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1. Halle la derivada direccional de la función en P en dirección del vector v.
a) f ( x , y )=arccos xy , P ( 1,0) , v=i+ 5 j
∂ f
∂ x
( x , y )=
∂ x
(arccos xy)
∂ f
∂ x
( x , y )=
− y
1 −x
2
y
2
∂ f
∂ x
∂ f
∂ y
( x , y )=
∂ y
(arccos xy )
∂ f
∂ y
( x , y )=
−x
√ 1 −x
2
y
2
∂ f
∂ y
⃗ v=
i+ 5
j
‖⃗v‖=
2
2
⃗v
√
u=
v
‖⃗v‖
i + 5
j
√
u=
√ 26
i+
√ 26
j
D
⃗ u
f ( 1,0)=
∂ f
∂ x
( 1,0) ×a+
∂ f
∂ y
( 1,0 ) × b
D
⃗ u
f ( 1,0)=( 0 )
√
√
D
⃗ u
f ( 1,0)=
√
×
√
√
D
⃗ u
f ( 1,0)=
√
D
⃗ u
f ( 1,0) ≅ −0.
b) f ( x , y , z )=x arctan yz , P ( 4,1,1) , v =i+ 2 j−k
∂ f
∂ x
( x , y , z )=
∂ x
(x arctan yz )
∂ f
∂ x
( x , y , z )=arctan yz
∂ f
∂ x
( 4,1,1)=arctan 1
∂ f
∂ y
( x , y , z ) =
∂ y
( x arctan yz)
∂ f
∂ y
( x , y , z ) =
xz
1 + y
2
z
2
∂ f
∂ y
∂ f
∂ z
( x , y , z )=
∂ z
( x arctan yz )
∂ f
∂ z
( x , y , z )=
xy
1 + y
2
z
2
∂ f
∂ z
⃗ v=
i+ 2
j−
k
‖⃗v‖=
2
2
2
⃗v
=√ 6
⃗ u=
v
⃗v
i+ 2
j−
k
√
u=
√ 6
i+
√ 6
j−
√ 6
k
D
⃗ u
f ( 4,1,1) =
∂ f
∂ x
( 4,1,1) × a+
∂ f
∂ y
( 4,1,1) ×b+
∂ f
∂ z
( 4,1,1 ) × c
D
⃗ u
f ( 4,1,1) =( arctan 1 )
√
√
√
D
⃗ u
f ( 4,1,1) =
√
D
⃗ u
f ( 4,1,1) ≅ 19.
∇ z
x , y , z
=tan
y+ z
i , x sec
2
y+ z
j, x sec
2
y + z
k
∇ z
=tan
i , 4 sec
2
j, 4 sec
2
k
∇ z ( 4,3 ,− 1 )=−2,16 i, 23,098 j ,23,098 k
