Dossier curs 2008-2009, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Dossier curs 2008-2009 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

UNIVERSITAT POMPEU FABRA ESTUDIS EMPRESARIALS

MATEM `ATIQUES I

Curs 2008-

Professorat:

Adam Mahdi Joan Miralles de I. Jaume Parad´ıs Ramon Villanova

´Index

Cap´ıtol 1

Successions i l´ımits

1.1 Concepte de successi´o i terme general

El concepte matematic de successi´o ´es equivalent, amb matisacions, al que es fa servir en el llenguatge del carrer. Es tracta de posar “coses” una darrere de l’altra. Aixo significa posar una cosa al primer lloc, una altra al segon, i aix´ı successivament. L’´unica diferencia ´es que, en matematiques, el que posem un darrere l’altre s´on nombres reals i, a m´es, n’ordenem sempre infinits. Aquestes consideracions ens porten a la definici´o de successi´o de nombres reals:

Una successi´o de nombres reals ´es una assignaci´o que a cada nombre natural (1, 2, 3,.. .) li fa correspondre un nombre real.

Exemples de successions:

1. 2, 4, 6, 8, 10,...
2. 1, -1, 1, -1,...
3. 1, 2, 1, 2, 1, 2,...
4. 2, 4, 8, 16, 32,...

Un altre problema ´es, donada una successi´o, saber quin nombre real es tro- bar`a en cada lloc. Anomenarem n al lloc corresponent. El terme que ´es al

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS 5

lloc n l’anomenarem an. Si trobem l’expressi´o de an tindrem una f´ormula que ens permet saber quin nombre real hi ha a cada lloc. Aquesta f´ormula rep el nom de terme general de la successi´o. Els terme generals corresponents a les successions de l’exemple anterior serien:

1. an = 2n.
2. an = (−1)n+1.
3. an = 1 si n ´es senar, an = 2 si n ´es parell. O b´e an =

(−1)n^ + 3 2

4. an = 2n.
5. an =

n n + 1

6. an =

3 n − 1

Exercici 1. Determineu el cinque i el vuite terme de la successi´o de terme

general an =

n − 1 n^2 + 2

Exercici 2: Donada la successi´o de terme general an =

n^2 2 n − 1

, determineu

si els nombres:

i

pertanyen o no a la successi´o.

1.2 Progressions aritmetiques i geometriques

Com hem vist m´es amunt, hi ha successions creixents –cada terme ´es m´es gran que l’anterior–, successions decreixents –cada terme ´es m´es petit que l’anterior– i d’altres que no s´on ni creixents ni decreixents. Tamb´e hi ha successions fitades, ´es a dir, que tots els seus termes s´on menors –o m´es grans– que un valor donat. En altres paraules, podem fixar-nos en diverses caracter´ıstiques de les successions. Per exemple, hi ha successions, com la n´umero 1 de la pagina 4, en la que cada terme ´es 2 unitats m´es gran que l’anterior. Les successions que verifiquen aquesta propietat s’anomenen pro- gressions aritmetiques. D’altres, com per exemple la n´umero 4 de la pagina 4, verifiquen que cada terme ´es el doble de l’anterior. Les successions que verifiquen aquesta propietat s’anomenen progressions geometriques.

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS 7

progressi´o aritmetica de diferencia 3, els termes seg¨uents de la progressi´o s´on: 8 , 11 , 14 , 17 ,...

i els termes anteriors s´on:

− 4 , − 1 , 2 , 5 , 8...

Observem que, prenguem el tros que prenguem de la progressi´o, la suma del primer m´es l’´ultim val el mateixa que la del segon i el pen´ultim,... i aix´ı successivament. Per exemple, si prenem:

− 4 , − 1 , 2 , 5 , 8 , 11 , 14 ,...

tenim que −4 + 14 = −1 + 11 = 2 + 8 = 10 que ´es el doble de 5, el terme central.

Considerem ara amb m´es detall la propietat que acabem d’assenyalar: la su- ma dels termes simetrics d’una progressi´o aritmetica finita ´es constant. Aixo vol dir que, si coneixem el primer i el darrer dels termes de la progressi´o, en podem coneixer la suma. Dit d’una altra manera: si considerem la progressi´o aritm`etica finita: a 1 , a 2 , a 3 ,... , an ,

la suma dels seus termes ´es S = (a 1 + an) ·

n 2

Exemple: La suma, S, dels 100 primers nombres naturals: 1, 2 , 3 ,... , 100

val: S = (1 + 100) ·

Exercici 3: Calculeu la suma dels cent primers nombres senars.

