Ejercicio 5: aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos.
Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con
ayuda de GeoGebra u otras herramientas.
b. ¿Cuál es la ecuación cartesiana del plano que contiene los puntos 𝑇 (−2,0, −3), 𝑃 (3,
−1, −1) y 𝑄 (0,4,5)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha
ecuación y grafique el plano correspondiente.
T (−2,0,-3),P (3,-1-1) y Q (0,4,5)
𝑤=(𝑥,𝑦,𝑧)
se hallan los vectores 𝑇𝑃
𝑦 𝑇𝑄
𝑇𝑃
=𝑃− 𝑇 = (3−(2),(−1−0),(−1−(−3)
𝑇𝑃
=5, -1,2
𝑇𝑄
= 𝑄− 𝑇 = (0−(−2),(4−0),(5−(−3)
𝑇𝑄
=〈2,4,8〉
Se halla vector normal al plano 𝑛
esto se obtiene por el producto cruz de 𝑇𝑃
∗ 𝑇𝑄
𝑇𝑃
∗ 𝑇𝑄
=〈5,−1,2〉∗〈2,4,8〉
|𝑖 𝑗 𝑘
5 −1 2
2 4 8| = |−1 2
4 8|𝑖 −|5 2
2 8|𝑗 + |5 −1
2 4 |𝑘
(−8− 8)𝑖 − (40−4)𝑗 +(20− (2)𝑘 = −16𝑖−36𝑗+22𝑘
𝑛
=〈−16,−36,22〉
Se coloca otro punto en el plano al cual llamaremos w=(x, y,z) para determinar el vector 𝑇𝑊
𝑇𝑊
= 𝑊− 𝑇 = (𝑋− (−2),(𝑌 −0),(𝑍 −(−3)=〈𝑋+2,𝑌,𝑍+3〉
Si dos vectores son perpendiculares el producto es igual a cero entonces:
𝑇𝑤
∗𝑛
=0
〈𝑋+2,𝑌,𝑍+3〉∗〈−16,−36,22〉=0
(𝑥+2)−16+(𝑦)−36+(𝑧+3)22=0
−16𝑥−32−36𝑦+22𝑧+66=0
La ecuación del plano seria:
−8𝒙−15𝒚+11𝒛=−17
