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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • HOJA DE EJERCICIOS NO. 01
Semestre 2019-B Departamento de Formación Básica
- Dada la matriz A =
, calcule:
a) A
T
b) A − A
c) A + A
d) 3A
Solución.
a) Se tiene que:
A
T
b) Se tiene que:
A − A =
c) Se tiene que:
A + A =
d) Se tiene que:
3 A = 3
- Considere las matrices
A =
y^ B^ =
Calcule:
a) A + B
b) A
T
c) B
T
Solución.
a) Se tiene que:
A + B =
b) Se tiene que:
A
T
c) Se tiene que:
B
T
- Dado α ∈ C , considere los siguientes elementos de C
3 × 3 :
A =
1 α 0
0 2 α − 1
4 α − 4 − 8
,^ B^ =
α − 3 − 5
3 3 − 2 α − 1
5 1 3 α
y^ C^ =
− 3 − 2 α 1 − α
3 α 0 α + 1
− 3 α − 4 − α
Hallar las siguientes matrices:
a) A + B,
b) B − C,
c) (−B)
T ,
d) A + B + C,
e) 3A − B,
f ) ( 2 C − 2 B)
T ,
g) α A; y
h) ( 2 − α )A.
Solución.
a) A + B:
A + B =
1 α 0
0 2 α − 1
4 α − 4 − 8
α − 3 − 5
3 3 − 2 α − 1
5 1 3 α
1 + α α + (− 3 ) 0 + (− 5 )
0 + 3 2 + ( 3 − 2 α ) α − 1 + (− 1 )
4 α + 5 − 4 + 1 − 8 + 3 α
1 + α α − 3 − 5
3 5 − 2 α α − 2
4 α + 5 − 3 − 8 + 3 α
b) B − C:
B − C =
α − 3 − 5
3 3 − 2 α − 1
5 1 3 α
− 3 − 2 α 1 − α
3 α 0 α + 1
− 3 α − 4 − α
- Considere las matrices
A =
a b c
c b a
1 1 1
y^ B^ =
1 a c
1 b b
1 c a
Calcule A + B y AB.
Solución.
Tenemos que
A + B =
a + 1 b + a 2 c
c + 1 2 b a + b
2 c + 1 a + 1
y^ AB^ =
a + b + c a
2
2
2 2 ac + b
2
a + b + c 2 ac + b
2 a
2
2
2
3 a + b + c a + b + c
- Considere las siguientes matrices:
A =
y^ B^ =
a) Encuentre una matriz C tal que 2A + B − C es la matriz cero de R
3 × 2 .
b) Encuentre una matriz D ∈ R
3 × 3 tal que AB
T − BA
T
3 × 3 cuyas entradas son
todas igual a 2.
Solución.
a) Notemos que buscamos una matriz C tal que
2 A + B − C = 0
o equivalentemente,
C = 2 A + B.
Por tanto, la matriz buscada es
C =
b) Sea W ∈ R
3 × 3 la matriz cuyas entradas son todas iguales a 2, buscamos una matriz D tal que
AB
T − BA
T
a partir de lo cual tenemos que
D = −
(AB
T − BA
T − W).
Por tanto, la matriz buscada es
D =
- Demuestre que la suma de dos matrices de la forma A =
a b
−b a
, donde a y b son números reales, es
una matriz de la misma forma.
Solución.
Sean
A =
a b
−b a
y B =
c d
−d c
Tenemos que
A + B =
a b
−b a
c d
−d c
a + c b + d
−(b + d) a + c
Luego, se ha mostrado el resultado.
- Dadas las matrices
A =
y B =
encuentre una matriz X ∈ R
2 × 2 tal que 3( 2 A + B + X) = 5 (X − A + B).
Solución.
Supongamos que la matriz X existe, entonces, a partir de 3( 2 A + B + X) = 5 (X − A + B), realizando
operaciones de suma y producto, tenemos que X =
( 11 A − 2 B), Luego, la matriz buscada es
X =
- Sea Epq la matriz de R
2 × 2 que contiene un 1 en el lugar pq−ésimo y el elemento 0 en los demás lugares.
a) Obtenga E 11 , E 12 , E 21 y E 22.
b) Encuentre los reales a, b, c y d tales que:
aE 11 + bE 12 + cE 21 + dE 22 =
Solución.
a) Dado que p nos indica la fila y q la columna, tenemos que
E 11 =
, E 12 =
, E 21 =
y E 22 =
b) En virtud del literal anterior se tiene que
aE 11 + bE 12 + cE 21 + dE 22 =
a 0
0 b
c 0
0 d
a b
c d
Finalmente, por igualdad de matrices, obtenemos que
a = 1, b = 2, c = 1 y d = 4.
- Determinar x, y, z y w ∈ R tales que
x y
z w
x 6
− 1 2 w
4 x + y
z + w 3
c) De forma similar al literal b.
d) Tenemos que:
A( α C) =
n
k= 1
aik( α ckl ) = α
n
k= 1
aikckl
= α (AC).
De forma similar, se tiene que ( α A)C = α (AC). Por tanto, se ha mostrado que
A( α C) = α (AC) = ( α A)C.
- Utilizando las matrices
A =
, B =
, C =
D =
y^ E^ =
calcule:
a) AB;
b) BC;
c) B(C + D);
d) (E + A)B.
Solución.
a) AB =
b) BC =
c) B(C + D) =
d) (E + A)B =
- Sea x ∈ R , considere las matrices:
A =
y^ b^ =
x 4 1
¿Para qué valores de x se cumple que bAb
T = 0?
Solución.
Notemos que
bAb
T
2 x
2
que junto a la hipótesis bAb
T = 0 implica que 2x
2
- 8 x + 4 = 0, luego, x = − 2 −
2 o x = − 2 +
2, los
valores buscados.
- Sean A, B ∈ R
3 × 2 donde
aij = m´ax{i, j} y bij = i + j para cada i ∈ {1, 2, 3} y j ∈ {1, 2}.
Calcule:
a) A + B
b) AB
T
c) A
T B
Solución.
Las matrices que se obtienen son
A =
y^ B^ =
De donde
a)
A + B =
b)
AB
T
c)
A
T B =
- Sean A, B ∈ C
3 × 3 donde
apq = p − q y bpq =
(− 1 )p+q^ para cada p, q ∈ {1, 2, 3}.
Calcule:
a) AB
b) 2A + 3 B
c) A
T B
Solución.
1 + β = 1,
β = 0.
Observamos entonces que la única posibilidad es que β = 0 y en tal caso, todas las ecuaciones anteriores
se verifican. Por ende, para β = 0 y para todo α ∈ R , las matrices A y B conmutan.
- Sean a, b, c, d ∈ R y considere las matrices
A =
a b
y B =
c d
Demuestre que A y B conmutan si y sólo si ad − bc = 0.
Solución.
Tenemos que
AB =
ac ad
y BA =
ac bc
Por ende, tenemos que AB = BA y sólo si ad = bc, es decir, A y B conmutan si y sólo si ad − bc = 0.
- Sea A la matriz
A =
a b
0 a
donde a y b son reales distintos de cero. Encuentre todas las matrices B ∈ R
2 × 2 tales que A y B sean
conmutables.
Solución.
Sea B la matriz definida por:
B =
c d
e f
entonces,
AB =
ac + be ad + b f
ae a f
y BA =
ac bc + da
ae be + a f
Y ya que AB = BA, tenemos el sistema:
ac + be = ac,
ad + b f = bc + da,
a f = be + a f.
Resolvemos este sistema y obtenemos que e = 0 y c = f. Por lo tanto, todas las matrices que conmutan
con A son de la forma:
B =
c d
0 c
- Demuestre que para todos los valores de a, b, c, d ∈ R las matrices
A =
a b
−b a
y B =
c d
−d c
conmutan.
Solución.
Verifique que AB = BA y luego concluya que A y B conmutan.
- Sean A, B ∈ R
n×n y sean
C 1 = α 1 A + β 1 B y C 2 = α 2 A + β 2 B
donde α 1 , α 2 , β 1 , β 2 son escalares tales que α 1 β 2 6 = α 2 β 1. Demuestre que C 1 C 2 = C 2 C 1 si y sólo si AB =
BA.
Solución.
Notemos que α 1 β 2 6 = α 2 β 1 implica que α 1 β 2 − α 2 β 1 6 = 0. Además, se tiene que
C 1 C 2 − C 2 C 1 = ( α 1 β 2 − α 2 β 1 )(AB − BA)
Por tanto, C 1 C 2 − C 2 C 1 = 0 si y sólo si AB − BA = 0, es decir, se ha mostrado que, C 1 C 2 = C 2 C 1 si y sólo
si A y B conmutan.
- Determine dos elementos A y B de R
2 × 2 tales que AB = 0 y BA 6 = 0.
Solución.
Un ejemplo sencillo está dado por las matrices
A =
y B =
En efecto, tenemos:
AB =
y BA =
- Proponga un ejemplo, no trivial, de matrices A, B ∈ R
3 × 3 tales que
A
3 − B
3 = (A − B)(A
2
2 ).
Solución.