1.4 Suma en una progressi´o geom`etrica

Una manera facil de caracteritzar una progressi´o geometrica ´es la seg¨uent: per a avan¸car en la progressi´o cal anar multiplicant per la ra´o r i per a anar retrocedint cal dividir per la ra´o. Aixo significa que, donat un terme a qualsevol d’una progressi´o geometrica, podem escriure els termes seg¨uents aix´ı: a, a · r, a · r^2 , a · r^3 , a · r^4 ,....

Tamb´e podrem escriure els termes anteriors a a aix´ı:

a r^4

a r^3

a r^2

a r

, a,....

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS 8

En resum: els termes de la progressi´o geom`etrica que es troben al voltant de a es poden escriure com:

a r^4

a r^3

a r^2

a r

, a, a · r, a · r^2 , a · r^3 , a · r^4 ,... (1.1)

Aquesta forma d’expressar els termes d’una progressi´o geometrica ens serviria per a aconseguir una f´ormula per al producte dels termes analoga a la de la suma dels termes d’una progressi´o aritmetica. Nom´es cal fixar-nos en que en una progressi´o geometrica finita, el producte de dos termes simetrics respecte al terme central ´es constant. Tanmateix, ´es molt m´es important aconseguir una f´ormula per a la suma de termes d’una progressi´o geometrica. Es demostra facilment que la suma dels n primers termes d’una progressi´o geom`etrica de ra´o r ´es:

Sn =

an · r − a 1 r − 1

En efecte, nom´es cal escriure

Sn = a 1 + a 2 + · · · + an r · Sn = r · a 1 + r · a 2 + · · · + r · an = a 2 + a 3 + · · · + an + r · an

i restar la ´ultima igualtat de la primera:

r · Sn − Sn = r · an − a 1.

A¨ıllant Sn de la igualtat anterior es troba la f´ormula (1.2). Exercici 4: Trobeu la suma dels termes de la progressi´o

3 10

Creieu que us calia la f´ormula per calcular-ne la suma?

Suposem ara una progressi´o geometrica decreixent, ´es a dir, una progres- si´o geometrica de ra´o m´es petita que 1. Per exemple, r = 1/2 i a 1 = 1/2:

1 2

Gr`aficament, si considerem un quadrat de costat 1, podem representar els termes de la successi´o de la manera seg¨uent: A la figura 1.1 es veu que cada

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS 10

L´ımit d’una successi´o

Considerem la successi´o:

1 ,

de terme general

2 n−^1

. Dibuixant aquests valors sobre la recta (figura 1.2)

Figura 1.2: Els termes de la successi´o (1.3)

veiem que els successius termes s’apropen a zero tant com vulguem; en altres paraules, si volem algun terme de la successi´o que li falti menys d’una mili- onesima –o menys que qualsevol altra quantitat, per petita que sigui– per a arribar a zero, en trobarem i no nom´es un, sin´o que a partir d’un cert lloc tots els termes estaran a menys de la milionesima. Aixo es resumira dient que el l´ımit de la successi´o ´es zero, i ho escriurem aix´ı:

lim n→∞

2 n−^1

An`alogament, considerem la successi´o:

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 ,...

Es clar que qualsevol nombre, per gran que sigui, ´^ ´ es superat per termes d’aquesta successi´o: direm que el l´ımit d’aquesta successi´o ´es infinit, i ho escriurem aix´ı: lim n→∞

2 n−^1 = ∞.

Suposem ara la successi´o:

− 1 , − 2 , − 4 , − 8 , − 16 , − 32 ,...

De manera similar al cas anterior, est`a clar que qualsevol nombre, per petit – negatiu– que sigui, ´es superat per baix per termes d’aquesta successi´o: direm que el l´ımit d’aquesta successi´o ´es menys infinit, i ho escriurem aix´ı:

lim n→∞ (− 2 n−^1 ) = −∞.

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS 11

No totes les successions tenen l´ımit. Per exemple, la successi´o de terme general an = (−1)n, ´es a dir,

− 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 ,... ,

no t´e l´ımit.

1.5 C`alcul de l´ımits

Considerem ara el l´ımit de la successi´o (1.3). Des d’un punt de vista formal podr´ıem “calcular-lo” aix´ı:

lim n→∞

n

La ´ultima igualtat s’ha de llegir en el sentit de l´ımits d’una successi´o, NO com una operaci´o numerica valida (∞ no ´es CAP nombre real). Aix´ı, des del punt de vista de l´ımits de successions podem plantejar la seg¨uent llista d’“operacions”amb l´ımits:

2. ∞ + a = ∞, on a ´es un nombre qualsevol.
3. ∞ · a =

∞ si a > 0 −∞ si a < 0

. El cas ∞ · 0 ´es indeterminat, ´es a dir, el seu valor dep`en de les successions concretes involucrades.

