La divergència del potencial vector magnètic
Demostrem que pels camps magnètics creats per corrents estacionaris, la divergència del
potencial vector és nul·la en tots els punts de l’espai.
Tenint en compte l’expressió del potencial vector magnètic:
∫
=
v
odv
r
xj
xA )'(
4
)(
π
µ
on 'xxr −= segons la notació habitual, la seva divergència vindrà donada per:
∫∫ ⋅∇=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅∇=⋅∇
v
o
v
odv
r
j
dv
r
j
A
π
µ
π
µ
44
ja que l’operador divergència només deriva les coordenades sense prima.
Si aleshores tenim en compte les identitats vectorials:
r
jj
rr
j11 ∇⋅+⋅∇=⋅∇
r
jj
rr
j1
''
1
'∇⋅+⋅∇=⋅∇
podrem afirmar que:
r
j
r
j⋅∇−=⋅∇ '
ja que 0' =⋅∇ j donat que el corrent és estacionari, i 0=⋅∇ j ja que la densitat de corrent és
independent de les coordenades sense prima.
Aleshores, aplicant el teorema de la divergència (l’hem d’aplicar a la divergència que deriva les
coordenades amb prima):
∫∫∫ −=−=⋅∇−=⋅∇
s
no
s
o
v
ods
r
j
sd
r
j
dv
r
j
A
π
µ
π
µ
π
µ
44
'
4
Però si el corrent és estacionari, i, en conseqüència: 0=
n
j
0=⋅∇ A