Ejerccios propuestos de matematica, Ejercicios de Física

¡Descarga Ejerccios propuestos de matematica y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity!

ÁLGEBRAÁLGEBRA

COMPENDIO ACADÉMICO DE:COMPENDIO ACADÉMICO DE:

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA

LA SORBONA

SEC

DE

epto c

TEMA (^07)

Suma por la diferencia de dos términos,

producto de dos binomios con un término

común

8

suma por la dIferenCIa de

dos térmInos produCto de dos

bInomIos Con un térmIno Común

LA SUPERFICIE DE UNA PISCINA

Camila desea conocer la superficie de su piscina para poder colocar mayólicas en la parte inferior. Si la piscina tiene las dimensiones que muestra la imagen; ¿cuál será su superficie?

VALORES Y ACTITUDES

Valoración de la medición ¿Por qué es importante tomar correctamente la medida de su- perficies?

RAZONANDO...

„ ¿Cuál es la superficie de la piscina? „ Si el ancho de la piscina fuera (x – 2), ¿cuál sería la nueva superficie de la piscina? „ Si el largo de la piscina fuera (x + 5), ¿cuál sería la nueva superficie de la piscina? „ De las superficies anteriores, ¿cuál es la mayor?

¿Qué aprendere-

mos hoy?

Aprenderemos a aplicar el producto notable de suma por la diferencia de dos términos, y productos de dos binomios con un término común.

D

ept

suma por la dIferenCIa de dos térmInos produCto

de dos bInomIos Con un térmIno Común

lgebra^388 Ño Imestre

Veamos los siguientes ejercicios.

EJEMPLO 3:

Observa y determina el área de la siguiente figura:

x + 7

x – 11

SOLUCIÓN:

● Se pide calcular el área del rectángulo, y tenemos como dato la medida de los lados: (x – 11) y (x + 7)

● Aplicamos la fórmula para calcular el área de un rectángulo: A = b × h

● A = (x – 11) (x + 7)

A = x^2 – 4x – 77

EJEMPLO 4:

Efectúa: N = (x + 1)(x – 1)(x^2 + 1) + 1

SOLUCIÓN:

● Debemos efectuar la expresión algebraica.

● Aplicamos la suma por la diferencia de dos términos.

● N = (x + 1)(x – 1)(x^2 + 1) + 1

N = (x 2 – 1)(x^2 + 1) + 1

N = x 4 – 1 + 1

N = x 4

EJEMPLO 5:

Simplifica: (a + 3)(a + 4) + 2a (a + 6)(a + 2) + a SOLUCIÓN:

● Debemos simplificar la expresión.

● Aplicamos producto de dos binomios con un término común:

(a + 3)(a + 4) + 2a (a + 6)(a + 2) + a

= a^

(^2) + 7a + 12 + 2a a 2 + 8a + 12 + a

= a^

(^2) + 9a + 12 a 2 + 9a + 12

03 Ma .m.

DE

epto c

Nivel Básico

1. Efectúa: (x + 3)(x – 3) + (7 + x)(7 – x) a) x 2 b) 40 c) x d) 2x 2 2. Observa y determina el área del rectángulo.

2x + 10

2x + 3

a) 4x 2 + 26x + 30 b) 4x 2 – 26x + 30 c) 3x 2 + 25x + 30 d) 4x 2 + 20x – 30

3. Reduce la siguiente expresión: A = (x + 4)(x + 3) – (x + 5)(x + 2) a) – b) 7 c) – d) 2 4. Reduce: S = (x + 6)^2 – (x + 8)(x + 4) + 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Nivel Intermedio

5. Efectúa: (x + 8)(x + 4) – (x + 4)(x + 5) – 3(x – 3) 6. Efectúa: (2x – 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)(16x^4 + 1) + 1 7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica: Y (y + 6)(y – 6) = _____________________ Y (2x + 7)(2x – 7) = _____________________ Y (x + 2y)(x – 2y) = _____________________ Y (2x + 1)(2x + 3) = _____________________ Y (x – 1)(x – 7) = _____________________ 8. Efectúa: (^4) 1 + (x – 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1)

Nivel Avanzado

9. Simplifica: E = (x + a)(x – a)(x^2 + a^2 )(x^4 + a^4 ) + a^8 10. Efectúa: (x – 2) 2 (x + 2)^2 (x^2 + 4)^2 + 32x^4 – 256

03 Matemática.indb 389 30/01/2021 12:39:07 a.m.

Suma por la diferencia de doS términoS producto

de doS binomioS con un término común

VerIfICando el aprendIzaje

Nivel Básico

1. Efectúa: (x + 3)(x – 3) + (7 + x)(7 – x) a) x 2 b) 40 c) x d) 2x 2 2. Observa y determina el área del rectángulo.

2x + 10

2x + 3

a) 4x 2 + 26x + 30 b) 4x 2 – 26x + 30 c) 3x 2 + 25x + 30 d) 4x 2 + 20x – 30

3. Reduce la siguiente expresión: A = (x + 4)(x + 3) – (x + 5)(x + 2) a) – b) 7 c) – d) 2 4. Reduce: S = (x + 6)^2 – (x + 8)(x + 4) + 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Nivel Intermedio

5. Efectúa: (x + 8)(x + 4) – (x + 4)(x + 5) – 3(x – 3) 6. Efectúa: (2x – 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)(16x^4 + 1) + 1 7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica: Y (y + 6)(y – 6) = _____________________ Y (2x + 7)(2x – 7) = _____________________ Y (x + 2y)(x – 2y) = _____________________ Y (2x + 1)(2x + 3) = _____________________ Y (x – 1)(x – 7) = _____________________ 8. Efectúa: (^4) 1 + (x – 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1)

