Autómatas Industriales 3MV14 | Lista 1
1. Dasads
2. adas
3. Muestre que el conjunto de matrices de transformación homogénea en el plano
(T∈R3×3)
forma un grupo con la multiplicación de matrices como operación
producto.
Para demostrar que el conjunto de matrices de transformación homogénea en el plano
forma un grupo bajo la multiplicación de matrices, debemos verificar cuatro propiedades:
cerradura, identidad, inverso y asociatividad.
- Cerradura: Esto significa que el producto de dos matrices de transformación homogénea
también es una matriz de transformación homogénea. Una matriz de transformación
homogénea en el plano se define como:
Donde
R
es una matriz de rotación 2x2 y
d
es un vector de traslación 2x1. Para dos matrices
de transformación homogénea
T1
y
T2
, su producto
T1×T 2
es:
- Identidad: La matriz identidad en este conjunto es la matriz de identidad 3x3, que
representa la ausencia de transformación. Sea
I
la matriz de identidad 3x3, entonces I es
una matriz de transformación homogénea y para cualquier matriz de transformación
homogénea
T
, se cumple
I × T =T × I =T
. Por lo tanto, la identidad está en el conjunto.
- Inverso: Para cada matriz de transformación homogénea
T
, existe una matriz
T−1
tal que
T × T −1=T−1×T =I
, donde
I
es la matriz identidad. Dado que las matrices de
transformación homogénea son invertibles, sus inversos existen.
- Asociatividad: La multiplicación de matrices es asociativa, por lo que para tres matrices
T1
,
T2
y
T3
, se cumple
(T1×T 2)× T 3=T1×(T2×T 3).
Por lo tanto, el conjunto de matrices de transformación homogénea en el plano forma un
grupo bajo la multiplicación de matrices.