4. ∞ · ∞ = ∞.

´es indeterminat.

´es indeterminat.

7. ∞ − ∞ ´es indeterminat.
8. Si a > 1, a∞^ = ∞, a−∞^ = 0.
9. 1∞^ ´es indeterminat.

Aquestes seran les regles que haurem d’aplicar per al c`alcul de l´ımits, jun- tament amb el coneixement d’alguns l´ımits de successions com les definides

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS 13

Pas 2. Dividint numerador i denominador per n^2 tindrem:

lim n→∞

−n^2 n + 2

= lim n→∞

n

n^2

Pas 3. Tornant al nostre problema inicial tindrem:

lim n→∞ e

−n^2 n + 2 = e−∞^ = 0.

Considerem ara la successi´o de terme general an =

n

)n , i calculem alguns dels seus primers termes:

• a 1 = 1^1 = 1.
• a 2 =

• a 3 =

• a 4 =

• a 5 =

• a 6 =

Pretenem con`eixer el l´ımit d’aquesta successi´o. Si substitu¨ım n per ∞, com hem fet abans, tindrem:

lim n→∞

n

)n = (1 + 0)∞^ = 1∞^ , (1.4)

que ´es indeterminat. A partir dels termes que hem calculat, queda clar que el resultat no ´es 1, sin´o un nombre entre 2 i 3. Aquest nombre s’anomena e, i el seu valor aproximat ´es:

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 09.

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS 14

Aquest nombre ´es irracional, ´es a dir, t´e infinits decimals, sense cap per´ıode.

Un resultat important, a l’hora de trobar l´ımits, ´es que si el l´ımit de l’ex- pressi´o (1.4) ´es e, tamb´e ho ´es el de qualsevol expressi´o del tipus:

lim n→∞ (1 + kn) kn^1 (^) = e si lim n→∞ kn = 0.

En conseq¨u`encia, quan tinguem una expressi´o del tipus 1∞^ podrem utilitzar aquest fet per a resoldre la indeterminaci´o. Per exemple, volem calcular el l´ımit seg¨uent:

lim n→∞

2 n − 1

)n+

i, com abans, procedirem per passos:

Pas 1. lim n→∞

2 n − 1

)n+ = lim n→∞

[(

2 n − 1

) 2 n− 1 ]^

n + 1 2 n − 1

Pas 2. Calculem el l´ımit de l’exponent. Per tot el que s’ha explicat m´es amunt tindrem: lim n→∞

n + 1 2 n − 1

Pas 3. El l´ımit inclos dins del claudator, per tot l’anterior, ´es e. Acabem de calcular el l´ımit de l’exponent, i ens ha sortit

. Per tant,

lim n→∞

2 n − 1

)n+ = lim n→∞

[(

2 n − 1

) 2 n− 1 ]^

n + 1 2 n − 1 = e

(^12) .

Es f`´ acil comprovar que, per a calcular lim n→∞ (an)bn^ on lim n→∞ an = 1 i lim n→∞ bn = ∞, aleshores podem determinar-lo fent servir la f´ormula seg¨uent:

lim n→∞

(an)bn^ = e

lim n→∞ (an − 1) · bn .

Exercicis: Calculeu els l´ımits seg¨uents:

Ex. 1. lim n→∞

3 n^3 − 2 n + 4 n^2 + 5n − 6

Ex. 2. lim n→∞

3 n^2 − 2 n + 4 n^3 + 5n − 6

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS 16

(c) lim n→∞

− 5 n^3 + 4n^2 3 n^3

(d) lim n→∞

− 5 n^3 + 4n−^2 3 n^3

(e) lim n→∞

− 5 n−^3 + 4n−^2 3 n^3

(f) lim n→∞

n^2 + n − n.

(g) lim n→∞

n^2 + 3n + 1 −

n^2 + 4.

(h) lim n→∞

n^2 + 3n + 1 −

n^2 + 4 n

(i) lim n→∞

n^2

)n (^2) / 3 .

(j) lim n→∞

n^2 + 3 n^2 − 3

)n^2 +2n− 1 .

Cap´ıtol 2

Funcions d’una variable real

2.1 Concepte de funci´o

Donat un conjunt de nombres, podem establir una relaci´o o correspond`encia entre els seus elements. Per exemple, si suposem el conjunt dels nombres enters, podem establir la relaci´o que a cada nombre enter li fa correspondre el seu oposat, ´es a dir, al 7 li fa correspondre el −7, al 4 li fa correspondre el −4, al 0 li fa correspondre el 0, al −3 li fa correspondre el 3, i aix´ı successi- vament.