Nivel Avanzado

9. Simplifica: E = (x + a)(x – a)(x^2 + a^2 )(x^4 + a^4 ) + a^8 10. Efectúa: (x – 2) 2 (x + 2)^2 (x^2 + 4)^2 + 32x^4 – 256

Suma por la diferencia de doS términoS producto

de doS binomioS con un término común

VerIfICando el aprendIzaje

Nivel Básico

1. Efectúa: (x + 3)(x – 3) + (7 + x)(7 – x) a) x 2 b) 40 c) x d) 2x 2 2. Observa y determina el área del rectángulo.

2x + 10

2x + 3

a) 4x 2 + 26x + 30 b) 4x 2 – 26x + 30 c) 3x 2 + 25x + 30 d) 4x 2 + 20x – 30

3. Reduce la siguiente expresión: A = (x + 4)(x + 3) – (x + 5)(x + 2) a) – b) 7 c) – d) 2 4. Reduce: S = (x + 6)^2 – (x + 8)(x + 4) + 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 6. Efectúa: (2x – 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)(16x^4 + 1) + 1 7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica: Y (y + 6)(y – 6) = _____________________ Y (2x + 7)(2x – 7) = _____________________ Y (x + 2y)(x – 2y) = _____________________ Y (2x + 1)(2x + 3) = _____________________ Y (x – 1)(x – 7) = _____________________ 8. Efectúa: (^4) 1 + (x – 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1)

Nivel Avanzado

9. Simplifica: E = (x + a)(x – a)(x^2 + a^2 )(x^4 + a^4 ) + a^8

Suma por la diferencia de doS términoS producto

de doS binomioS con un término común

VerIfICando el aprendIzaje

Nivel Básico

1. Efectúa: (x + 3)(x – 3) + (7 + x)(7 – x) a) x 2 b) 40 c) x d) 2x 2 2. Observa y determina el área del rectángulo.

2x + 10

2x + 3

a) 4x 2 + 26x + 30 b) 4x 2 – 26x + 30 c) 3x 2 + 25x + 30 d) 4x 2 + 20x – 30

3. Reduce la siguiente expresión: A = (x + 4)(x + 3) – (x + 5)(x + 2) 6. Efectúa: (2x – 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)(16x^4 + 1) + 1 7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica: Y (y + 6)(y – 6) = _____________________ Y (2x + 7)(2x – 7) = _____________________ Y (x + 2y)(x – 2y) = _____________________ Y (2x + 1)(2x + 3) = _____________________ Y (x – 1)(x – 7) = _____________________ 8. Efectúa: (^4) 1 + (x – 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1)

Suma por la diferencia de doS términoS producto

de doS binomioS con un término común

VerIfICando el aprendIzaje

Nivel Básico

1. Efectúa: (x + 3)(x – 3) + (7 + x)(7 – x) a) x 2 b) 40 c) x d) 2x 2 2. Observa y determina el área del rectángulo.

2x + 10

2x + 3

a) 4x 2 + 26x + 30 b) 4x 2 – 26x + 30 c) 3x 2 + 25x + 30

6. Efectúa: (2x – 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)(16x^4 + 1) + 1 7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica: Y (y + 6)(y – 6) = _____________________ Y (2x + 7)(2x – 7) = _____________________ Y (x + 2y)(x – 2y) = _____________________ Y (2x + 1)(2x + 3) = _____________________ Y (x – 1)(x – 7) = _____________________

A = (x + 4)(x + 3) – (x + 5)(x + 2) a) – b) 7 c) – d) 2

4. Reduce: S = (x + 6)^2 – (x + 8)(x + 4) + 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Nivel Intermedio

5. Efectúa: (x + 8)(x + 4) – (x + 4)(x + 5) – 3(x – 3) 9. Simpli E 10. Efectú

03 Matemática.indb 389

b) 4x 2 – 26x + 30 c) 3x 2 + 25x + 30 d) 4x 2 + 20x – 30

3. Reduce la siguiente expresión: A = (x + 4)(x + 3) – (x + 5)(x + 2) a) – b) 7 c) – d) 2 4. Reduce: S = (x + 6)^2 – (x + 8)(x + 4) + 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Nivel Intermedio

5. Efectúa: (x + 8)(x + 4) – (x + 4)(x + 5) – 3(x – 3)

Y (x

8. Efectú 9. Simpli E 10. Efectú

03 Matemática.indb 389

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Verificando el aprendizaje

a) b) c) d)

DE

epto c

2.° Año – I BImestre^2 tAreA - sem 8

or lA dIferencIA de dos producto de dos BInomIos un térmIno común

7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica. Y (x + 2)(x – 2) = _____________________ Y (b – 5)(b + 5) = _____________________ Y (a + 3b)(a – 3b) = _____________________ Y (3x – 1)(3x + 4) = _____________________ Y (x – 8)(x + 4) = _____________________ 8. Efectúa:

M = (5 + x)(5 – x) + (x + 4)(x – 4)

Nivel Avanzado

9. Simplifica: M = 6 124(5^3 + 1)(5^6 + 1) + 1 10. Reduce: (^32) 1 + 3(2 (^2) + 1)(2 (^4) + 1)(2 (^8) + 1)

Nivel Básico

1. Efectúa: (x + 5)(x – 5) + 25 a) x^2 c) x 2 + 50x b) 2x d) 2x 2 2. Simplifica: (x + 3)(x + 4) + (x + 1)(x + 6) a) 2x 2 + 14x + 18 b) 2x 4 + 14x + 18 c) 2x 2 + 18x + 14 d) x 2 + 14x + 18 3. Reduce: (x – 5)(x + 5) – (x + 6)(x – 6) a) 11 b) 16 c) 12 d) – 4. Reduce: (x + y)(x – y)(x^2 + y^2 ) + y^4 a) x b) x 2 c) x 4 d) xy

