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Estad´ıstica
Problemas del tema 4
- La funci´on de densidad de una variable aleatoria continua X se define como:
f (x) =
k(a + bx) si x ∈ (0, 1); 0 si x 6 ∈ (0, 1).
Se sabe adem´as que la esperanza es E[X] = 47. Determina:
(a) El valor de las constantes a, b y k y la varianza de X.
(b) Funci´on de distribuci´on asociada a X.
(c) La mediana de X.
- Una variable aleat`oria discreta X pren nom´es els valors { 0 , 1 , 2 , 3 }. Sabem que la probabilitat de l’esdeveniment X = 0 ´es el doble de la probabilitat de l’esdeveniment X = 1. Sabem tamb´e que l’esperan¸ca de la variable ´es 2 i que E(X^2 ) = 5.
(a) Calculeu la funci´o de probabilitat f (x) de la variable X, ´es a dir, f (x) = P (X = x) per a x ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }.
(b) Calculeu la variancia de la variable X, ´es a dir, var(X).
(c) Es defineix una nova variable aleatoria Y = 2X − 1. Quin ´es el recorregut d’aquest variable? Calculeu P (3 < Y ≤ 5). Calculeu tamb´e l’esperan¸ca i la variancia de la variable Y.
- Sea la funci´on siguiente
F (x) =
0 , x < 2 x^2 − a b
, 2 ≤ x ≤ 4
1 , x > 4
(a) Calcula los valores a y b para que F (x) sea funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria absolutamente continua X.
(b) Calcula la desviaci´on t´ıpica de la variable aleatoria X.
(c) ¿C´u´al es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor inferior a 3.5 sabiendo que ha tomado un valor superior a 3?
- Consideramos la variable aleatoria X que tiene la siguiente funci´on de densidad
fX (x) =
a π(1 + x^2 )
, 0 < x < 1
0 , x 6 ∈ (0, 1)
(a) Determina el valor del par´ametro a ∈ R de manera que la funci´on fX sea realmente una funci´on de densidad de probabilidad.
(b) Calcula E(X).
(c) Calcula la funci´on de distribuci´on de probabilidad.
- Sea X el esfuerzo vibratorio en la paleta de una turbina de viento a una determinada velo- cidad, en un t´unel de viento. En el art´ıculo “Blade fatigue life assessment with application to VAWTS”publicado en la revista cient´ıfica Journal of Solar Energy Engineering se propone la distri- buci´on de Rayleigh, con funci´on de densidad
f (x) =
x θ^2 ·^ e
−x^2 2 θ^2 si x > 0 0 si x ≤ 0
como modelo para la distribuci´on de X, donde θ es un par´ametro (es decir un n´umero fijo).
(a) Comprueba que f es una funci´on de densidad.
(b) Calcula la funci´on de distribuci´on de la variable aleatoria continua X (es decir p(X ≤ x)).
- Una estructura met´alica puede sufrir, debido al calor, una dilataci´on que (medida en cent´ımetros) es una variable aleatoria X con funci´on de densidad de probabilidad dada por:
f (x) =
0 0 > x ax 0 ≤ x ≤ 3 b 3 < x < 5 b 3 (8^ −^ x)^5 ≤^ x^ ≤^8 0 8 < x
(a) Sabiendo que la funci´on de densidad de probabilidad es una funci´on continua de x, determina a y b.
(b) Si con un instrumento se ha observado que la estructura se ha dilatado m´as de 3 cent´ımetros, ¿con qu´e probabilidad la dilataci´on estar´a entre 3 y 5 cent´ımetros?