Nosaltres estem interessats en un tipus molt espec´ıfic de correspondencies o relacions: les funcions d’una variable real, que s´on les m´es basiques i impor- tants del m´on de la Matem`atica.

Anomenem funci´o d’una variable real a tota relaci´o entre nom- bres reals que a cada element n’hi faci correspondre un i nom´es un.

Ara caldr`a que fem un petit esfor¸c de definici´o del llenguatge de les funcions i de la seva expressi´o algebraica. Per a comen¸car, aquells nombres reals que s´on els subjectes de la nostra funci´o, ´es a dir, aquells a qui en fem correspondre un altre, formen l’anomenat conjunt de sortida, conjunt d’originals o conjunt de les antiimatges. Els destinataris, aquells que corresponen a algun original, formen el conjunt d’arribada o conjunt de les imatges. La recepta que ens permet saber qui correspon a qui s’anomena regla o f´ormula de la funci´o.

Vegem-ho amb un exemple. Considerem la funci´o que a cada nombre real li fa correspondre el seu doble: aquesta ´es la regla de la funci´o. El conjunt original ´es ara el de tots els nombres reals, el mateix que el conjunt de les

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL 19

• Les representarem en un sistema de dos eixos perpendiculars, que s’a- nomenen eixos de coordenades.
• Posarem els elements del conjunt de sortida a l’eix horitzontal, que s’anomena eix d’abscisses. Aquests elements s’acostumen a indicar amb la lletra x.
• Posarem els elements del conjunt d’arribada a l’eix vertical, que s’ano- mena eix d’ordenades. Aquests elements s’acostumen a indicar amb la lletra y o, tamb´e, f (x).
• Si la imatge de x ´es y, indicarem que el punt (x, y) pertany a la gr`afica de la funci´o f.

Figura 2.1: Representaci´o gr`afica de funcions

2.4 Domini i recorregut

Habitualment n’hi ha prou amb donar la regla de la funci´o, sense que cal- gui explicitar quins nombres reals tenen imatge i quins s´on imatge d’algun nombre real. Tanmateix, moltes vegades ens sera d’utilitat coneixer aquests conjunts, i ´es per aquest motiu que tenen nom espec´ıfic:

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL 20

Donada una funci´o f d’una variable:

• Anomenem domini de la funci´o f al conjunt de tots els nombres reals que tenen imatge, i l’indicarem com a Dom f.
• Anomenem recorregut de la funci´o f al conjunt de tots aquells nombres reals que s´on imatge d’algun altre, i l’indica- rem com a Im f.

La cerca del domini d’una funci´o ´es habitualment senzilla: nom´es cal coneixer les operacions que hi apareixen. Pero per a determinar el recorregut d’una funci´o de vegades cal comen¸car per coneixer-la completament. Vegem alguns exemples de calcul de dominis de funcions:

Ex. 1. f (x) = x^2 − 5 x + 6. Es evident que a tot nombre real se li poden aplicar les operacions´ indicades: elevar-lo al quadrat, restar-li ell mateix quintuplicat,.... Per tant, Dom f = R.

Ex. 2. g(x) =

2 x x − 2

Com que no es pot dividir per zero, nom´es quedaran exclosos del domini de f aquells valors que facin zero el denominador; es tracta de resoldre la senzill´ıssima equaci´o x − 2 = 0, que t´e com a ´unica soluci´o x = 2. Per tant, Dom g = R − { 2 } = (−∞, 2) ∪ (2, ∞).

Ex. 3. h(x) =

x − 2 x^2 − 5 x + 6

Amb el mateix criteri de l’exemple anterior, nom´es quedaran exclosos del domini aquells valors que facin zero el denominador. Les solucions de l’equaci´o x^2 − 5 x + 6 = 0 s´on x = 2 i x = 3. En conseq¨u`encia, Dom h = R − { 2 , 3 } = (−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, ∞).

Ex. 4. j(x) =

x − 1 x^2 + 2x + 2

Fent servir els mateixos criteris dels darrers exemples comprovem que l’equaci´o x^2 + 2x + 2 = 0 no t´e cap soluci´o real. Per tant, com que el denominador no s’anul·la mai, tindrem que Dom j = R.

Ex. 5. k(x) =

x − 3. Aquest ´es un cas diferent dels anteriors: com que nom´es existeix l’arrel quadrada dels nombres no negatius, ara no ens preocupa si algun poli- nomi val zero o no, sin´o que volem saber per a quins valors ´es positiu i per a quins no. En altres paraules, hem de resoldre la inequaci´o