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60 + CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN USO DE COMPUTADORAS - Algunos sistemas algebraicos de computación como Mathematica y Maple permiten obtener soluciones implícitas o explícitas para algunos tipos de ecuaciones diferenciales, usando la instrucción dsolve.* COMENTARIOS se dice que es homogénea cuando Por ejemplo, la ED lineal de se- a ver en este ejem- an perso solución trivial orden es no lineal en una variable la ecuación diferencial . Usted debería comprobar que el factor por partes se obtiene la solución ex- segunda ecuación. Esta expresión es, ecuación. mo propias algunas palabras de ingeniería . La palabra transitorio, que ya hemos álisis ocasionalmente se presenta- fen la ecuación (2) es la función n y(x) de la ecuación diferencial para ido en relación con la función error 1! y a la integral seno de Fresnel ejercicios 2.3. “Funciones especia- te bien definidas. En la sección 6.3 *Ciertas instrucciones se deletrean igual, pero las instrucciones en Mathematica inician con una letra mayúscula (Dsolve) mientras que en Maple la misma instrucción comienza con una letra minúscula (dsolve). Cuando analizamos la sintaxis de las instrucciones, nos comprometimos y escribimos, por ejemplo dsolve. Ej EJERCICIOS 2.3 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-2. En los problemas 1 a 24 determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Indique el intervalo / más largo en el que está definida la solución general. Determine si hay al- gunos términos transitorios en la solución general. 5. y +3ny=x? 7. Py +xy=1 6. y +2xy=x 8. y=2+02+5 d 9. x2 - y=x2senx 10. Doy =3 lx dx d 2 sy 2 t2y=0 mm * * Ma tm May dy dy 3 ye 4. 377 2y=4 13. y ++ Dy=e* 14. xy' + (1 +x)y = e *sen2x 15. y dx— 4x + y) dy=0 16. y dx = (ye? — 2x) dy d 17. cosx 2 + (sen )y =1 dx di 18. cos?x sen e + (cosx)y = 1 19. +12 + (+ 2Dy = 20 dx dy 20. (1 +22 =5- 8y — 4xy dx dr + = 21. 20 rsec 8 = cos O P a Prrp=p+4-2 di d 23.12 + (Gr+ y=e"* dx 24, Coya 1y dx En los problemas 25 a 30 resuelva el problema con valores ini- ciales. Indique el intervalo 7 más largo en el que está definida la solución. By +y=e, (1)=2 dx 26. y=-x=2% 1M=5 dy di 27. 15 +Ri=E, 1(0)= ip, L,R, Ee i, constantes dT BB. tp O Td; TO) = To, k, T,, y T, constantes dy 29. (x+ 1) +y=Inx y()=10 dx 30. y' + (tan x)y = cos*x, y(0)=-—1 En los problemas 31 a 34 proceda como en el ejemplo 6 para resolver el problema con valores iniciales dado. Utilice un pro- grama de graficación para trazar la función continua y(x). 31. 2 + 2y = f(x), y(0) = 0, donde 1 0=x33 100 =( x1>3 32. 2 + y = f(x), y(0) = 1, donde 1 0O=x=1l =1, x>1 fm = ( 2.3 ECUACIONES LINEALES . 61 33. E + 2xy = f(x), y(0) = 2, donde f= le 34. (1+1) 2 + 2xy = f(x), y(0) = 0, donde 0=x<1 x=1 x, 0sx<1 fa= E, 1 35. Proceda en una forma similar al ejemplo 6 para resolver el pro- blema con valores iniciales y” + P(x)y = 4x, y(0) = 3, donde m=(a, 0 -2/x, x>1 Utilice un programa de graficación para para trazar la grá- fica de la función continua y(x). 36. Considere el problema con valores iniciales y” + ey = f(x), y(0) = 1. Exprese la solución del PVI para x > 0 como una integral no elemental cuando f(x) = 1. ¿Cuál es la solución cuando f(x) = 0? ¿Y cuándo f(x) = e*? 37. Exprese la solución del problema con valores iniciales y'-2xy = 1, y(1) = 1, en términos de erf(x). Problemas para analizar 38. Lea nuevamente el análisis siguiente al ejemplo 2. Cons- truya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones no constantes tienden a la asíntota horizontal y = 4 conforme x — 0, 39. Lea nuevamente el ejemplo 3 y después analice, usando el teorema 1.2.1, la existencia y unicidad de una solución del problema con valores iniciales que consiste en xy” - 4y = e* y de la condición inicial dada. 2) yO0)=0 b) y(0)=y,»,>0 €) yx) = Y x,>0,y,>0 40. Lea nuevamente el ejemplo 4 y después determine la solu- ción general de la ecuación diferencial en el intervalo (—3, 3). 41. Lea nuevamente el análisis siguiente al ejemplo 5. Construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones son asintóticas a la recta y = 3x — 5 conforme x —> oo, 42. Lea nuevamente el ejemplo 6 y después analice por qué es técnicamente incorrecto decir que la función en (13) es una “solución” del PVI en el intervalo [0,
