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Problema 1. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con la velocidad inicial
vo = 100 m s ; despreciando la resistencia del aire, determine:
a) La posición y velocidad del cuerpo al cabo de 5 s b) La posición y velocidad del cuerpo al cabo de 20 s c) La altura máxima que alcanza
Solución:
El cuerpo está sometido a un movimiento uniformemente acelerado. Si tomamos como positivo el sentido del movimiento en la dirección vertical hacia arriba, la velocidad inicial será positiva y la aceleración de la gravedad g será negativa en las ecuaciones del movimiento que son entonces:
𝑦 = 𝑦 0 + 𝑣 0 𝑡 − 12 𝑔𝑡 2
𝑣 = 𝑣 0 − 𝑔𝑡
Tomando como origen de coordenadas el suelo, y 0 = 0.
a) 𝑦 = � 100 ∙ 5 − 12 9.8 ∙ 52 �m = 377,5 m
𝑣 = (100 − 9.8 ∙ 5 ) m/s = 51 m/s
b) 𝑦 = � 100 ∙ 5 − 12 9.8 ∙ 202 �m = 40 m
𝑣 = (100 − 9.8 ∙ 20 ) m/s = -96 m/s
Obsérvese que la velocidad es negativa ya que a los 20 s el objeto está cayendo hacia abajo (dirección del eje y negativa según nuestro criterio de signos).
c) Para calcular la altura máxima que alcanza debemos considerar que cuando el cuerpo llega a lo más alto su velocidad es cero. Aplicaremos la siguiente expresión: 𝑣𝑓^2 − 𝑣 02 = 2𝑎∆𝑦, donde ∆𝑦 es la distancia recorrida. Tenemos que tener especial cuidado en colocar la aceleración con su signo en esta expresión (-9,8 m/s). Sustituyendo datos: (0^2 − 1002 ) 𝑚 𝑠 =^ −^2 ∙^ (9,8^ 𝑚/𝑠^
h = 510 m
Problema2. Desde la terraza de un edificio de 20 m de altura se tira hacia arriba una piedra con una velocidad inicial vertical de 5 m/s. Calcula: a) Hasta qué altura se eleva la piedra. b) Cuánto tiempo tarda en volver a pasar al nivel de la terraza y cuál será entonces su velocidad. c) ¿Con qué velocidad llega la piedra al suelo?
Este es un problema parecido al anterior. La diferencia estriba en que la posición inicial no es el suelo sino la terraza de un edificio. Las ecuaciones que utilizaremos son las mismas que en el ejercicio anterior:
𝑦 = 𝑦 0 + 𝑣 0 𝑡 − 12 𝑔𝑡 2 , 𝑣 = 𝑣 0 − 𝑔𝑡, 𝑣𝑓^2 − 𝑣 02 = 2𝑎∆𝑦
a) Igual que en el ejercicio anterior partimos del hecho de que la velocidad en lo más alto será nula. Partiendo de la ecuación: 𝑣𝑓^2 − 𝑣 02 = 2𝑎∆𝑦
Sustituyendo datos: (0^2 − 52 )^ 𝑚𝑠 = − 2 ∙ �9,8 (^) 𝑠𝑚 2 � ∆𝑦
∆𝑦 = 1,27 𝑚. En este caso ∆𝑦 = 𝑦𝑓 − 𝑦 0 siendo yf la altura, h, a la que llega la piedra e y (^0) la altura del edificio. Despejando la altura ℎ = ∆𝑦 + 𝑦 0 = (20 + 1,27)𝑚
ℎ = 21,27 𝑚
la altura del edificio. Despejando la altura ℎ = ∆𝑦 + 𝑦 0 = (20 + 1,27)𝑚
b) Para hacer esta parte del ejercicio hay que imponer la condición y = y 0. Esto es que la altura de la piedra coincide con la de la terraza. Sustituyendo en la ecuación: 𝑦 = 𝑦 0 + 𝑣 0 𝑡 − 12 𝑔𝑡 2 -> 𝑦 0 = 𝑦 0 + 𝑣 0 𝑡 − 12 𝑔𝑡 2 queda entonces la siguiente expresión:
𝑣 0 𝑡 − 12 𝑔𝑡 2 = 0. Sacando t factor común: 𝑡(𝑣 0 − 12 𝑔𝑡) = 0. Lo que nos da dos soluciones:
𝑡 = 0 y (𝑣 0 − 12 𝑔𝑡) = 0. La primera nos indica la piedra está al nivel de la terraza en el instante inicial. La segunda nos permite obtener el tiempo que tarda en volver a la terraza. Despejando queda:
𝑡 = 2𝑣 0 /𝑔 y sustituyendo datos: 𝑡 = (2 ∙ 5/9,8)𝑠 con lo que t = 1,02 s. Para calcular la velocidad en este instante, sustituimos el tiempo en la ecuación de la velocidad. Obteniéndose:
𝑣 = (5 − 9,8 ∙ 1,02)𝑚/𝑠
Es decir v = - 5m/s. Es decir la velocidad es la misma que la inicial pero en sentido contrario (la piedra está cayendo).
Problema 3. Un niño deja caer una piedra en un pozo si el choque de la piedra con el agua lo oye 2 segundos después de haber tirado la piedra, ¿Cuál es la profundidad del pozo? Dato: la velocidad del sonido es de 340 m/s.
Cuando la piedra cae al pozo, ésta está sometida a un movimiento uniformemente acelerado debido a la acción de la gravedad. El movimiento viene descrito por la ecuación: 𝑦 = 𝑦 0 − 12 𝑔𝑡 2 (1)
Si tomamos como origen de alturas la superficie del agua, cuando la piedra llega al agua se verifica: 0 = ℎ − 12 𝑔𝑡𝑃^2 , siendo h la altura del pozo, g la aceleración de la gravedad y tP el tiempo que tarda la pelota en caer al agua.
Por otro lado el sonido se mueve a velocidad constante, v (^) s , se verifica por tanto:
ℎ = 𝑣𝑠 𝑡𝑠 siendo ts el tiempo que tarda el sonido en recorrer la altura del pozo.
Igualando la altura h de las dos ecuaciones en la que aparece se obtiene: 1 2 𝑔𝑡𝑃
Por otro lado el tiempo que tarda la piedra en caer más el tiempo que tarda el sonido en alcanzar al niño es exactamente el tiempo que tarda el niño en oír el choque, es decir: 𝑡𝑠 + 𝑡𝑃 = 2 (3) Sustituyendo datos de la ecuación (2) se obtiene: 12 𝑔𝑡𝑃^2 = 𝑣𝑠 𝑡𝑠 = 12 𝑔𝑡𝑃^2
𝑡𝑃 =
