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Ejercicios de derivadas resueltos
Tipo: Apuntes
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Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ingeniería Colegio de Ingeniería Civil Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral Rojas Reyes Jesús Norberto Enero 30, 2021
Objetivo general Explicar las bases relevantes de las derivadas y las reglas para el cálculo de éstas. Objetivo específico Exponer conceptos y aplicaciones relacionados con las derivadas. Comprender los procedimientos concomitantes con las técnicas para hallar la derivada. Justificación Las derivadas aportan información concreta, directa y científica, con esos resultados, se interpreta y se ofrece información acerca de nuestra propia existencia y también son aplicadas en cosas tan habituales como el vuelo de un avión, el movimiento de un coche, la construcción de un edificio, de un contenedor o de muchos otros elementos que para nosotros son normales y que, sin embargo, sin estas no serían posibles.
f ' (2)= 2.2 = 4, f ' (3)= 2. 3 = 6 , f ' (4)= 2.4 = 8 , etc. Para la función y = x² , podemos decir que existe derivada en todos sus puntos, posteriormente se define la función derivada de y = x² como la función y' = 2 x. La derivada de una potencia entera positiva Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn- 1 , entonces: f(x)= x 5 f '(x)= 5x 4 La derivada de una constante por una función. Para derivar una constante por una función, es decir cf(x ) , su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x) , por ejemplo: f(x)= 3 x 5 f '(x)= 3(5x 4 ) = 15x 4 La derivada de una suma Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g' , es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces: f(x)= 2x 3 + x f '(x)= 6x 2 + 1
La derivada de un producto Aún no hemos dicho cuál es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es ( fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera". f(x)= (4x + 1)(10x 2 - 5) f '(x)= 20x(4x + 1) + 4 (10x 2 - 5) La derivada de un cociente Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente. f f 'g - fg' [ ]' = g g 2 Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado. 4x + 1 f(x) = 10x 2 - 5
f(x)= sen(x) f '(x)= cos(x) f(x)= cos(x) f '(x)= - sen(x) f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x) f '(x)= sec 2 (x) f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x) f '(x)= - csc 2 (x) f(x)= sec(x) f '(x)= sec(x) tan(x) f(x)= csc(x) f '(x)= - [cot(x) csc(x)] La regla de la cadena Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5) 4 , a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo. f(x) = (3x + 5) 2 = 9x 2 + 30 x + 25 f '(x) = 18x + 30 = 6(3x + 5) f(x) = (3x + 5) 3 = 27x 3 + 135x 2 + 225x + 125 f '(x) = 81 x 2 + 270x + 225 = 9(3x + 5) 2
Bibliografía https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada#:~:text=La%20derivada%20de%20una% funci%C3%B3n%20es%20un%20concepto%20local%2C%20es,funci%C3%B3n%20en %20un%20punto%20dado. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/derivadas/derivadas-de- funciones.html http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/derivadas.htm https://ekuatio.com/calculo-de-funciones-derivadas-ejemplos-y-ejercicios-resueltos/ https://www.fisicalab.com/apartado/derivada-funcion