Notemos que al no existir referencia a la diferencia entre AB y BA, las matrices que buscamos con-
mutan entre sí. Ahora, utilizando el ejercicio 18, tenemos que para valores a = 1, b = 2, c = 3 y d = − 1
obtenemos las matrices
A =
y^ B^ =
que verifican
A
3 − B
3
y^ (A^ −^ B)(A
2
2 ) =
- Considere un conjunto de n estaciones entre las cuales puede o no haber comunicación. Denotemos esta
situación en una matriz A = (aij) donde:
aij =
1 si hay comunicación de i a j.
0 si no hay comunicación.
0 si i = j.
a) Realizado la multiplicación de matrices tenemos que
QQ
T
a
b
c
a b c
a
2 ab ac
ab b
2 bc
ac bc c
2
Notemos también que
M
2
0 c −b
−c 0 a
b −a 0
0 c −b
−c 0 a
b −a 0
−b
2 − c
2 ab ac
ab −a
2 − c
2 bc
ac bc −a
2 − b
2
por lo tanto
P = I 3 + M
2
−b
2 − c
2 ab ac
ab −a
2 − c
2 bc
ac bc −a
2 − b
2
1 − b
2 − c
2 ab ac
ab 1 − a
2 − c
2 bc
ac bc 1 − a
2 − b
2
Ahora, como a
2
2
2 = 1 tenemos que
1 − b
2 − c
2 = a
2 , 1 − a
2 − c
2 = b
2 y 1 − a
2 − b
2 = c
2 ,
por lo tanto
P =
a
2 ab ac
ab b
2 bc
ac bc c
2
.^ (1)
Así, por (1), tenemos que
P = QQ
T
. (2)
Por otro lado,
Q
T Q =
a b c
a
b
c
a
2
2
2
b) Por (2) tenemos que P = QQ
T , y, por ende, gracias a la propiedad asociativa del producto de
matrices,
P
2 = (QQ
T )(QQ
T ) = Q(Q
T (QQ
T )) = Q((Q
T Q)Q
T ).
Pero, por (3) se tiene que Q
T Q = 1, así
P
2 = Q( 1 Q
T ) = QQ
T = P,
donde nuevamente hicimos uso de (2).
c) Por (2) tenemos que P = QQ
T , por ende
PM = (QQ
T )M = Q(Q
T M).
Ahora,
Q
T M =
a b c
0 c −b
−c 0 a
b −a 0
y, por ende
PM = Q 0 = 0.
De manera análoga,
MP = M(QQ
T ) = (MQ)Q
T
y
MQ =
=^ 0,
por ende
MP = 0 Q
T = 0.
Con esto,
PM = MP = 0,
cómo se deseaba.
- Considere la matriz
A =
y sea B = A − I; donde I es la identidad. Calcule B
n para todo n ∈ N
∗ .
Solución.
Para n = 1,
B
1 = B = A − I =
Para n = 2,
B
2 = BB =
Para n = 3,
B
3 = B
2 B =
=^ 0.
que es la matriz nula.
Por tanto, para cada n ≥ 3, tenemos que B
n = B
3 B
n− 3 = 0.
- Sea A =
cos(x) sen(x)
− sen(x) cos(x)
a) Determine A
2 .
b) Determine A
3 .
c) Conjeture la forma para A
n , para n ∈ N
∗ .
d) Demuestre que se verifica la conjetura planteada en el literal anterior.
Solución.
Por i) y ii) junto con el teorema del Principio de Inducción Matemática, concluimos que
A
n
cos(nx) sen(nx)
− sen(nx) cos(nx)
es verdad, para cada n ∈ N
∗ .
- Considere la matriz A =
a) Conjeture la forma para A
n , para n ∈ N
∗ .
b) Demuestre que se verifica la conjetura planteada en el literal anterior.
Solución.
a) En virtud de los literales a, b y c del ejercicio 26, obtenemos que
A
n
1 − 2 n
para cada n ∈ N
∗ .
b) Utilice el teorema del Principio de Inducción Matemática.
- Considere la matriz A =
a) Conjeture la forma para A
n , para n ∈ N
∗ .
b) Demuestre que se verifica la conjetura planteada en el literal anterior.
Solución.
Verifique que
A
n
n 22 n^ − 3 n^ − 1 2
0 2
n − 2
n
n
n
para cada n ∈ N
∗ .
Para obtener este resultado proceda como en el ejercicio anterior, junto con la fórmula
aij = a + b 2
n
n
para determinar los valores de las posiciones a 12 , a 13 y a 23 en A
n , es decir, para cada posición obtenga
un sistema de ecuaciones lineales tres por tres en las variables a, b y c, a partir de la información n = 1
y A
1 ; n = 2 y A
2 ; n = 3 y A
3 .
Ejercicios sugeridos: 3b, 3c, 8, 10a, 15a, 17, 18, 20, 24a, 24b y 26.
