación (xi=10) Profesora: Sonia de Lucas

Estadística Descriptiva

Dada la siguiente distribución bidimensional construir la tablade correlación

X^ Y 2 5 3 1 2 1 2 5

Profesora: Sonia de Lucas

2 52 31 4 Solución: