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Ejercicios Resueltos del Tema 2
Ejercicio 1
Se ha pasado un test de 80 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla:
RESPUESTAS NÚMERO CORRECTAS DE PERSONAS [0, 10) 40 [10, 20) 60 [20, 30) 75 [30, 40) 90 [40, 50) 105 [50, 60) 85 [60, 70) 80 [70, 80) 65
a) Calcular la media, desviación media y desviación típica. b) Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles 20 y 85. c) ¿Cuál es el percentil de una persona que tiene 65 respuestas correctas?
Solución: Hacemos las tablas de frecuencias:
INTERVALO xi ni Ni xi ·ni xi^2 ·ni xi^ − x ⋅ ni [0, 10) (^5 40 40 200 1000) 1506, [10, 20) 15 60 100 900 13500 1660, [20, 30) 25 75 175 1875 46875 1325, [30, 40) 35 90 265 3150 110250 690, [40, 50) (^45 105 370 4725 212625) 245, [50, 60) (^55 85 455 4675 257125) 1048, [60, 70) 65 80 535 5200 338000 1786, [70, 80) 75 65 600 4875 365625 2101, (^600 25600 1345000) 10363,
a) 42 , 67 600
x = =
DM = =
b)
- Para la mediana Æ 600/2 = 300, luego voy al intervalo [40,50)
10 40 3 , 33 43 , 33 370 265
Me = +
- Para Q 1 Æ 600/4 = 150, luego voy al intervalo [20, 30)
Q = +
- Para Q 3 Æ (3/4)·600 = 450, luego voy al intervalo [50, 60) 10 50 9 , 41 59 , 41 455 370
Q = +
- Para P 20 Æ (20/100)·600= 120, luego voy al intervalo [20, 30)
10 20 2 , 66 22 , 66 175 100
P = +
- Para P 85 Æ (85/100)·600= 510, luego voy al intervalo [60, 70)
10 60 8 , 88 68 , 88 535 455
P = +
c) 600 82 , 5 100
= + k k d luego d
Ejercicio 2
a) Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística, donde n, N y f representan, respectivamente, la frecuencia absoluta, acumulada y relativa:
x n N f 1 4 0, 2 4 3 16 0, 4 7 0, 5 5 28 6 38 7 7 45 8 b) Calcula la media, mediana y moda de esta distribución
Solución a) La frecuencia relativa de 1 es 0,08 = 4/N, de donde N = 50, lo que nos permite completar la tabla. x n N f 1 4 4 0, 2 4 8 0, 3 8 16 0, 4 7 23 0, 5 5 28 0, 6 10 38 0, 7 7 45 0, 8 5 50 0, b) la media x = 4 , 76 ; la mediana es 5 y la moda es 6.
Aunque no se pide vemos gráficamente que
Me ≈ 14 , 8 ; Q 3 ≈ 17 , 8
Obtengamos los valores exactos, razonando sobre el polígono de frecuencias: (Lo hacemos aplicando proporcionalidad en el triangulo formado con el polígono de frecuencias)
Me: Q3:
28,23 19, 4 2, 12 2,75 14,
x x Me
=
= + = (^3)
35,3 16, 4 1 , 16 1,83 17,
x x Q
=
= + =
Los valores exactos son: Me = 14,75; Q 3 = 17,
Ejercicio 4
Observados los alquileres de un conjunto de despachos se ha obtenido: Alquileres en miles de pesetas ni
[0,15) 17 [15,30) 130 [30,45) 180 [45,60) 30 [60,75) 10 [75,90) 5 Calcula la moda y la mediana.
Solución: Como los datos son agrupados tenemos:
( ) ( )
( ) 15 33 , 75 200
50 45 30 30 180 30 180 130
180 130 30
( 1 ) ( 1 ))
1 1
⋅ − = + ⋅ = − + −
−
⋅ = − + −
− = + − +
− − i i i i i
i i i a n n n n
n n Mo l
- Para la mediana usamos el polígono acumulativo de frecuencias:
xi ni Ni [0,15) 17 17 [15,30) 130 147 [30,45) 180 327
[45,60) 30 357
[60,75) 10 367
[75,90) 5 372
1 1 1
1 1
− − − −
− − i i
i i i i i i
i
i a
n
n N
l l l
N N
n N
Me l
Ejercicio 5
Compara las desviaciones típicas de las distribuciones 1, 2, 3 y 4.
Al comparar dos de ellas, en caso de duda, pregúntate: ¿qué he de hacerle a ésta para que se parezca a la otra? Por ejemplo, para que la 1 se parezca a la 2, hemos de achicar las columnas extremas y aumentar la columna central. Por tanto, la 1 es más dispersa que la 2.
Solución: De menor a mayor desviación típica, se ordenarían así: 2, 3, 1, 4.
Ejercicio 6
En la siguiente distribución de notas, halla Me, Q 1 , Q 3 , P 80 , P 90 y P 99
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ni 7 15 41 52 104 69 26 13 19 14 Ni 7 22 63 115 219 288 314 327 346 360 en % 1,94 6,11 17,5 31,94 60,83 80 87,22 90,83 96,11 100
Solución: Me = P 50 = 5; Q 1 = P 25 = 4; Q 3 = P 75 = 6; P8o = 6,5; P 90 = 8; P 99 = 10
