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OPTIMIZACIÓN
FORMULACIÓN DE PROBLEMAS
PROGRAMACIÓN LINEAL
TALLER 1 (10 %)
Profesor: Andrés F. Escobar D.
INSTRUCCIONES:
Leer cada una de las instrucciones acá listadas para el desarrollo del taller.
Antes de intentar resolver los ejercicios, repase la teoría y ejemplos vistos en clase.
Este taller se resuelve en equipos de mínimo 3 estudiantes, máximo 4. No se aceptan trabajos individuales. No está permitido intercambiar información entre equipos.
Los equipos deben resolver y entregar los ejercicios asignados vía correo electrónico al estudiante que haya informado al docente los integrantes del equipo de trabajo.
El entregable debe ser un documento desarrollado en Word o en Excel y entregado en formato .pdf por cvirtual en la actividad que será creada para tal fin y estará habilitada a partir del lunes 6 de marzo de 2023. Utilicen editor de ecuaciones. La presentación hace parte de la calificación final. No se aceptan imágenes ni archivos escaneados de ejercicios resueltos a mano.
El taller debe entregarse por cvirtual antes de las 11:59 p.m. del día miércoles 8 de marzo de 2023. Luego de la hora señalada no se recibirá ningún archivo por ningún otro medio.
Es suficiente con que uno de los integrantes de cada equipo entregue el taller por cvirtual.
Cualquier evidencia de copia o de fraude en los trabajos desarrollados será calificada con una nota de 0.0 para todos los involucrados.
En cada uno de los ejercicios a continuación se deben identificar los elementos básicos del problema de optimización: variables de decisión, función objetivo y restricciones. Se debe realizar una descrip- ción cualitativa de cada uno de estos elementos. Al final se debe escribir la formulación del problema de optimización de forma resumida y en forma matricial (según el caso).
- Una compañía vende productos tecnológicos mediante un catálogo en línea. La compañía necesita un espacio amplio para almacenar los productos. En la actualidad planea rentar espacio para los siguientes 5 meses. Se sabe cuánto espacio necesitará cada mes, pero como dicha superficie es muy variable, puede ser más económico rentar sólo la cantidad necesaria cada mes con contratos men- suales. Por otro lado, el costo adicional de rentar espacio para meses adicionales es menor que para el primero, y puede ser menos costoso rentar el espacio máximo los 5 meses. Otra opción es el en- foque intermedio de cambiar la cantidad total de espacio rentado (con un nuevo contrato y/o la terminación del anterior) al menos una vez pero no cada mes. El espacio que se requiere y los costos de los periodos de arrendamiento son los siguientes:
Mes
Espacio requerido ( m^2 ) 1 30000 2 20000 3 40000 4 10000 5 50000
Periodo arrendamiento (meses)
Costo por m^2 arrendado ($) 1 65 2 100 3 135 4 160 5 190
Formule un problema de optimización con el objetivo de minimizar el costo total de arrendamien- to de modo que se cumplan con los requerimientos planteados. Escriba el problema en la forma matricial optimizar x
Z = cT^ x
s.a. Ax ⩾ b
x ⩾ 0 y de una descripción cualitativa de cada uno de los elementos del problema.
- El director de un centro de investigaciones financieras debe programar las horas de trabajo del personal del centro. Abre desde las 8 a.m. hasta la medianoche. El director estudió el uso del centro en las diferentes horas del día y determinó los siguientes números de investigadores necesarios:
Horarios
Número mínimo de investigadores requeridos 8 a.m. - 12 p.m. 4 12 p.m. - 4 p.m. 8 4 p.m. - 8 p.m. 10 8 p.m. - 12 a.m. 6
Puede contratar dos tipos de investigadores: de tiempo completo y de tiempo parcial. Los primeros trabajan 8 horas consecutivas en cualquiera de los siguientes turnos: matutino (8 a.m.-4 p.m.), ves- pertino (12 p.m.-8 p.m.) y nocturno (4 p.m.-12 a.m.). Estos investigadores ganan $80 por hora. Los investigadores de tiempo parcial pueden trabajar cualquiera de los cuatro turnos enumerados en la tabla anterior y ganan $60 por hora. Un requisito adicional es que durante todos los periodos debe haber al menos dos investigadores de tiempo completo por cada uno de tiempo parcial. Formule un problema de optimización para ayudarle al director a determinar cuántos investigado- res de tiempo completo y cuántos de tiempo parcial debe haber en cada turno para cumplir con los requisitos a un costo mínimo. Escriba el problema en la forma matricial
optimizar x
Z = cT^ x
s.a. Ax ⩾ b
x ⩾ 0
y de una descripción cualitativa de cada uno de los elementos del problema.
- Un empleado tiene $60 000 que desea invertir ahora para usar lo que se acumule en la compra de un fondo de retiro en 5 años. Después de consultar a su asesor financiero, le ofrecieron cuatro tipos de inversiones de ingreso fijo, las inversiones X, Y, Z y W. Las inversiones X y Y están disponibles al principio de cada uno de los siguientes 5 años (años 1 a 5). Cada dólar invertido en X al iniciar el año reditúa $1.40 (ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para invertir de inmediato). Cada dólar invertido en Y al principio de un año ofrece $1. tres años después. Las inversiones Z y W estarán disponibles una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en Z al principio del año 2 genera $1.90 al final del 5. Cada dólar invertido en W al principio del año 5 produce $1.30 al final de ese año.
