¡Descarga Ejemplos resueltos ejercicios y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
Exemples resolts de rotació
Problema 1
Una esfera homogènia de massa m i radi R roda sense lliscar per un pla inclinat un angle β. Dades: β = 30o; m = 0. 5 kg; R = 15 cm; L = 2. 5 m; Icm = 25 mR^2. Prendre g = 10 m/s^2.
L
β
a) Dibuixar les forces que actuen sobre l’esfera i expressar les equacions de la dinàmica de rotació i de traslació.
b) Calcular l’acceleració del centre de masses, l’acceleració angular re- specte el centre de masses i la força de fregament.
c) Si inicialment es trobava en repòs, calcular la velocitat del CM y la velocitat angular de rotació quan ha rodat pel pla una longitut L.
Resolució:
a)
P
Y
X
N
F
aCM
f
Traslació del Centre de Masses: ∑
i
F^ ~i,ext = m~acm ⇒ P~ + N~ + F~f = m~acm
x : mg sin β − Ff e = macm (1) y : mg cos β − N = 0
Condició 1 de rodar sense lliscar: fregament és estàtic (incògnita)
Rotació al voltant del Centre de Masses: ∑
i
~τi,ext = Icmα~ respecte al CM
Ff eR = Icmα = Icm acm R (2)
Condició 2 de rodar sense lliscar: α = Racm
b) Substituint les dades en (2):
Ff eR = 25 mR^2 a Rcm ⇒ Ff e = 25 macm
Substituint a (1): mg sin β − 25 macm = macm Aïllant:
acm = 57 g sin β = 3. 57 ms−^2 α = ac Rm = 30 ..^5715 = 23. 8 rad s−^2 Ff e = 25 0 .5(3.57) = 0. 71 N
c)
h=
β h
L
- Mètode 1: Conservació de l’energia mecànica.
En rodament: Wf e = 0 i Ef inal = Einicial:
1 2 mvcm
2 Icmω
(^2) = mgh = mgL sin β
Condició de rodament: vcm = Rω
⇒ 12 mvcm^2 + 1225 mR^2
( (^) vcm R
= mgL sin β
Per tant: vcm =
10 7 gL^ sin^ β
= 4. 22 ms−^1 i ω = v Rcm = 28. 2 rad s−^1
El Centre de Masses es mou amb Moviment Rectilini Uniformement Accelerat. Per tant,
v cm,f^2 − v^2 cm,o = 2acmL
vcm,o = 0 i aïllant: vcm,f =
2 acmL = 4. 22 m/s
Problema 2
Tenim un ioio i el posem sobre una taula amb la corda per dalt, que estirem amb una tensió constant T coneguda, de manera que el ioio roda sense lliscar (veure dibuix del cas 1). Després el posem en la configuració del dibuix del cas 2, on la corda surt per baix, i exercim la mateixa T constant d’abans. En quin cas serà més gran l’acceleració del centre de masses del ioio? Quant valdrà la força de fregament en cada cas?
Dades: T: tensió constant, M: massa ioio, R: radi gran, r: radi petit, I = 12 M R^2 (cilindre sòlid).
Aïllo la força de fregament de l’equació (3) i la substitueixo a la (4) i aïllo α de l’equació (5) i també la substitueixo a l’equació (4). També, I = 12 M R^2.
(5) α = a Rcm → (4) T r + T R = I acm R + M Racm → T (R + r) = 12 M R^2 a Rcm + M Racm = 3 M R 2 acm → acm = (^32) MTR R+ r= (^32) MT
1 + (^) Rr
(3) Ff e = T − M acm = T − 23 T
1 + (^) Rr
= T
1 − 23 − (^32) Rr
→ Ff e = T 3
1 − (^2) Rr
Cas 2
α
a
F f
N
P
CM
T
Segona Llei de Newton al moviment del CM:
x : T − Ff e = M acm (6) y : N − P = 0
Segona Llei de Newton al moviment rotació al voltant del CM:
Ff eR − T r = Iα (7)
(ara la Tensió fa un moment negatiu perquè va en contra de la rotació!)
Condició cinemàtica:
acm = Rα (8)
Ho solucionem com abans:
(8) α = acm R → (7) T R − T r = I a Rcm + M Racm → T (R − r) = 12 M Racm + M Racm = 3 M R 2 acm → acm = (^32) MT
1 − (^) Rr
(6) Ff e = T − M
( 2 T
3 M
1 − (^) Rr
= T 3
3 − 2 + (^2) Rr
→ Ff e = T 3
1 + (^2) Rr
Discussió: L’acceleració del centre de masses serà més gran en el cas 1, acm, 1 > acm, 2 , perquè (1 + (^) Rr ) > (1 − (^) Rr ). La força de fregament serà més gran en el cas 2, Ff e, 2 > Ff e, 1 , perquè (1 + (^2) Rr ) > (1 − (^2) Rr ). El motiu és que en el cas 2, la Tensió fa un moment negatiu i per tant la Ff e ha de fer un moment major, és l’única que pot fer girar el ioio cap on toca.
