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Co
nfi
de
nti
al
- Realice el cálculo de los siguientes límites:
a.
lim
x → 3
x
2
− 8 x + 15
x
2
Se empieza por factorizar las expresiones del numerador y denominador:
x
2
− 8 x + 15 =( x − 3 )( x − 5 )
=> el trinomio se sacan las raíces y 2 términos que sumandos
den -8 y multiplicados -
x
2
− 9 =( x + 3 )( x − 3 ) => para este caso se aplica binomios al cuadrado
( x − 3 )( x − 5 )
( x + 3 )( x − 3 )
( x − 5 )
( x + 3 )
lim
x → 3
x − 5
x + 5
b.
lim
x → 0
x
3
− 2 x
2
x
3
− 9 x
Se empieza por factorizar las expresiones del numerador y denominador:
x
3
− 2 x
2
2
− 2 x + 4 )
=> sacamos factor común
x
3
− 9 x = x ( x
2
− 9 ) => sacamos factor común
x ( x
2
− 2 x + 4 )
x ( x
2
x
2
− 2 x + 4
x
2
=> eliminamos términos comunes
lim
x → 0
x
2
− 2 x + 4
x
2
2
2
c.
lim
x→
π
2
tan
( x ¿)
cos( x )
Co
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de
nti
al
Se puede aplicar una identidad trigonométrica:
cos( x )
= sec ( x )
lim
x→
π
2
sec ( x ) ∙ tan( x ¿)¿
=> se aplica multiplicación de límites.
lim
x→
π
2
sec ( x )
=> por regla de limite es − ∞
lim
x→
π
2
tan( x ¿)¿
=> por regla de limite es
d. Sea f ( x )= 3 x
2
− 2 x + 1 , realice el siguiente límite:
lim
h→ 0
f ( x + h )− f ( x )
h
h = ∆ x
f ( x + h )= 3 ( x + h )
2
− 2 ( x + h )+ 1
lim
h→ 0
3 ( x + h )
2
− 2 ( x + h )+ 1 −( 3 x
2
− 2 x + 1 )
h
Se realiza las operaciones:
lim
h→ 0
3 x
2
2
− 2 x − 2 h + 1 − 3 x
2
h
Se cancelan términos y después factorizamos termino común
lim
h→ 0
6 xh + 3 h
2
− 2 h
h
=lim
h → 0
h ( 6 x + 3 h − 2 )
h
lim
h→ 0
6 x + 3 ∙ 0 − 2
f
'
x
= 6 x − 2
Co
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de
nti
al
Se utilizó el graficador Desmos para determinar las funciones:
Figura 1. Grafica función del punto a.
Figura 2. Grafica función del punto b.
Figura 3. Grafica función del punto c.
Co
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de
nti
al
Figura 4. Grafica función del punto d.
Resultados: cuando se graficaron las diferentes funciones a simple vista no pude
determinar el resultado que debía ser en cada punto, sin embargo, al desarrollar cada
inciso se podía ver el porque del resultado y si converge, o si el límite tiende al infinito.
- Determine en dónde, las siguientes funciones son continuas. Justifique su respuesta.
a.
f
x
x
3
− 2 x
2
x
3
− 9 x
x ( x ¿¿ 2 − 2 x + 4 )
x ( x ¿ ¿ 2 − 9 )¿
¿ = > empezamos factorizando, cancelo términos
f
x
x
2
− 2 x + 4
x
2
=> se igual a cero el denominador a 0
x
2
x
2
=> x = ±
x = ± 3
Justificación: x = 3 , x =− 3
f ( 3 )=
3
2
3
f (− 3 )=
3
2
3
b. D
Co
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al
d.
j
x
5 x
3
x
2
− 6 x + 9
5 x
3
( x − 3 )( x − 3 )
Justificación:
x = 3
j ( 3 ) =
3
2
=> ∞
Co
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de
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al
Una empresa se crea en el año cero. En el año uno está valorada en 1,5 (3/2) millones de dólares, mientras que en el año cuatro está valorada en
0,75 (3/4) millones de dólares y en el año seis está valorada en 2,75 (11/4) millones de dólares. Se estima que la relación año de valoración ( 𝑥
)
vs. la valoración de la empresa (𝑦) está descrita por una parábola con ecuación x
2
− 6 x − 4 y + 11 = 0
Determine, en el periodo de cero a diez años:
a. El año con peor valoración de la empresa.
b. La valoración de la empresa al momento de su creación.
c. El periodo de tiempo en el que la empresa perdió valor con respecto a su valoración
inicial.
d. La valoración de la empresa cuando el x se acerca a 3 por derecha y por izquierda.
¿Qué puede concluir? Justifique su respuesta.
x
2
− 6 x − 4 y + 11 = 0
(− 1 ) ∙ − 4 y =− x
2
4 y = x
2
− 6 x + 11
y =
x
2
− 6 x + 11
Realizamos la tabla de valores tomando del año 0 a 10 y utilizamos la ecuación despejada:
x y
0
11/
= 2,
1 6/4 = 1,
2 3/4 = 0,
3 2/4 = 0,
4 3/4 = 0,
5 6/4 = 1,
6
11/
= 2,
7
18/
= 4,
8
27/
= 6,
9
38/
= 9,
10
51/
=
12,
5
a. El año con peor valoración de la empresa.
El año con peor valoración fue el año 3 = 0,
Co
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de
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al
BIBLIOGRAFÍA
Purcell, E., Rigdon, S., y Varberg, D. (2007). Límites. En Cálculo (pp. 68-73). Pearson
Educación.
Smith, R., Minton, R., y Rafhi, Z. (2019). Límites y continuidad. En Cálculo: trascendentes
tempranas (pp. 68-84). McGraw-Hill.