0 En los problemas 11 a 14 resuelva el problema con valores iniciales dado. d 1 2 dx nn (+ pi =x» yED=1 y 13. (1 + ye”) dx— xeY*dy=0, y1)=0 14. ydx+x(nx—Iny-D)dy=0, yD)=e Cada una de las ED de los problemas 15 a 22 es una ecuación de Bernoulli. En los problemas 15 a 20 resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución adecuada. dy 1 dy 5.12 +y=>3 LL ye ES y 16 dx ? dy dy 7. 2 = 3 AZ (ny > 1 a ya 1) 18 sd (1 +xy=xy Dir D- > E o E) En los problemas 21 y 22 resuelva el problema con valores iniciales dado. d 21. 22 -21y=3y ya)=! dx 22. 2 +y”=1, y(0)=4 Cada una de las ED de los problemas 23 a 30 es de la forma dada en la ecuación (5). En los problemas 23 a 28 resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución adecuada. dy dy_1>x-y . —= (a+ y + 1? 24. = de E FYFD dx x+y dy 2 dy . + . == + 25. de tan(x + y) 26. Zi sen(x + y) nm %-2+ Vy-2x+3 2, Dojos dx dx En los problemas 29 y 30 resuelva el problema con valores iniciales dado. d 29. Y =cos(x + y), y(0) = 7/4 dx dy 342 0 DL IB y dx 3x+2y+2 Problemas para analizar 31. Explique por qué es posible expresar cualquier ecuación di- ferencial homogénea M(x, y) dx + N(x, y) dy = O en la forma 2) 2=F(*) dx x Podría comenzar por demostrar que My =xXM(L y) y Ny =xYN(,y/x). 32. Ponga la ecuación diferencial homogénea (51? — 2y?) dx — xy dy =0 en la forma dada en el problema 31. 33. a) Determine dos soluciones singulares de la ED en el problema 10. b) Sila condición inicial y(5) = O es como se indicó para el problema 10, entonces ¿cuál es el intervalo / de de- finición más grande en el cual está definida la solu- ción? Utilice un programa de graficación para obtener la gráfica de la curva solución para el PVI. 34. En el ejemplo 3 la solución y(x) es no acotada conforme x > too, Sin embargo, y(x) es asintótica a una curva con- forme x —> —x y a una diferente curva conforme x > %, ¿Cuáles son las ecuaciones de estas curvas? 35. La ecuación diferencial dy/dx = P(x) + OO) y + R(o)y? se conoce como la ecuación de Riccati. a) Una ecuación de Riccati se puede resolver por dos sustituciones consecutivas, siempre y cuando conoz- 7] ejercicios 3.1 3.1 MODELOS LINEALES . 89 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-3. Crecimiento y decrecimiento 1 sn 10. Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo ?. Si la población inicial P,, se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es de 10 000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial P,? ¿Cuál será la población en 10 años? ¿Queé tan rápido está creciendo la población en t = 10? La población de un pueblo crece con una razón propor- cional a la población en el tiempo +. La población inicial de 500 aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la po- blación en t = 30? La población de bacterias en un cultivo crece a una razón proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo 1. Después de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Después de 10 horas hay 2 000 bacterias pre- sentes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? El isótopo radiactivo del plomo Pb-209, decae con una razón proporcional a la cantidad presente al tiempo 1 y tiene un vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%? Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia ra- diactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si la razón de decaimiento, en cualquier momento, es propor- cional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo ?, determine la cantidad que queda después de 24 horas. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del pro- blema 6. a) El problema con valores iniciales dA/dt = kA, A(0) = A, es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, la vida media 7 de la sustancia es T = —(In 2)/k. b) Demuestre que la solución del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A(t) = A2". o €) Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada en el inciso a), ¿cuánto tiempo le tomará a una canti- dad inicial A, de sustancia decaer a ¿ A? |. Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio trans- parente, la razón con que decrece su intensidad / es pro- porcional a 1(+), donde + representa el espesor, en pies, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 3 pies de- bajo de la superficie es 25% de la intensidad inicial 1, del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies debajo de la superficie? Cuando el interés es compuesto continuamente, la can- tidad de dinero aumenta con una razón proporcional a la cantidad presente S al tiempo 1, es decir, dS/dt = 5, donde res la razón de interés anual. a) Calcule la cantidad reunida al final de 5 años cuando se depositan $5 000 en una cuenta de ahorro que rinde el 53% de interés anual compuesto continuamente. b) ¿En cuántos años se habrá duplicado el capital inicial? €) Utilice una calculadora para comparar la cantidad ob- tenida en el inciso a) con la cantidad S = 5000(1 + 1(0.0575))*% que se reúne cuando el interés se com- pone trimestralmente. Datado con carbono 11. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal, encontradas en el lugar para datar pintu- ras prehistóricas de paredes y techos de una caverna en Lascaux, Francia. Vea la figura 3.1.8. Utilice la informa- ción de la página 84 para precisar la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determinó que 85.5% de su C-14 encontrado en los árboles vivos del mismo tipo se había desintegrado. “O PrehistoricTne Eridgeman Art Library/Gstty Images FIGURA 3.1.8 — Pintura en una pared de la cavema del problema 11. D. El sudario de Turín muestra el negativo de la imagen del cuerpo de un hombre que parece que fue crucificado, mu- chas personas creen que es el sudario del entierro de Jesús de Nazaret. Vea la figura 3.1.9. En 1988 el Vaticano con- cedió permiso para datar con carbono el sudario. Tres la- boratorios científicos independientes analizaron el paño y concluyeron que el sudario tenía una antigiiedad de 660 años,* una antigiiedad consistente con su aparición histó- O Betimann/CORBIS FIGURA 3.1.9 Imagen del sudario del problema 12. “Algunos eruditos no están de acuerdo con este hallazgo. Para más información de este fascinante misterio vea la página del Sudario de Turín en la página http.//www.shroud.com muera tiene | de sal por galón que entra al tanque a razón de 6 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque a razón de 4 gal/min. Determine la cantidad de libras de sal que hay en el tanque después de 30 minutos. . En el ejemplo 5, no se dio el tamaño del tanque que tiene la solución salina. Suponga, como en el análisis siguiente al ejemplo 5, que la razón con que entra la solución al tan- que es de 3 gal/min pero que la solución bien mezclada sale del tanque a razón de 2 gal/min. Esta es la razón por la cual la salmuera se está acumulando en el tanque a razón de 1 gal/min, cualquier tanque de tamaño finito ter- minará derramándose. Ahora suponga que el tanque está destapado y tiene una capacidad de 400 galones. a) ¿Cuándo se derramará el tanque? b) ¿Cuántas libras de sal habrá en el tanque cuando co- mienza a derramarse? e) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera continúa entrando a razón de 3 gal/min, que la solu- ción está bien mezclada y que la solución sigue sa- liendo a razón de 2 gal/min. Determine un método para encontrar la cantidad de libras de sal que hay en el tanque al tiempo 1 = 150 min. d) Calcule la cantidad de libras de sal en el tanque con- forme t > vo, ¿Su respuesta coincide con su intuición? e) Utilice un programa de graficación para trazar la grá- fica de A(1) en el intervalo [0, 500). Circuitos en serie 29. 30. 31. 32. 33. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente ¡(1), si (0) = O. Determine la corriente conforme t => 0, Resuelva la ecuación (7) suponiendo que E(t) = E, sen wt y que (0) = i,. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un cir- cuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de 10”* farads. Determine la carga (1) del capacitor, si g(0) = 0. Encuentre la corriente ¡(1). Se aplica una fuerza electromotriz de 200 V a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5 X 107* farads. Determine la carga g(t) en el capacitor, si ¡(0) = 0.4 amperes. Determine la carga y la corriente en 1 = 0.005 s. Encuentre la carga conforme f => 00, Se aplica una fuerza electromotriz E) = 120, 0=1t=20 0, 1>20 a un circuito en serie LR en el que la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohms. Determine la co- rriente ¡(1), si (0) = 0. 34, 3.1 MODELOS LINEALES . 91 Suponga que un circuito en serie RC tiene un resistor va- riable. Si la resistencia al tiempo 1 está dada por R = k, + kit, donde k, y k, son constantes positivas, entonces la ecuación (9) se convierte en dq 1 + la) E + q = El. (k, + Ka1) apta El) Si E(1) = E, y q(0) = q, donde E, y q, son constantes, muestre que Ka UCk, q) = ESC + (90 — sol E 2) : Modelos lineales adicionales 35. 36. Resistencia del aire En la ecuación (14) de la sección 1.3 vimos una ecuación diferencial que describe la velo- cidad v de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es m—=mg — kv, dt 13 donde k > 0 es una constante de proporcionalidad. La dirección positiva se toma hacia abajo. a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v(0) = Y. b) Utilice la solución del inciso a) para determinar la velocidad límite o terminal de la masa. Vimos cómo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.1. e) Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por ds/dt = v(t), determine una expresión explícita para s(0), si s(0) =0. ¿Qué tan alto? (Sin resistencia del aire) Suponga que una pequeña bala de cañón que pesa 16 libras se dispara verticalmente hacia arriba, como se muestra en la figura 3.1.10, con una velocidad inicial de v, = 300 pies/s. La res- puesta a la pregunta “¿Qué tanto sube la bala de cañón?”, depende de si se considera la resistencia del aire. a) Suponga que se desprecia la resistencia del aire. Si la dirección es positiva hacia arriba, entonces un modelo para la bala del cañón está dado por d?s/dt? = —g (ecuación (12) de la sección 1.3). Puesto que ds/dt = v(t) la última ecuación diferencial es la nivel del suelo $ FIGURA 3.1.10 Determinación de la altura máxima de la bala de cañón del problema 36. 92 37. 38. 39, . CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN misma que la ecuación dv/dt = —g, donde se toma g = 32 pies/s”. Encuentre la velocidad v(1) de la bala de cañón al tiempo 1. b) Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura s(1) de la bala de cañón medida desde el nivel del suelo. Determine la altura máxima que alcanza la bala. ¿Qué tan alto? (Resistencia lineal del aire) Repita el problema 36, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. Esta es la razón por la que la altura máxima que alcanza la bala del cañón debe ser menor que la del inciso b) del pro- blema 36. Demuestre esto suponiendo que la constante de proporcionalidad es k = 0.0025. [Sugerencia: Modifique ligeramente la ED del problema 35.] Paracaidismo Una paracaidista pesa 125 libras y su paracaídas y equipo juntos pesan otras 35 libras. Después de saltar del avión desde una altura de 15 000 pies, la paracaidista espera 15 segundos y abre su paracaídas. Suponga que la constante de proporcionalidad del mo- delo del problema 35 tiene el valor k = 0.5 durante la caída libre y k = 10 después de que se abrió el paracaí- das. Suponga que su velocidad inicial al saltar del avión es igual a cero. ¿Cuál es la velocidad de la paracaidista y qué distancia ha recorrido después de 20 segundos de que saltó del avión? Vea la figura 3.1.11. ¿Cómo se com- para la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal? ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? [Sugerencia: Piense en función de dos diferentes PVI.] caída libre la resistencia del $ ag aire es 0,5v == | el paracaídas la resistencia del se abre aire es 10 y FIGURA 3.1.11 Cálculo del tiempo que tarda en llegar al suelo del problema 38. Evaporación de una gota de lluvia Cuando cae una gota de lluvia, ésta se evapora mientras conserva su forma esfé- rica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su área superficial y que se desprecia la resistencia del aire, enton- ces un modelo para la velocidad v(1) de la gota de lluvia es dy + 3(k/p) di (klpjt + ro Aquí p es la densidad del agua, r,, es el radio de la gota de lluvia en t = 0, k< O es la constante de proporcionalidad y la dirección hacia abajo se considera positiva. 40. 41 42. a) Determine ví) si la gota de lluvia cae a partir del re- poso. b) Vuelva a leer el problema 34 de los ejercicios 1.3 y demuestre que el radio de la gota de lluvia en el tiempo tes r(1) = (k/p) + Ty. €) Si r, = 0.01 pies y r = 0.007 pies, 10 segundos des- pués de que la gota cae desde una nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por completo. Población fluctuante La ecuación diferencial dP/dt = (k cos 1)P, donde k es una constante positiva, es un modelo matemático para una población P(t) que experimenta fluc- tuaciones anuales. Resuelva la ecuación sujeta a P(0) = P,, Utilice un programa de graficación para trazar la gráfica de la solución para diferentes elecciones de P,,. Modelo poblacional En un modelo del cambio de po- blación de P(t) de una comunidad, se supone que dP_dB_dD dad dr donde dB/dt y dD/dt son las tasas de natalidad y mortan- dad, respectivamente. a) Determine P(t) si dB/dt = k,P y dD/dt = k,P. b) Analice los casos k, > k,, k, = k, y k, < k,. Modelo de cosecha constante Un modelo que describe la población de una pesquería en la que se cosecha con una razón constante está dada por —=kP=h, di donde k y h son constantes positivas. a) Resuelva la ED sujeta a P(0) = P,, b) Describa el comportamiento de la población P(t) conforme pasa el tiempo en los tres casos P, > h/k, P,=h/ky0 0 tal que P(T) = 0. Si la población desaparecerá, entonces deter- mine en qué tiempo 7. . Propagación de una medicina Un modelo matemático para la razón con la que se propaga una medicina en el torrente sanguíneo está dado por dx =—=r- kx, ar” donde r y k son constantes positivas. Sea x(£) la función que describe la concentración de la medicina en el to- rrente sanguíneo al tiempo £. a) Ya que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el valor de x(1) conforme t — oo, 94 b) c) d) CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN En el caso en que hay fricción (u + 0) pero no hay resistencia del aire, explique por qué la caja no se desliza hacia abajo comenzando desde el reposo desde el punto más alto arriba del suelo cuando el ángulo de inclinación O satisface a tan O = p. La caja se deslizará hacia abajo del plano con- forme tan O = y si a ésta se le proporciona una velocidad inicial v(0) = v, > 0. Suponga que H = V3/4 y 0 = 23?. Compruebe que tan 0 < y. ¿Qué distancia se deslizará hacia abajo del plano si y, = 1 pie/s? Utilice los valores 4 = V3/4 y 0 = 23? para aproxi- mar la menor velocidad inicial v, que puede tener la caja, para que a partir del reposo a 50 pies arriba del suelo, se deslice por todo el plano inclinado. Después encuentre el tiempo que tarda en deslizarse el plano. 48. Qué sube...a) Es bien conocido que el modelo que b) desprecia la resistencia del aire, inciso a) del pro- blema 36, predice que el tiempo 1, que tarda la bala de cañón en alcanzar su altura máxima es el mismo tiempo £, que tarda la bala de cañón en llegar al suelo. Además la magnitud de la velocidad de impacto v, es igual a la velocidad inicial v, de la bala de cañón. Compruebe ambos resultados. Después, utilizando el modelo del problema 37 que considera la resistencia del aire, compare el valor de 1, con £, y el valor de la magnitud de v, con v,. Aquí puede ser útil un programa para determinar raíces con un SAC (o una calculadora graficadora). MY 3.2 MODELOS NO LINEALES FIGURA 3.2.1 La suposición más simple para f(P) es una recta (color azul). REPASO DE MATERIAL + Ecuaciones (5), (6) y (10) de la sección 1.3 y problemas 7, 8, 13, 14 y 17 de los ejercicios 1.3. + Separación de variables de la sección 2.2. INTRODUCCIÓN — Terminamos nuestro estudio de ecuaciones diferenciales de primer orden sim- ples con el análisis de algunos modelos no lineales. DINÁMICA POBLACIONAL — Si P(t) es el tamaño de una población al tiempo *, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dP/dt = kP para cierta k > 0. En este modelo, la tasa específica o relativa de crecimiento, definida por dP/dt E 0) es una constante k. Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento de la población. Por lo que para otros modelos, se puede esperar que la razón (1) decrezca conforme la población P aumenta de tamaño. La hipótesis de que la tasa con que crece (o decrece) una población sólo depende del número presente P y no de mecanismos dependientes del tiempo, tales como los fenóme- nos estacionales (vea el problema 18, en los ejercicios 1.3), se puede enunciar como: LA — sp) o dP — = Pf(P). 2 a PFP) Q) Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos de población de anima- les, se llama hipótesis de dependencia de densidad. ECUACIÓN LOGÍSTICA Supóngase que un medio ambiente es capaz de sostener, como máximo, una cantidad K determinada de individuos en una población. La cantidad K se llama capacidad de sustento del ambiente. Así para la función fen la ecuación (2) se tiene que f(K) = 0 y simplemente hacemos f(0) = r. En la figura 3.2.1 vemos tres funcio- nes que satisfacen estas dos condiciones. La hipótesis más sencilla es que f(P) es lineal, es decir, f(P) = c,P + c,. Si aplicamos las condiciones f(0) = r y f(K) = 0, tenemos RES-2 +. 1. 13. 15. 19. 23. 27. 31. 33. 35. 37. 41. 49. 4cos y = 2x + sen2x +c (+14 20 +1)=cC ; S= cet 7. P= 1+ce NS E) eur x= tan(41 — 3) 28, y == y= hr BV 9 y eli 3 3404! y = —1 y y = 1 son soluciones singulares del problema 21; y = 0 del problema 22 y=1 y =1 +5 tan(55x) a) y=-VÉ+x-1 y) = (4h/12x? + a a) y=2y=-2,y=2 EJERCICIOS 2.3 (PÁGINA 60) Ly do ¿+ze*r, . y = » Y . y =ce%, (0,00) y = 1% + ce”, (0, 00); ce”* es transitoria y =3 + ce””, (00, 00); ce"" es transitoria . y =x7! In x + cx”!, (0, 00); la solución es transitoria |. y = cx — xcos x, (0, 00) y = Le — La + cx, (0, 00); cx7* es transitoria . y =3a72e + exe”, (0, 00); cx?e”* es transitoria . x= 2y% + cy*, (0, 0) . y =senx + ccos x, (—71/2, 1/2) . («+ Dery = x? + c, (—1, 0%); la solución es transitoria + (sec O + tan 0)r = 0 — cos 0 +c,(—7r/2, 7/2) . y = e + cxle 7%, (0, 00); la solución es transitoria . y =x lex + (2 eJx7!, (0, 00) E cin (y Ben co R . (1+ Dy=xInx—x + 21, (0, 00) 11 -e?), cl e) 0=3 0=sx<1 AS 2x-1+4e >, 0=1 . y = 141 V me" (orto) — ef) . E(t) = Eg ooo RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR EJERCICIOS 2.4 (PÁGINA 68) Leti yc 3 5. y —-3x+4y=cC 7. 9. xy + yicosx=j2=c 11. no exacta 13. xy — 2xe* + 2e* — 2x1? =c 15. y? — tan 3x=c 17. —In|cos x| + cos x sen y = c 19. y -584-ty+y=c MO y 2 23. 4ry + P —-St+3y-y=8 25. y?senx—x*y—+yIlny-y=0 27. k=10 29. x?y? cos x= 3Ly+ x= 33. 3yY +y*=0 35, 2y AR 37. (2 +4)=20 39.0) »y0)=-2-vVé-=4+4 na) =-2+ Vé= +4 9 45. 2) v)=8, A =D) 127piesfs EJERCICIOS 2.5 (PÁGINA 74) no exacta 1. y + xIn|x| = cx . 6 y)lnlx — y] =y +c(r— y) . x + yln]x] = cy 3. 5 7. In? + y?) +2 tan (9/0) =c 9. 4x= y(Inly| — c)? 11. y? + 3x1 In|x| = 8x? 3. In|x| = ex 1 15. y=1+07? 17. y?=x+i Hee 19, e =ct A. y? = 11 + 210 23. y =-x-—1+tan(x+c) 25. 2y —2x + sen2(x + y)=0 27. Ay -2x+3)=(x +0) 29. —cot(x + y) + esc(x + y) =x + V2—1 35. b) y= 2 + (lx + ar)! EJERCICIOS 2.6 (PÁGINA 79) 1. y, = 2.9800, y,=3.1151 3. yy = 2.5937, y, = 2.6533; y = e* 5. y, = 0.4198, y, = 0.4124 7. y, =0.5639, y, = 0.5565 9. y, = 1.2194, y, = 1.2696 13, Euler: y, = 3.8191, y,y = 5.9363 RK4: y, = 42.931, yy = 84.0132 04 4xy- 2 =cC 
