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Nombres: Mauricio Javier 09 de mayo del
Apellidos: Ayala Sánchez
Desarrollo de la Actividad
ESTADÍSTICA
UNIDAD 1: SECCIÓN 4
Distribución Binomial
- Una empresa productora de cereales ofrece un juguete en cada sexto paquete de cereales para
celebrar su 50 aniversario. Un padre compra inmediatamente 20 paquetes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 4 juguetes en los 20 paquetes?
Resolviendo:
n = 20; x = 4; p = 1/
n
x
ƒ(x) = 4845 ൬
ସ
ଶିସ
ƒ(x) = 0,2022 ∗ 100 = 20,22%
Respuesta: La probabilidad de encontrar 4 juguetes en los 20 paquetes es de 20,22%.
b) ¿Cuál es la probabilidad de no encontrar algún juguete?
Resolviendo:
n = 20; x = 0; p = 1/
n
x
ƒ(x) = 1 ൬
ଶି
ƒ
x
Respuesta: La probabilidad de no encontrar algún juguete es de 2,61%.
- Félix afirma que puede disƟnguir una mezcla de café recién molido de un café de supermercado
común. Uno de sus amigos le pide que pruebe 10 tazas de café y le diga qué café ha probado.
Supongamos que Félix no Ɵene ni idea sobre el café y simplemente adivina la marca. ¿Cuál es la
probabilidad de al menos 8 aciertos?
Nombres: Mauricio Javier 09 de mayo del
Apellidos: Ayala Sánchez
Resolviendo:
n = 10; p = 1/2; para x = 8.
n
x
n
x
n
x
ƒ( 8 ) = 45 ൬
଼
ଵି଼
ƒ( 9 ) = 10 ൬
ଽ
ଵିଽ
ƒ
ଵ
ଵିଵ
ƒ
x ≥ 8
= ƒ
ƒ(x ≥ 8) = 0,0439 + 0,0097 + 0,
ƒ(x ≥ 8) = 0,05457 ∗ 100 = 5,46%
Respuesta: La probabilidad de que Félix acierte al menos 8 veces es de 5,46%.
- ¿Cuál es la probabilidad de tener al menos 6 caras cuando se lanza una moneda 10 veces?
Resolviendo:
n = 10; p = 0,5; para x = {6, 7, 8, 9, 10}.
p(x) = ( )p
୶
(1 − p)
୬ି୶
୶
୬
p
ଵି
ଵ
p( 7 ) = ( )0,
ଵି
ଵ
p( 8 ) = ( )0,
଼
ଵି଼
଼
ଵ
p( 9 ) = ( )0,
ଽ
ଵିଽ
ଽ
ଵ
p( 10 ) = ( )0,
ଵ
ଵିଵ
ଵ
ଵ
P(X ≥ 6) = 0,2051 + 0,1172 + 0,004395 + 0,009766 + 0,
P(X ≥ 6) = 0,37699 ∗ 100 = 37,69%
Respuesta: La probabilidad de tener al menos 6 caras cuando se lanza una moneda 10 veces es de
Nombres: Mauricio Javier 09 de mayo del
Apellidos: Ayala Sánchez
p4 = ( )
ଵ
ଶ
ଵ
ଵ
p5 = ( )
ଵ
ଵ
ଵ
P = p1 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p5 = 0,
P = 0,0384 ∗ 100 = 3,84%
Respuesta: La probabilidad de que exactamente uno se baje en cada uno de los 5 pisos es de 3,84%.
- En una determinada locación, el 70% está en contra de reabrir los casinos. Si se seleccionan 15
personas al azar, determine:
a) La probabilidad de que exactamente 10 personas estén opuestas a reabrir los casinos.
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 15, 𝑝 = 0,7)
P(10) = 0,
b) La probabilidad de que exactamente 4 personas se opongan a reabrir los casinos.
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 15, 𝑝 = 0,7)
P(4) = 0,
c) La probabilidad de que 10 o más personas se opongan a reabrir los casinos.
Respuesta: 𝑃(10) + 𝑃(11) + 𝑃(12) + 𝑃(13) + 𝑃(14) + 𝑃(15) = 0,
d) La probabilidad de que menos de 14 personas se opongan a reabrir los casinos.
