TALLER DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
PRESENTADO POR:
ZAMBRANO PADILLA CARLOS MIGUEL
PINEDA BRAYAN
SIERRA SEBASTIAN
DOCENTE:
OVÍDIO BAQUERO BONILLA
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
ECUACIONES DIFERENCIALES
VALLEDUPAR - CESAR
2022
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Taller de Ecuaciones Diferenciales: Crecimiento y Decrecimiento, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas
Documentos de ecuaciones diferenciales
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
2021/2022
1 / 10
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TALLER DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
PRESENTADO POR:
ZAMBRANO PADILLA CARLOS MIGUEL
PINEDA BRAYAN
SIERRA SEBASTIAN
DOCENTE:
OVÍDIO BAQUERO BONILLA
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
ECUACIONES DIFERENCIALES
VALLEDUPAR - CESAR
- Se le hace entrega de un material de ecuaciones diferenciales, revisar el
contenido teórico y explicar:
a. ¿Cómo se deduce a partir de una ecuación diferencial el modelo de
crecimiento y decrecimiento exponencial?
Si
y es una función derivable de
t tal que
y > 0 y y
'
=ky
, para alguna constante
k ,
entonces y=C e
kt
donde
C
es el valor inicial de
y , y
k es la constante de
proporcionalidad. El crecimiento exponencial se produce cuando k > 0 , y el
decrecimiento cuando k < 0.
b. Explique mediante un ejemplo diferente a los que se encuentran en el
material de estudio, la aplicación del modelo de crecimiento y
decrecimiento exponencial.
Una población de bacteria crece de acuerdo a la función f ( x )= 100 e
0.00 t
, en
donde t es medido en minutos.
¿Cuántas bacterias habrá después de 4 horas (240 minutos)?
¿Cuándo alcanza una población de 100.000 bacterias?
Este es un crecimiento continuo, por lo que tenemos la fórmula A=A
0
e
kt
Podemos reconocer los siguientes datos.
A
0
k =0.
t= 240
Entonces, tenemos:
f
= 100 e
0.02( 240 )
Entonces, habrá 12151 bacterias después de 4 horas.
Para saber cuándo la población alcanza 100.000 bacterias, resolvemos la
ecuación
100.000= 100 e
0.02 t
100.000− 100 =e
0.02 t
1000 =e
0.02 t
ln
=ln
e
0.02 t
1 0 0 =c e
k( 0 )
c= 1 0 0 − 25
c= 75
T = 75 e
kt
8 0 = 75 e
10 k
8 0 − 25 = 75 e
10 k
=e
10 k
ln
=ln( e
10 k
ln
= 10 k
k =
ln
k =−0.
Para T = 40 ° F
40 = 75 e
(−0. 03 ) t
40 − 2 5 = 75 e
−0. 03 t
=e
−0. 03 t
ln
=ln( e
−0. 03 t
ln
=−0. 03 t
t=
ln
t=53.65 min
- De los ejercicios 6.2 del material de estudio solucione los siguientes problemas
de aplicación:
a. El 41 y 42 sobre desintegración radioactiva
41. El radio radiactivo tiene una semivida o vida media de aproximadamente 1
599 años. ¿Qué porcentaje de una cantidad dada permanece después de 100
años?
Sila vidamedia es t
m
= 1599 años , entonces
t
m
−ln 2
k
k =
−ln 2
t
m
k =
−ln 2
k =−0.
Si M (t ) es la cantidad de sustancia al cabo de t años ,
y M
0
es lacantidad inicial ,entonces
M
t
=M
0
e
kt
M
t
=M
0
e
(−0.00043 )t
M
t
=M
0
e
(−0.00043 )( 100 )
M ( 100 )
M
0
M
0
e
(−0.00043)( 100 )
M
0
=e
−0.
ln ( 0.15 )=−0.00012 t
t=
ln( 0.15 )
t= 15809 años
b. El 57 y 58 sobre crecimiento poblacional
c. El 73 y 74 sobre la Ley de Enfriamiento de Newton
73. Cuando un objeto se extrae del horno y se coloca en un entorno con una
temperatura constante de 80° F, la temperatura en el centro es 1 500° F. Una
hora después de extraerlo, la temperatura del centro es 1 120° F. Encontrar la
temperatura del centro 5 horas después de extraer el objeto del horno
dT
dt
=k ( T −Ta)
dT
dt
=k ( T − 80 )
dT
T − 80
=kdt
∫
dT
T − 80
=k
∫
dt
ln ( T − 80 )=kt +c
T − 80 =c e
kt
T =c e
kt
t= 0 → T = 1500 ° F
t= 1 →T = 1 120 ° F
1500 =c e
k ( 0 )
c= 1500 − 80
c= 1420
T = 1420 e
kt
1120 = 1420 e
k
1120 − 80 = 1420 e
k
1040 = 1420 e
k
=e
k
ln ( 0.73 )=ln ( e
k
ln ( 0.73 )=k
k =−3.
T = 1420 e
(−3.15 ) 5
T = 80 ° F
74. Un contenedor de líquido caliente se coloca en un congelador que se
mantiene a una temperatura constante de 20° F. La temperatura inicial del
líquido es 160° F. Después de 5 minutos, la temperatura del líquido es 60° F.
¿Cuánto tiempo se necesitará para que su temperatura disminuya a 30° F?
dT
dt
=k ( T −Ta)
dT
dt
=k ( T − 20 )
dT
T − 20
=kdt
80 − 20 = 140 e
−0.25 t
=e
−0.25 t
ln
=ln ( e
−0.25 t
ln
=−0.25 t
t=
ln
t=3.39 min