Nivel Intermedio

5. Reduce: A = (x + 1)(x – 1)(x 2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) + 1 6. Simplifica: P = (x + 1)(x + 3) + (x + 2)(x + 4) – (x + 5)(x – 1)

8

sumA por lA dIferencIA de dos

térmInos producto de dos BInomIos con un térmIno común

ÁlgeBrA

7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica. Y (x + 2)(x – 2) = _____________________ Y (b – 5)(b + 5) = _____________________ Y (a + 3b)(a – 3b) = _____________________ Y (3x – 1)(3x + 4) = _____________________ Y (x – 8)(x + 4) = _____________________ 8. Efectúa:

M = (5 + x)(5 – x) + (x + 4)(x – 4)

Nivel Avanzado

9. Simplifica: M = 6 124(5^3 + 1)(5^6 + 1) + 1 10. Reduce: (^32) 1 + 3(2 (^2) + 1)(2 (^4) + 1)(2 (^8) + 1)

Nivel Básico

1. Efectúa: (x + 5)(x – 5) + 25 a) x 2 c) x 2 + 50x b) 2x d) 2x 2 2. Simplifica: (x + 3)(x + 4) + (x + 1)(x + 6) a) 2x 2 + 14x + 18 b) 2x 4 + 14x + 18 c) 2x 2 + 18x + 14 d) x 2 + 14x + 18 3. Reduce: (x – 5)(x + 5) – (x + 6)(x – 6) a) 11 b) 16 c) 12 d) – 4. Reduce: (x + y)(x – y)(x^2 + y^2 ) + y^4 a) x b) x 2 c) x 4 d) xy

Nivel Intermedio

5. Reduce: A = (x + 1)(x – 1)(x 2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) + 1 6. Simplifica: P = (x + 1)(x + 3) + (x + 2)(x + 4) – (x + 5)(x – 1)

8

sumA por lA dIferencIA de dos

térmInos producto de dos BInomIos con un térmIno común

ÁlgeBrA

7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica. Y (x + 2)(x – 2) = _____________________ Y (b – 5)(b + 5) = _____________________ Y (a + 3b)(a – 3b) = _____________________ Y (3x – 1)(3x + 4) = _____________________ Y (x – 8)(x + 4) = _____________________ 8. Efectúa:

M = (5 + x)(5 – x) + (x + 4)(x – 4)

Nivel Avanzado

9. Simplifica: M = 6 124(5^3 + 1)(5^6 + 1) + 1

Nivel Básico

1. Efectúa: (x + 5)(x – 5) + 25 a) x 2 c) x 2 + 50x b) 2x d) 2x 2 2. Simplifica: (x + 3)(x + 4) + (x + 1)(x + 6) a) 2x 2 + 14x + 18 b) 2x 4 + 14x + 18 c) 2x 2 + 18x + 14 d) x 2 + 14x + 18 3. Reduce: (x – 5)(x + 5) – (x + 6)(x – 6) a) 11 b) 16 c) 12 d) – 4. Reduce: (x + y)(x – y)(x^2 + y^2 ) + y^4 a) x b) x 2 c) x 4 d) xy

Nivel Intermedio

5. Reduce: 2 4 8

2.° Año – I BImestre^2

9. Simpli 10. Reduce 3. Reduce: (x – 5)(x + 5) – (x + 6)(x – 6) a) 11 b) 16 c) 12 d) – 4. Reduce: (x + y)(x – y)(x^2 + y^2 ) + y^4 a) x b) x 2 c) x 4 d) xy

Nivel Intermedio

5. Reduce: A = (x + 1)(x – 1)(x 2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) + 1 6. Simplifica: P = (x + 1)(x + 3) + (x + 2)(x + 4) – (x + 5)(x – 1)

2.° Año – I BImestre^2

Y (b Y (a Y (3x Y (x

8. Efectú 9. Simpli 10. Reduce

b) 2x d) 2x 2

2. Simplifica: (x + 3)(x + 4) + (x + 1)(x + 6) a) 2x 2 + 14x + 18 b) 2x 4 + 14x + 18 c) 2x 2 + 18x + 14 d) x 2 + 14x + 18 3. Reduce: (x – 5)(x + 5) – (x + 6)(x – 6) a) 11 b) 16 c) 12 d) – 4. Reduce: (x + y)(x – y)(x^2 + y^2 ) + y^4 a) x b) x 2 c) x 4 d) xy

Nivel Intermedio

5. Reduce: A = (x + 1)(x – 1)(x 2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) + 1 6. Simplifica: P = (x + 1)(x + 3) + (x + 2)(x + 4) – (x + 5)(x – 1)

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Autoevaluación

a) b) c) d)

a) b) c) d)

a) b) c) d)

a) b)

c) d)

D

ept

erencIA de dos de dos BInomIos Ino común

7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica. Y (x + 2)(x – 2) = _____________________ Y (b – 5)(b + 5) = _____________________ Y (a + 3b)(a – 3b) = _____________________ Y (3x – 1)(3x + 4) = _____________________ Y (x – 8)(x + 4) = _____________________ 8. Efectúa:

M = (5 + x)(5 – x) + (x + 4)(x – 4)

Nivel Avanzado

9. Simplifica: M = 6 124(5^3 + 1)(5^6 + 1) + 1

5)(x – 1)

2.° Año – I BImestre^2 tAreA - sem 8

10. Reduce: (^32) 1 + 3(2 (^2) + 1)(2 (^4) + 1)(2 (^8) + 1) 6. Simplifica: P = (x + 1)(x + 3) + (x + 2)(x + 4) – (x + 5)(x – 1)

2.° Año – I BImestre^2 tAreA - sem 8

Nivel Avanzado

9. Simplifica: M = 6 124(5^3 + 1)(5^6 + 1) + 1 10. Reduce: (^32) 1 + 3(2 (^2) + 1)(2 (^4) + 1)(2 (^8) + 1)

b) 16 c) 12 d) –

4. Reduce: (x + y)(x – y)(x^2 + y^2 ) + y^4 a) x b) x 2 c) x 4 d) xy

Nivel Intermedio

5. Reduce: A = (x + 1)(x – 1)(x 2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) + 1 6. Simplifica: P = (x + 1)(x + 3) + (x + 2)(x + 4) – (x + 5)(x – 1)

2.° Año – I BImestre^2 tAreA - sem 8

Nivel Avanzado

9. Simplifica: M = 6 124(5^3 + 1)(5^6 + 1) + 1 10. Reduce: (^32) 1 + 3(2 (^2) + 1)(2 (^4) + 1)(2 (^8) + 1)

(x – 5)(x + 5) – (x + 6)(x – 6) a) 11 b) 16 c) 12 d) –

4. Reduce: (x + y)(x – y)(x^2 + y^2 ) + y^4 a) x b) x 2 c) x 4 d) xy

Nivel Intermedio

5. Reduce: A = (x + 1)(x – 1)(x 2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) + 1 6. Simplifica: P = (x + 1)(x + 3) + (x + 2)(x + 4) – (x + 5)(x – 1)

erencIA de dos de dos BInomIos Ino común

7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica. Y (x + 2)(x – 2) = _____________________ Y (b – 5)(b + 5) = _____________________ Y (a + 3b)(a – 3b) = _____________________ Y (3x – 1)(3x + 4) = _____________________ Y (x – 8)(x + 4) = _____________________ 8. Efectúa:

M = (5 + x)(5 – x) + (x + 4)(x – 4)

Nivel Avanzado

9. Simplifica: M = 6 124(5^3 + 1)(5^6 + 1) + 1

Resolución Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Tarea

DE

epto c

Álgebra^299 2.° año – II bImestre

Cubo de la suma y de la dIferenCIa de dos térmInos

Los productos notables son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas, que se obtienen en forma directa, y sin tener que efectuar la multiplicación.

CUBO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, más el triple del cuadrado de la primera cantidad por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.

(a + b) 3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 →^ (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)

EJEMPLO 1:

Efectúa: (x + 1)^3 SOLUCIÓN: ● Determinamos los términos: Y Primer término: x Y Segundo término: 1

● Aplicamos el producto notable: (x + 1)^3 = (x)^3 + 3(x)^2 (1) + 3(x)(1)^2 + (1)^3 (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1

¡Hola!, acompáñame a ver los siguientes ejercicios de productos notables.

CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triple del cuadrado de la primera cantidad por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda.

(a – b)^3 = a^3 – 3a^2 b + 3ab^2 – b^3 →^ (a – b) 3 = a^3 – b^3 – 3ab(a – b)

EJEMPLO 2:

Efectúa: (n – 2)^3 SOLUCIÓN: ● Determinamos los términos: Y Primer término: n Y Segundo término: 2

● Aplicamos el producto notable: (n – 2)^3 = (n)^3 – 3(n)^2 (2) + 3(n)(2)^2 – (2)^3 (n – 2)^3 = n^3 – 6n^2 + 12n – 8

EJEMPLO 3:

Efectúa la siguiente expresión utilizando los productos notables: (4x + 2)^3 SOLUCIÓN: ● Debemos efectuar la expresión algebraica.

● Aplicamos el cubo de la suma de dos términos.

● (4x + 2)^3 = (4x)^3 + 3(4x)^2 (2) + 3(4x)(2)^2 + (2)^3 (4x + 2)^3 = 64n^3 + 96x^2 + 48x + 8

DE C

epto conj

de dos térmInos

EJEMPLO 4:

Efectúa: P = (x + 1)^3 – (x – 1)^3 – 2 SOLUCIÓN: ● Debemos efectuar la expresión algebraica.

● Aplicamos el cubo de la suma y diferencia de dos términos.

● P = (x + 1)^3 – (x – 1)^3 – 2 P = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) – (x^3 – 3x^2 + 3x – 1) – 2 P = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 – x^3 + 3x^2 – 3x + 1 – 2 P = 6x^2 + 2 – 2 P = 6x 2

EJEMPLO 5:

Si x – y = 5; xy = 6, calcula el valor de x^3 – y^3. SOLUCIÓN: ● Debemos calcula el valor de x^3 – y^3.

● Aplicamos el cubo de la suma y diferencia de dos términos. (x – y)^3 = x^3 – 3xy(x – y) – y^3 (5)^3 = x^3 – 3(6)(5) – y^3 125 = x^3 – 90 – y^3 215 = x^3 – y^3

APLICAMOS LO

APRENDIDO

„ Si x + y = 7; xy = 10, cal- cula el valor de x^3 + y^3. „ Si x – y = 2; xy = 63, cal- cula el valor de x^3 – y^3.

Nivel Básico

1. Efectúa: (7n – 5) 3 a) 343n 3 – 735n^2 + 525n – 125 b) 343n 3 + 735n^2 + 525n + 125 c) 343n 3 – 735n^2 – 525n – 125 d) 343n 3 – 125 2. Reduce: (n + 3)^3 + (n – 3)^3 a) 2n 2 + n b) 2n 3 + 54n c) 2n 2 + 54 d) 2n 3 + 54 3. Efectúa: (x + 1)^3 + (x – 1)^3 – 2x^3 a) 5x b) 6x c) 4x d) 2x 4. Efectúa: A = (2x – 1)^3 + 4x^2 (3 – 2x) + 1 a) 3x b) 6x c) 4x d) 5x

Álgebra^300 2.° año – II bImestre

● Debemos efectuar la expresión algebraica.

● Aplicamos el cubo de la suma y diferencia de dos términos.

● P = (x + 1)^3 – (x – 1)^3 – 2 P = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) – (x^3 – 3x^2 + 3x – 1) – 2 P = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 – x^3 + 3x^2 – 3x + 1 – 2 P = 6x^2 + 2 – 2 P = 6x 2

EJEMPLO 5:

Si x – y = 5; xy = 6, calcula el valor de x^3 – y^3. SOLUCIÓN: ● Debemos calcula el valor de x^3 – y^3.

● Aplicamos el cubo de la suma y diferencia de dos términos. (x – y)^3 = x^3 – 3xy(x – y) – y^3 (5)^3 = x^3 – 3(6)(5) – y^3 125 = x^3 – 90 – y^3 215 = x^3 – y^3

APLICAMOS LO

APRENDIDO

„ Si x + y = 7; xy = 10, cal- cula el valor de x^3 + y^3. „ Si x – y = 2; xy = 63, cal- cula el valor de x^3 – y^3.

Nivel Básico

1. Efectúa: (7n – 5)^3 a) 343n 3 – 735n^2 + 525n – 125 b) 343n 3 + 735n^2 + 525n + 125 c) 343n 3 – 735n^2 – 525n – 125 d) 343n 3 – 125 2. Reduce: (n + 3) 3 + (n – 3)^3 a) 2n 2 + n b) 2n 3 + 54n c) 2n 2 + 54 d) 2n 3 + 54 3. Efectúa: (x + 1)^3 + (x – 1)^3 – 2x^3 a) 5x b) 6x c) 4x d) 2x 4. Efectúa: A = (2x – 1)^3 + 4x^2 (3 – 2x) + 1 a) 3x b) 6x c) 4x d) 5x

Resolución

Álgebra^300

● P = (x + 1)^3 – (x – 1)^3 – 2 P = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) – (x^3 – 3x^2 + 3x – 1) – 2 P = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 – x^3 + 3x^2 – 3x + 1 – 2 P = 6x^2 + 2 – 2 P = 6x 2

EJEMPLO 5:

Si x – y = 5; xy = 6, calcula el valor de x^3 – y^3. SOLUCIÓN: ● Debemos calcula el valor de x^3 – y^3.

● Aplicamos el cubo de la suma y diferencia de dos términos. (x – y)^3 = x^3 – 3xy(x – y) – y^3 (5)^3 = x^3 – 3(6)(5) – y^3 125 = x^3 – 90 – y^3 215 = x^3 – y^3

Nivel Básico

1. Efectúa: (7n – 5) 3 a) 343n 3 – 735n^2 + 525n – 125 b) 343n 3 + 735n^2 + 525n + 125 c) 343n 3 – 735n^2 – 525n – 125 d) 343n 3 – 125 2. Reduce: (n + 3)^3 + (n – 3)^3 a) 2n 2 + n b) 2n 3 + 54n c) 2n 2 + 54 d) 2n 3 + 54 3. Efectúa a) 5x b) 6x c) 4x d) 2x 4. Efectúa a) 3x b) 6x c) 4x d) 5x

Resolución

Verificando el aprendizaje

a) b) c) d)

a) b) c) d)

DE C

epto co

14. Reduce:

A = (3x – 2)(9x 2 + 6x + 4) – (3x +2)(9x^2 – 6x + 4)

15. Simplifica la expresión:

3 2 2 27x 27x 9x 1 9x 6x 1

11. Efectúa:

(3x + 4)(9x^2 –12x + 16)

12. Reduce:

(5x –2)(25x 2 + 10x + 4) – (125x^3 + 4)

13. Reduce:

(x –1)(x 2 + x +1)–(x – 2)(x^2 + 2x + 4) (^301) 2.° año – II bImestre adros se- que se in-

_______

---

---

---

---

10. Si: a + b = 7, ab = 10

Calcula: M = a^2 + a^3 + b^2 + b^3. Resolución Resolución Resolución Resolución Resolución Resolución

e

Resolución (^) Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

2.° Año – II BImestre^12 tAreA - sem 1

1

cuBo de LA sumA y de LA

dIFerencIA de dos térmInos

7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica: Y (x + 2)^3 = __________________________ Y (b – 5)^3 = __________________________ Y (a + 3b)^3 = __________________________ Y (3x – 1)^3 = __________________________ Y (x – 8)^3 = __________________________ 8. Si: m + n = 2; m × n = 1 Calcula: m^3 + n^3

Nivel Avanzado

9. Si se sabe que x +

x

= 4; calcula el valor de x^6 +

x 6

10. Si: a + b = 8, ab = 15 Calcula: M = a^2 + a^3 + b^2 + b^3

Nivel Básico

1. Efectúa: (6n + 4) 3

a) 216n 3 – 432n^2 + 288n – 64 b) 216n 3 + 432n^2 + 288n + 64 c) 216n 3 – 432n^2 – 288n – 64 d) 216n 3 – 64

2. Reduce: (n + 2) 3 – (n – 2)^3

a) 12n 2 + n b) 12n 3 + 3n c) 12n 2 + 16 d) 12n 3 + n

3. Efectúa: (3x + 2)^3 + (3x – 2)^3 – 54x^3

a) 75x b) 76x c) 74x d) 72x

4. Efectúa: A = (3x + 2)^3 – 9x^2 (6 + 3x) – 8

a) 33x b) 36x c) 34x d) 35x

Nivel Intermedio

5. Si se sabe que x +^1 x

= 5; calcula el valor de x^3 +^1 x 3

6. Reduce: P = [(a + b)^3 – 3ab(a + b)](a^3 – b^3 )

1

cuBo de LA sumA y de LA

dIFerencIA de dos térmInos

áLgeBrA

7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica: Y (x + 2)^3 = __________________________ Y (b – 5)^3 = __________________________ Y (a + 3b)^3 = __________________________ Y (3x – 1)^3 = __________________________ Y (x – 8)^3 = __________________________ 8. Si: m + n = 2; m × n = 1 Calcula: m^3 + n^3

Nivel Avanzado

9. Si se sabe que x +^1 x

= 4; calcula el valor de x^6 +^1 x 6

10. Si: a + b = 8, ab = 15 Calcula: M = a^2 + a^3 + b^2 + b^3

Nivel Básico

1. Efectúa: (6n + 4) 3

a) 216n 3 – 432n^2 + 288n – 64 b) 216n 3 + 432n^2 + 288n + 64 c) 216n 3 – 432n^2 – 288n – 64 d) 216n 3 – 64

2. Reduce: (n + 2)^3 – (n – 2)^3

a) 12n 2 + n b) 12n 3 + 3n c) 12n 2 + 16 d) 12n 3 + n

3. Efectúa: (3x + 2) 3 + (3x – 2)^3 – 54x^3

a) 75x b) 76x c) 74x d) 72x

4. Efectúa: A = (3x + 2)^3 – 9x^2 (6 + 3x) – 8

a) 33x b) 36x c) 34x d) 35x

Nivel Intermedio

5. Si se sabe que x +

x

= 5; calcula el valor de x^3 +

x 3

6. Reduce: P = [(a + b)^3 – 3ab(a + b)](a^3 – b^3 )

1

cuBo de LA sumA y de LA

dIFerencIA de dos térmInos

áLgeBrA

7. Completa cada uno de los siguientes cuadros según el desarrollo del producto notable que se indica: Y (x + 2)^3 = __________________________ Y (b – 5)^3 = __________________________ Y (a + 3b)^3 = __________________________ Y (3x – 1)^3 = __________________________ Y (x – 8)^3 = __________________________ 8. Si: m + n = 2; m × n = 1 Calcula: m^3 + n^3

Nivel Avanzado

9. Si se sabe que x +^1 x

= 4; calcula el valor de x^6 +^1 x 6

Nivel Básico

1. Efectúa: (6n + 4) 3

a) 216n 3 – 432n^2 + 288n – 64 b) 216n 3 + 432n^2 + 288n + 64 c) 216n 3 – 432n^2 – 288n – 64 d) 216n 3 – 64

2. Reduce: (n + 2)^3 – (n – 2)^3

a) 12n 2 + n b) 12n 3 + 3n c) 12n 2 + 16 d) 12n 3 + n

3. Efectúa: (3x + 2)^3 + (3x – 2)^3 – 54x^3

a) 75x b) 76x c) 74x d) 72x

4. Efectúa: A = (3x + 2)^3 – 9x^2 (6 + 3x) – 8

a) 33x b) 36x c) 34x d) 35x

Nivel Intermedio

5. Si se sabe que x +^1 x

= 5; calcula el valor de x^3 +^1 x 3

2.° Año – II BImestre^12

cul

9. Si se sa 10. Si: a + Calcul 3. Efectúa: (3x + 2)^3 + ( a) 75x b) 76x c) 74x d) 72x 4. Efectúa: A = (3x + 2)^3 – 9x^2 (6 + 3x) – 8 a) 33x b) 36x c) 34x d) 35x

Nivel Intermedio

5. Si se sabe que x +^1 x

= 5; calcula el valor de x^3 +^1 x 3

6. Reduce: P = [(a + b)^3 – 3ab(a + b)](a^3 – b^3 )

2.° Año – II BImestre^12

x b (a Y (3x Y (x

8. Si: m + Calcul 9. Si se sa 10. Si: a + Calcul

b) 216n 3 + 432n^2 + 28 c) 216n 3 – 432n^2 – 28 d) 216n 3 – 64

2. Reduce: (n + 2)^3 – (n – 2)^3 a) 12n 2 + n b) 12n 3 + 3n c) 12n 2 + 16 d) 12n 3 + n 3. Efectúa: (3x + 2)^3 + (3x – 2)^3 – 54x^3 a) 75x b) 76x c) 74x d) 72x 4. Efectúa: A = (3x + 2)^3 – 9x^2 (6 + 3x) – 8 a) 33x b) 36x c) 34x d) 35x

Nivel Intermedio

5. Si se sabe que x +^1 x

= 5; calcula el valor de x^3 +^1 x^3

6. Reduce: P = [(a + b)^3 – 3ab(a + b)](a^3 – b^3 )

Autoevaluación

a) b) c) d)

a) b) c) d)

a) b) c) d)

a) b) c) d)

D

ept

TEMA (^09)

Factorización y por factor común

monomio y polinomio 2

faCtorizaCión por faCtor

Común monomio y polinomio

BROWNIES DE CHOCOLATE

En la pastelería “Delicias” venden brownies en diferentes tamaños y presentaciones: „ Opción 1: (x + 3)(x + 3) „ Opción 2: (x + 3)(x + 4) „ Opción 3: (x + 4)(x + 4) „ Opción 4: (x + 4)(x + 5)

VALORES Y ACTITUDES

Valoración de la alimenta- ción balanceada ¿Por qué es importante mantener una alimentación balanceada?

RAZONANDO...

„ ¿Qué dimensiones tendrá el brownie si compramos las opciones 1 y 2? „ ¿Qué dimensiones tendrá el brownie si compramos las opciones 2 y 3? „ ¿Qué dimensiones tendrá el brownie si compramos las opciones 3 y 4? „ ¿Qué dimensiones tendrá el brownie si compramos las opciones 2 y 4?

¿Qué aprenderemos

hoy?

Aprenderemos a factorizar polinomios aplicando factor común monomio y polinomio.

DE CO

epto conj

mún monomio y polinomio

La factorización es un proceso de transformación de un polinomio de grado no nulo en una multiplicación indicada de dos o más polinomios también de grados no nulos. La factorización es un proceso inverso a la aplicación de las propiedades de la multiplicación; su operación no está sujeta a reglas.

La factorización es un proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica racional entera es presentada como el producto de dos o más factores algebraicos.

EJEMPLO:

x^2 – 6x + 8 = (x – 4)(x – 2)

Factorización

Multiplicación

Se llama polinomio primo (factor primo) a aquel de grado absoluto no nulo que no admite ser descompuesto como una multiplicación indicada de dos o más polinomios de grados no nulos. Es decir, un polinomio primo no puede ser factorizado.

EJEMPLO:

En x^2 – l = (x + 1)(x – 1), el factor “x + 1” es primo porque ya no puede ser factorizado. No existe un método específico para factorizar una expresión dado que esta se puede hacer por dos o más métodos, llamados también criterios. Los criterios más usados son:

MÉTODO FACTOR COMÚN MONOMIO

Se aplica cuando en todos los términos del polinomio se repite el mismo factor, el que se denomina factor común. Para factorizar, se extrae la parte que se repite en todos los términos, para lo cual se extrae la expresión repetida, elevada a su menor exponente.

RECUERDA QUE…

El número de factores primos se determina contando los factores basales (que figuran como bases y que contengan a las variables, denominados también factores algebraicos).

EJEMPLOS:

P(x) = (x + 2)^4 (x + l)^3 (3x – 2)^2 tiene 3 factores primos.

EJEMPLO 1:

Factoriza: E = 7x^5 y^5 – 2x^3 y^3 + x^2 y 2 SOLUCIÓN: ● Determinamos el factor común monomio: x^2 y^2 ● Dividimos cada uno de los términos entre dicho factor común:

Y 7x

(^5) y 5 x^2 y 2

= 7x^3 y^3

Y –2x

(^3) y 3 x^2 y 2

= –2xy

Y x

(^2) y 2 x^2 y 2

● E = x^2 y^2 (7x^3 y 3 – 2xy + 1)

EJEMPLO 2:

Factoriza: P(x) = 4ax^2 + 2a^2 x – 6ax SOLUCIÓN: ● Determinamos el factor común monomio: 2ax ● Dividimos cada uno de los términos entre dicho factor común:

Y 4ax

2 2ax

= 2x

Y 2a^

(^2) x 2ax

= a

Y 6ax 2ax

● P(x) = 2ax(2x + a + 3)

DE

epto c

6. Factoriza:

5b(y – 3) – 3a(–3 + y)

7. Factoriza cada una de las siguientes expresiones

mediante el método del factor común monomio. Y ax + bx + cx Y x^2 m + x^2 n Y b^2 x + by Y x^3 + x Y m^3 y + m^3 t Y 5xyz^3 – 3xy^3 z + 2x^3 yz Y 7xyz – 35xyz^2 Y 2a^4 b – 4ab^4 – 6a^4 b^4 Y (m Y (c Y (x Y x^2 ( Y (m Y (x Y a(x Y (x

9. Señala

S(

10. Indica

te expr A(

6. Factoriza:

5b(y – 3) – 3a(–3 + y)

7. Factoriza cada una de las siguientes expresiones

mediante el método del factor común monomio. Y ax + bx + cx Y x^2 m + x^2 n Y b^2 x + by Y x^3 + x Y m^3 y + m^3 t Y 5xyz^3 – 3xy^3 z + 2x^3 yz Y 7xyz – 35xyz^2 Y 2a^4 b – 4ab^4 – 6a^4 b^4 media Y (a Y (x Y (m Y (c Y (x Y x^2 ( Y (m Y (x Y a(x Y (x

9. Señala

S(

10. Indica

te expr A( Factorización por Factor común monomio y polinomio Nivel Intermedio

5. Factoriza e indica el número de factores primos:

P(a, b) = 25ab 3 – 15a^2 b^4 + 50a^5 b^3

6. Factoriza:

5b(y – 3) – 3a(–3 + y) Y 5a^4 b^4 + 25a^8 b^3 – 30a^9 b^4 Y 6a^8 + 12a^6 – 18a^4 + 24a^2

8. Factoriza cada una de las siguientes expresiones

mediante el método del factor común polinomio. Y (a + b)p + (a + b)q Y (x + y + 3)8y + (x + y + 3)6a Y (m + n – 1)x^2 + (m + n – 1)x – (m + n – 1)y Y (c + d)m^3 + (c + d)n^2 Y (x + y)a^3 + (x + y)b^2 Y x^2 (x – 1) + x^3 (x – 1) Y (m^2 + n^2 )x^2 + (m^2 + n^2 )y^2 Y (x + y)a + (x + y)b – 2(x + y) Y a(x – y – z) – b(–x + y + z) Y (x + y)m^4 – (x + y)m^3 Nivel Avanzado Factorización por Factor común monomio y polinomio Nivel Intermedio

5. Factoriza e indica el número de factores primos:

P(a, b) = 25ab 3 – 15a^2 b^4 + 50a^5 b^3

6. Factoriza:

5b(y – 3) – 3a(–3 + y)

7. Factoriza cada una de las siguientes expresiones

mediante el método del factor común monomio. Y ax + bx + cx Y x^2 m + x^2 n Y b^2 x + by Y x^3 + x Y m^3 y + m^3 t Y 5a^4 b^4 + 25a^8 b^3 – 30a^9 b^4 Y 6a^8 + 12a^6 – 18a^4 + 24a^2