Respuesta: 1 − 𝑃(14) + 𝑃(15) = 0,
- De acuerdo con un pediatra el 10% de sus pacientes padecen alguna alergia. Si se seleccionan al azar
120 de los pacientes de este pediatra. Determine:
a) la probabilidad que más de 12 pacientes tengan alguna alergia.
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 120, 𝑝 = 0,1)
P(x > 12) = 1 − ( )
୩
୬
p
୩
(1 − p)
୬ି୩
ଵଵ
୩ୀ
b) la probabilidad que a lo mucho 12 pacientes tengan alguna alergia.
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 120, 𝑝 = 0,1)
P
x ≤ 12
୩
୬
p
୩
1 − p
୬ି୩
ଵଶ
୩ୀ
c) la probabilidad que entre 5 y 15 pacientes tengan alguna alergia
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 120, 𝑝 = 0,1)
Nombres: Mauricio Javier 09 de mayo del
Apellidos: Ayala Sánchez
P
5 ≤ x ≤ 15
୩
୬
p
୩
1 − p
୬ି୩
୩
୬
p
୩
1 − p
୬ି୩
ସ
୩ୀ
ଵହ
୩ୀ
P
5 ≤ x ≤ 15
- Dos tenistas A y B bastante igualados Ɵenen una probabilidad de ganar de 0,45 y 0,55,
respecƟvamente. ¿Debería A jugar con B 2 de 3 o 3 de 5? En general, ¿Cuál es la mejor estrategia a
adoptar cuando se ve obligado a enfrentarse a un oponente superior?
Para determinar una respuesta, podemos analizar cada situación:
2 de 3:
A gana el primer parƟdo: P=0.
B gana el primer parƟdo: P=0.
Si A gana el primer parƟdo, solo necesita ganar un parƟdo más para ganar el juego completo. Esto
Ɵene una probabilidad de 1. Si B gana el primer parƟdo, A necesita ganar dos parƟdos consecuƟvos
para ganar el juego completo. La probabilidad de esto es:
A gana 2 de 3:
3 de 5:
A gana un parƟdo: P=0.
B gana un parƟdo: P=0.
Para que el jugador A gane 3 de 5, necesita ganar tres parƟdos antes de que B gane tres. Hay varias
formas en que esto puede suceder:
A gana los primeros tres parƟdos:
ଷ
A gana los dos primeros parƟdos y el tercer parƟdo:
ଶ
A gana el primer parƟdo, pierde el segundo y gana los dos siguientes:
ଶ
Probabilidad total de que A gane 3 de 5:
Nombres: Mauricio Javier 09 de mayo del
Apellidos: Ayala Sánchez
P(x ≤ 7) = ( )
୩
୬
p
୩
(1 − p)
୬ି୩
୩ୀ
- Un fabricante sabe que 1 de cada 10 de sus productos es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que
en una muestra de 5 productos
a) no existan productos defectuosos?
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 5, 𝑝 = 0,1)
P
x = 0
ହ
ହି
b) exista 1 producto defectuoso?
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 5, 𝑝 = 0,1)
P(x = 1) = ( )
ଵ
ହ
ଵ
ହିଵ
c) existan al menos 2 defectuosos?
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 5, 𝑝 = 0,1)
P(x ≥ 2) = 1 − [P( 0 ) + P( 1 )] = 0,
d) no existan más de 3 productos defectuosos?
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 5, 𝑝 = 0,1)
P
x ≤ 3
୩
ହ
୩
ହି୩
ଷ
୩ୀ
- Un fabricante de pistones metálicos encuentra que, en promedio, el 12% de sus pistones son
rechazados porque son demasiado grandes o pequeños. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de 10
pistones contenga
a) no más de 2 rechazos?
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 10, 𝑝 = 0,12)
P
x ≤ 2
୩
ଵ
୩
ଵି୩
ଶ
୩ୀ
b) al menos 2 rechazos?
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 10, 𝑝 = 0,12)
P(x ≥ 2) = 1 − [P(0) + P(1)] = 0,
Nombres: Mauricio Javier 09 de mayo del
Apellidos: Ayala Sánchez
- La probabilidad de que un ciclista de montaña que viaja por una determinada pista sufra una explosión
de llanta es de 0,05. Encuentre la probabilidad de que entre 17 ciclistas:
a) exactamente uno tenga una explosión de llanta.
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 17, 𝑝 = 0,05)
P(x = 1) = ( )
ଵ
ଵ
ଵ
ଵିଵ
b) a lo mucho 3 tenga una explosión de llanta.
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 17, 𝑝 = 0,05)
P(x ≤ 3) = ( )
୩
ଵ
୩
ଵି୩
ଷ
୩ୀ
c) dos o más tengan una explosión de llanta.
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 17, 𝑝 = 0,05)
P(x ≥ 2) = 1 − [P(0) + P(1)] = 0,
- La probabilidad de que una máquina desarrolle una falla dentro de los primeros 3 años de uso es 0,003.
Si se seleccionan 40 máquinas al azar, calcule la probabilidad de que 38 o más no desarrollen fallas en
los primeros 3 años de uso.
Respuesta: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛 = 40, 𝑝 = 0,003)
P(x < 2) = P(0) + P(1) = 0,
Distribución Poisson
- En cierta Ɵenda ingresa un promedio de 10 clientes por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad que al menos 8 clientes ingresen durante una hora cualquiera?
Respuesta: UƟlizamos la función de probabilidad Poisson para una media de 10
clientes por hora.
ƒ
x
e
ିஜ
μ
୶
x!
P
x = 8
e
ି ଵ
୶
b) ¿Cuál es la probabilidad que 6 clientes ingresen durante una hora cualquiera?
Respuesta:
P(x = 6) =
e
ି ଵ
Nombres: Mauricio Javier 09 de mayo del
Apellidos: Ayala Sánchez
d) ¿Qué es más probable, exactamente 20 camiones que lleguen en 30 minutos, seguidos de
exactamente 20 camiones que lleguen en los próximos 30 minutos, o exactamente 40 camiones
que lleguen en una hora?
Respuesta: Que exactamente 40 camiones lleguen en una hora. Dado que el primer
evento, en el cual llegan 20 camiones en 30 minutos y luego otros 20 en 30 minutos,
es un subconjunto del segundo evento, donde llegan exactamente 40 camiones en 1
hora. La probabilidad del subconjunto no puede ser mayor a la probabilidad del
segundo evento.
- Suponga que se ha observado que, en promedio, 180 automóviles por hora pasan por un punto
específico de una carretera en parƟcular en la hora pico de la mañana. Debido a las obras viales
inminentes, se esƟma que la congesƟón ocurrirá más cerca del centro de la ciudad si más de 5 autos
pasan por el punto en cualquier minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca una congesƟón?
Respuesta: 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝜇 = 180/60 = 3)
P(x > 5) = 1 − P(x ≤ 5) = 1 −
e
ି ଷ
୩
k!
ହ
୩ୀ
- Suponga que la probabilidad de tener fiebre por la vacuna contra la gripe es de 0,005. Si se administra
la vacuna a 1000 personas, uƟlice la distribución de Poisson para aproximar la probabilidad de que
a) 1 persona sufra fiebre como resultado de la vacuna contra la gripe.
Respuesta: 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜇 = 1000 × 0,005 = 5)
P(x = 1) = 0,
b) más de 6 personas sufren fiebre como resultado de la vacuna contra la gripe.
Respuesta: 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜇 = 5)
P(x > 6) = 1 − P(x ≤ 6) = 1 −
e
ିହ
୩
k!
୩ୀ
- Las láminas de metal grandes Ɵenen fallas en posiciones aleatorias, pero en promedio Ɵenen 1 falla
por cada 10m
2
. ¿Cuál es la probabilidad de que una hoja de 5m×8m tenga como máximo una falla?
Respuesta: 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝜇 = 5 × 8 × 1/10=4)
Nombres: Mauricio Javier 09 de mayo del
Apellidos: Ayala Sánchez
P(x ≤ 1) =
e
ି ସ
୩
k!
ଵ
୩ୀ
- Una fábrica uƟliza herramientas de un Ɵpo parƟcular. De vez en cuando ocurren fallas en estas
herramientas y es necesario reemplazarlas. El número de tales fallas en un día Ɵene una distribución
de Poisson con una media de 1,25. Al comienzo de un día en parƟcular, hay cinco herramientas de
repuesto en stock. Una nueva entrega de reemplazos llegará después de cuatro días. Si los cinco
repuestos se uƟlizan antes de que llegue la nueva entrega, no se podrán realizar más reemplazos hasta
que llegue la entrega. Encuentre la probabilidad de que se requieran tres reemplazos durante los
próximos cuatro días
Respuesta: 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜇 = 1,25 × 4 = 5)
P(x = 3) =
e
ି ହ
ଷ
- El número de fallas que ocurren en una máquina de cierto Ɵpo en un año Ɵene una distribución de
Poisson con una media de 0,4. En una fábrica hay diez de estas máquinas. ¿Cuál es la probabilidad de
que haya menos de dos fallas en la fábrica en un año?
Respuesta: 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜇 = 0,4 × 10 = 4)
P
x < 2
= P
x ≤ 1
e
ି ସ
୩
k!
ଵ
୩ୀ
- En una universidad determinada, la probabilidad de que un miembro del personal esté ausente en
cualquier día es de 0,001. Si hay 800 miembros del personal, calcule las probabilidades de que el
número de ausentes en un día sea:
Fórmula: 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜇 = 800 × 0,001 = 0.8)
a) 6
P(x = 6) =
e
ି ,଼
b) 4
P(x = 4) =
e
ି ,଼
ସ
c) 2
Nombres: Mauricio Javier 09 de mayo del
Apellidos: Ayala Sánchez
P
x = 5
e
ି ସ
ହ
b) menos de 5?
P(x < 5) = P(X ≤ 4) =
e
ି ସ
୩
k!
ସ
ୀ
c) Si, después de que las luces cambian a verde, hay Ɵempo para despejar solo 5 vehículos antes de
que la señal cambie a rojo nuevamente, ¿Cuál es la probabilidad de que los vehículos en espera
no sean despejados en un ciclo?
P(x > 5) = 1 − P(X ≤ 5) = 1 −
e
ିସ
୩
k!
ହ
ୀ
- Las bacterias se distribuyen independientemente unas de otras en una solución y se sabe que el
número de bacterias por mililitro sigue una distribución de Poisson con una media de 2,9. Encuentre
la probabilidad de que una muestra de 1 ml de solución contenga
a) 0 bacterias
P
x = 0
e
ି ଶ ,ଽ
ହ
b) 1 bacteria
P(x = 0) =
e
ିଶ ,ଽ
ଵ
c) 2 bacterias
P(x = 0) =
e
ିଶ ,ଽ
ଶ
d) 3 bacterias
P(x = 0) =
e
ିଶ ,ଽ
ଷ
e) más de 3 bacterias
P(x > 3) = 1 − P(X ≤ 3) = 1 −
e
ି ଶ ,ଽ
୩
k!
ଷ
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Nombres: Mauricio Javier 09 de mayo del
Apellidos: Ayala Sánchez
Bibliografía
Universidad Politécnica Salesiana, Área de Conocimiento/Ciencias Exactas (2024). Distribuciones de
Probabilidad [Video Masterclass]. Obtenido de:
hƩps://avac.ups.edu.ec/presencial64/course/view.php?id=4716#secƟon-
Universidad Politécnica Salesiana, Área de Conocimiento/Ciencias Exactas (s.f). Unidad 1 - Probabilidades y
Distribución de Probabilidad [Archivo pdf]. Obtenido de:
hƩps://avac.ups.edu.ec/presencial64/course/view.php?id=4716#secƟon-
Universidad Politécnica Salesiana, Área de Conocimiento/Ciencias Exactas (s.f). Sección-1_4 - Probabilidades
y Distribución de Probabilidad [Archivo pptx]. Obtenido de:
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Vargas Pereira, P. (2020). Distribución de probabilidades. Obtenido de:
hƩp://repositorio.usam.ac.cr/xmlui/handle/11506/