Operadores Tasa salarial
Máximo de horas disponibles Lun. Mar. Mier. Jue. Vie. A $10/hora 6 0 6 0 6 B $10.1/hora 0 6 0 6 0 C $9.9/hora 4 8 4 0 4 D $9.8/hora 5 5 5 0 5 F $10.8/hora 3 0 3 8 0 G $11.3/hora 0 0 0 6 2
Hay seis operadores (cuatro de pregrado y dos de posgrado). Todos tienen salarios diferentes según su experiencia con computadoras y su aptitud para programar. La tabla muestra estos salarios junto con el número máximo de horas al día que cada uno puede trabajar. Se garantiza a cada operador un número mínimo de horas de trabajo a la semana que lo manten- drán con un conocimiento adecuado de la operación. Este nivel se estableció de modo arbitrario en 8 horas por semana para pregrado (A, B, C, D) y 7 horas por semana para posgrado (F, G). El centro de cómputo debe abrir de 8 a.m. a 10 p.m. de lunes a viernes con un operador de guardia en este horario. Sábados y domingos, lo operan otras personas. Debido al presupuesto reducido, el director del centro tiene que minimizar el costo. Por lo tanto, quiere determinar el número de horas que debe asignar a cada operador cada día. Formule un pro- blema de optimización que oriente al director en la toma de decisiones en esta situación. De una descripción cualitativa de cada uno de los elementos del problema.
- En una guardería intentan decidir qué dar a los niños de almuerzo. Desean mantener sus costos bajos, pero también deben cumplir con los requerimientos nutritivos de los niños. Ya decidieron darles sándwiches de mantequilla de maní y mermelada y alguna combinación de galletas, leche y jugo de naranja. El contenido nutritivo de cada alimento y su costo se presenta en la siguiente tabla:
Ingredientes Calorías de grasa
Calorías totales
Vitamina C (mg)
Proteina (g)
Costo ($) Pan (1 rebanada) 10 70 0 3 5 Mantequilla de maní (1 cuch.)
Mermelada de fresa (1 cuch.)
Galleta (1 pieza) 20 60 0 1 8 Leche (1 taza) 70 150 2 8 15 Jugo (1 taza) 0 100 120 1 35
Los requerimientos nutritivos son los siguientes. Cada niño debe recibir de 400 a 600 calorías. No más de 30 % de las calorías totales deben provenir de grasas. Cada niño debe consumir al menos 60 mg de vitamina C y 12 g de proteína. Todavía más, por razones prácticas, cada niño necesita 2 rebanadas de pan (para un sándwich), al menos el doble de mantequilla de maní que de mermelada y al menos una tasa de líquido (leche y/o jugo de naranja). Formule un problema de optimización que le permita a la administración de la guarderia seleccionar las opciones de alimento para cada niño que minimice el costo mientras cumple con los requerimien-
tos establecidos. Escriba el problema en la forma matricial
optimizar x
Z = cT^ x
s.a. Ax ⩾ b
x ⩾ 0
y de una descripción cualitativa de cada uno de los elementos del problema.
- Un banco trata de determinar su portafolio de inversiones para el próximo año. Actualmente dis- pone de $ 500000 USD para invertir en bonos, préstamos hipotecarios, préstamos para compra de automóviles y préstamos personales. La tasa de rendimiento anual para cada inversión resulta ser 10 % para bonos, 16 % para préstamos hipotecarios, 13 % para préstamos para compra de automóviles y 20 % para préstamos personales Para asegurar que la cartera del banco no sea demasiado arriesgada, el gerente de inversiones del banco ha puesto las siguientes 3 restricciones de cartera:
i. La cantidad invertida en préstamos personales no puede ser mayor que la invertida en bonos.
ii. La cantidad invertida en préstamos hipotecarios no puede ser mayor que la invertida en préstamos para automóviles.
iii. No puede invertirse más del 25 % de la cantidad total invertida en préstamos personales.
Formule un problema de optimización que le permita al banco maximizar el rendimiento anual de su cartera de inversión. Escriba el problema en la forma matricial
optimizar x
Z = cT^ x
s.a. Ax ⩽ b
x ⩾ 0
y de una descripción cualitativa de cada uno de los elementos del problema.
- Alfredo tiene $ 2200 USD para invertir durante los próximos cinco años. Al principio de cada año puede invertir su dinero en depósitos a plazo fijo de 1 o 2 años. El banco paga 8 % de interés en depósitos a plazo fijo de 1 año y el 17 % (total) en depósitos a plazo fijo de 2 años. Además, al principio del segundo año, una reconocida comisionista de bolsa ofrecerá certificados a 3 años. Estos certificados tendrán una ganancia del 27 % (total). Si Alfredo reinvierte su dinero disponible cada año, formule un problema de optimización que le diga a Alfredo cómo maximizar su ganancia total al final del quinto año teniendo en cuenta la ecuación de balance de inventario: lo que se invierte al inicio del año es lo que se recoge al final del año anterior. De una descripción cualitativa de cada uno de los elementos del problema.
- La cooperativa de ahorro y crédito de los empleados de la universidad estatal planea asignar los fondos para el año próximo. La cooperativa hace cuatro tipos de préstamos a sus miembros. Además, la invierte en valores sin riesgo para estabilizar los ingresos. Las diversas inversiones que producen ingresos junto con sus tasas de rendimiento anuales son las siguientes:
a. Formule un problema de optimización para determinar la cantidad de efectivo mínimo necesario para financiar los pagos anuales. De una descripción cualitativa de cada uno de los elementos del problema.
b. Suponga que los pagos anuales se harán al final de cada año. Vuelva a formular el modelo para tomar en cuenta este cambio.