8. Factoriza cada una de las siguientes expresiones

mediante el método del factor común polinomio. Y (a + b)p + (a + b)q Y (x + y + 3)8y + (x + y + 3)6a Y (m + n – 1)x^2 + (m + n – 1)x – (m + n – 1)y Y (c + d)m^3 + (c + d)n^2 Y (x + y)a^3 + (x + y)b^2 Y x^2 (x – 1) + x^3 (x – 1) Y (m^2 + n^2 )x^2 + (m^2 + n^2 )y^2 Y (x + y)a + (x + y)b – 2(x + y) Y a(x – y – z) – b(–x + y + z) Y (x + y)m^4 – (x + y)m^3 Nivel Avanzado

9. Señala un factor de:

S(a, b, c, x) = a(x – 1) – b(1 – x) + cx – c

10. Indica un factor que resulta de reducir la siguien-

te expresión: A(m; n) = mn 4 – 5m^2 n^3 + 4m^3 n^2 – 20m^4 n Factorización por Factor común monomio y polinomio Nivel Intermedio

5. Factoriza e indica el número de factores primos:

P(a, b) = 25ab^3 – 15a^2 b^4 + 50a^5 b^3

6. Factoriza:

5b(y – 3) – 3a(–3 + y) Y 5a^4 b^4 + 25a^8 b^3 – 30a^9 b^4 Y 6a^8 + 12a^6 – 18a^4 + 24a^2

8. Factoriza cada una de las siguientes expresiones

mediante el método del factor común polinomio. Y (a + b)p + (a + b)q Y (x + y + 3)8y + (x + y + 3)6a Y (m + n – 1)x^2 + (m + n – 1)x – (m + n – 1)y Y (c + d)m^3 + (c + d)n^2 Y (x + y)a^3 + (x + y)b^2 Y x^2 (x – 1) + x^3 (x – 1) Y (m^2 + n^2 )x^2 + (m^2 + n^2 )y^2 Y (x + y)a + (x + y)b – 2(x + y) Y a(x – y – z) – b(–x + y + z) Y (x + y)m^4 – (x + y)m^3

3. Factoriza la siguiente expresión:

2x^3 + 8x^4 + 16x^5 a) 2x 2 (4x + 8x^3 ) b) 2x 3 (1 + 4x + 8x^2 ) c) 2x 2 (1 + 4x + 8x^3 ) d) 2x 3 (4x + 8x^2 )

4. Factoriza la siguiente expresión:

m(a + b) + n(a + b) + p(a + b) a) (m + n + p)(a + b) b) (m – n – p)(a + b) c) (m + n + p)(a – b) d) (m – n – p)(a – b) n ntre dicho factor común:

3. Factoriza la siguiente expresión:

2x 3 + 8x^4 + 16x^5 a) 2x 2 (4x + 8x^3 ) b) 2x 3 (1 + 4x + 8x^2 ) c) 2x 2 (1 + 4x + 8x^3 ) d) 2x 3 (4x + 8x^2 )

4. Factoriza la siguiente expresión:

m(a + b) + n(a + b) + p(a + b) a) (m + n + p)(a + b) b) (m – n – p)(a + b) c) (m + n + p)(a – b) d) (m – n – p)(a – b) Resolución Resolución Resolución Resolución Resolución a) b) c) d) a) b) c) d)

DE C

epto con

12. Factoriza e indica la cantidad de factores primos. P(x) = a(x –1) + b(x – 1) 13. Factoriza: P(x; y) = 9x 2 y^5 –6xy^7 + 21x^3 y 11 14. Factoriza: P(x) = a 2 + ab + ax + bx 15. Factoriza e indica la suma de factores primos. P(x) = x^2 – 4x + 3

3

presiones onomio.

8. Factoriza cada una de las siguientes expresiones mediante el método del factor común polinomio. Y (a + b)p + (a + b)q Y (x + y + 3)8y + (x + y + 3)6a Y (m + n – 1)x^2 + (m + n – 1)x – (m + n – 1)y Y (c + d)m^3 + (c + d)n^2 Y (x + y)a^3 + (x + y)b^2 Y x^2 (x – 1) + x^3 (x – 1) Y (m^2 + n^2 )x^2 + (m^2 + n^2 )y^2 Y (x + y)a + (x + y)b – 2(x + y) Y a(x – y – z) – b(–x + y + z) Y (x + y)m^4 – (x + y)m^3

Nivel Avanzado

9. Señala un factor de: S(a, b, c, x) = a(x – 1) – b(1 – x) + cx – c 10. Indica un factor que resulta de reducir la siguien- te expresión: A(m; n) = mn 4 – 5m^2 n^3 + 4m^3 n^2 – 20m^4 n

n monomio y polinomio

primos: 3

presiones onomio.

Y 5a^4 b 4 + 25a^8 b^3 – 30a^9 b 4 Y 6a^8 + 12a^6 – 18a^4 + 24a^2

8. Factoriza cada una de las siguientes expresiones mediante el método del factor común polinomio. Y (a + b)p + (a + b)q Y (x + y + 3)8y + (x + y + 3)6a Y (m + n – 1)x^2 + (m + n – 1)x – (m + n – 1)y Y (c + d)m^3 + (c + d)n^2 Y (x + y)a^3 + (x + y)b^2 Y x^2 (x – 1) + x^3 (x – 1) Y (m^2 + n^2 )x^2 + (m^2 + n^2 )y^2 Y (x + y)a + (x + y)b – 2(x + y) Y a(x – y – z) – b(–x + y + z) Y (x + y)m^4 – (x + y)m^3

Nivel Avanzado

9. Señala un factor de: S(a, b, c, x) = a(x – 1) – b(1 – x) + cx – c 10. Indica un factor que resulta de reducir la siguien- te expresión: A(m; n) = mn^4 – 5m^2 n^3 + 4m^3 n^2 – 20m^4 n 11. Determina el número de factores primos del si- guiente polinomio. P(x; y) = 17a^3 x^2 y^3 (2x + 3y)^5 (5y–3x)^10

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución