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Documento que contiene problemas resueltos de un examen final de Matemáticas I para diferentes grados en Economía, ADE y ADE+DRET. Los problemas abarcan integrales, cálculo integral, funciones y sus derivadas, límites y continuidad.
Tipo: Exámenes
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PART COMUNA OBLIGATORIA PER A TOTHOM. Temes 7 i 8.
Problema 1. (a) (25 punts) Resol la seg¨uent integral: ∫ xe^2 xdx
Soluci´o: Resolem per parts. Recordem ∫ f (x)g′(x)dx = f (x)g(x) −
f ′(x)g(x)dx.
Considerem doncs
f (x) = x → f ′(x) = 1 g′(x) = e^2 x^ → g(x) =
e^2 xdx =
e^2 x
Per tant, ∫ xe^2 xdx =
xe^2 x^ −
e^2 xdx
=
xe^2 x^ −
e^2 x
e^2 x(2x − 1) + C
x
5 − x
y
(b) (25 punts) Utilitza el calcul integral per trobar l’area limitada per la funci´o f (x) = 5 − x i els eixos de coordenades. Soluci´o: La figura ilustra la situaci´o. Per calcular l’`area indicada hem de resoldre la integral
0 (5^ −^ x)dx. Per tant, ∫ (^5)
0
(5−x)dx =
0
5 dx−
0
xdx =
5 x−
x^2
0
[x(10 − x) 2
0
Problema 2. Suposem que avui (t = 0) plantem la llavor d’una palmera. L’equaci´o que mesura, l’alc¸ada de la palmera despr´es de t mesos ´es:
h(t) =
t − t 2 (a) (10 punts) Quina alc¸ada tindr`a dintre d’un mes? Soluci´o: Hem d’avaluar la funci´o h(t) a t = 1, es a dir,
h(1) = 1 −
PART TEMES 1, 2 i 3. NOMES l’ha de fer qui NO hagui superat aquesta part.
Donades les funcions:
f (x) = ex^ + 2x, g(x) =
x, h(x) = ln(3x + 1)
Calcula:
(10 punts) Expl´ıcitament el domini de (f ◦ g ◦ h)(x) Soluci´o: Els dominis de les funciones f , g, i h s´on IR, IR+, i x > −^13 respectivament. Per tant, el domini de (f ◦ g ◦ h)(x) es IR´ +
(10 punts)
(f + 5g g ◦ f
(x) Soluci´o: (^) ( f + 5g g ◦ f
(x) = ex^ + 2x + 5
x √ ex^ + 2x
(g ◦ f )(x) =
ex^ + 2x (g ◦ f )′(x) =
(ex^ + 2x)−^
(^12) (ex^ + 2)
Per tant, (g ◦ f )′(2) = 12 (e^2 + 4)−^12 (e^2 + 2).
(f ◦ h)(x) = eln(3x+1)^ + 2 ln(3x + 1) = 3x + 1 + 2 ln(3x + 1) (f ◦ h)′(x) = 3 + 2
3 x + 1
3 x + 1
x 0 = 0 f (x) = ex^ + 2x, f (0) = 1, f ′(x) = ex^ + 2, f ′(0) = 3
Per tant, l’equaci´o de la recta tangent ´es,
P (x) = f (0) + f ′(0)x = 1 + 3x.
x 0 = 0 h(x) = ln(3x + 1), h(0) = 0, h′(x) =
3 x + 1
h′(0) = 3
Per tant, l’equaci´o de la recta tangent ´es,
P (x) = h(0) + h′(0)x = 3x.
Dues rectes Q(x) i P (x) s´on perpendiculars si el producte de les seves pendents es igual a − 1. En el nostre cas doncs, Q′(x) = −
P ′(x)
Per tant, Q′(x) = −^13 , i la recta perpendicular a P (x) en el punt x = 0 es ´ Q(x) = −
x.
(b) (20 punts) Per quins valors d’a, la funci´o f es derivable en´ x = 1? Soluci´o: Per tal que la funci´o f (x) sigui derivable a x = 1 es condici´´ o necess`aria que sigui cont´ınua a x = 1. Per tant, la funci´o f (x) a considerar ´es
f (x) =
x^2 + x + 1 x^2 + 1 si 0 < x < 1 x^2 + 12 si x ≥ 1
La funci´o f (x) ser`a derivable a x = 1 si coincideixen els l´ımits f (^) −′(1) i f (^) +′(1), es a dir:
f (^) −′(1) = lim h→ 0 −
f (1 + h) − f (1) h = lim h→ 0
(1+h)^2 +(1+h)+ (1+h)^2 +1 −^
3 2 h
f (^) +′(1) = lim h→ 0 +
f (1 + h) − f (1) h = lim h→ 0
((1 + h)^2 + 12 ) − (^32) h
Com no valen el mateix, la funci´o f (x) no ´es derivable a x = 1. Si suposem que no ´es derivable podem usar una condici´o necess`aria, veient que: lim x→ 1 −^ f ′(x) 6 = lim x→ 1 +^ f ′(x)
Com:
lim x→ 1 −^
f ′(x) = lim x→ 1 −
(2x + 1)(x^2 + 1) − (x^2 + x + 1)2x (x^2 + 1)^2
lim x→ 1 +^ f ′(x) = lim x→ 1 +^ 2 x = 2
Per tant, no hi ha cap valor de a que faci la funci´o f (x) derivable a x = 1
Problema 2. (60 punts)
Troba les as´ımptotes i els intervals de concavitat i convexitat de la funci´o:
h(x) = x^2 ex−^1
Soluci´o: Considerem primer els intervals de concavitat i convexitat. Per aix`o hem d’estudiar el signe de la segona derivada de la funci´o h(x): dh dx = ex−^1 (2x + x^2 ) d^2 h dx^2 = ex−^1 (x^2 + 4x + 2)
El signe de la segona derivada de h(x) dep`en del signe de x^2 + 4x + 2. Aquest polinomi te dues arrels a x = −2 +
2 i x = − 2 −
La funci´o ´es c`oncava quan d (^2) h dx^2 <^0. La funci´o ´es convexa quan d (^2) h dx^2 >^0. Per tant,
d^2 h dx^2 < 0 per x ∈ (− 2 −
d^2 h dx^2
0 per x ∈ (−∞, − 2 −
Mirem a continuaci´o les as´ımptotes. El domini de la funci´o ´es el conjunt IR. La funci´o h(x) es cont´´ ınua en tot el seu domini. En conseq¨u`encia, no te as´ımptotes verticals. Per estudiar les as´ımptotes horitzontals, calculem
lim x→+∞ h(x) = ∞
x→−∞^ lim h(x) =^
Resolem el l´ımit
x→−∞^ lim x^2 ex−^1 =^ x→−∞lim
x^2 1 ex−^1 aplicant L’Hˆopital dos cops:
