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Problemas de ´Algebra Parte 1
- Escribir los siguientes n´umeros complejos en la forma a + b i. (a) (2 + 3i) + (4 + i);
(b) (2 + 3i)(4 + i);(c) (2 + 3i)/(4 + i); (d) (2 + 3i)
3 ; (e) e
iπ ; (f) e
iπ/ 2 ; (g) e
−iπ ; (h)
e
iπ/ 4 .
- Determinar (a)
i; (b)
3
- Factorizar los polinomios siguientes. (a) p(z) = z
4
2
3 − 22 z
2 −
4 z + 48.
- Encontrar un polinomio p(z) de grado 2, tal que p(1) = 2, p(2) = 6 y p(3) = 16.
- Escribir en forma vectorial y matricial los sistema de ecuaciones lineales siguientes
a)
x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1,
3 x 1 + 2x 2 + x 3 = 7,
2 x 1 + x 2 + 2x 3 = 1.
b)
x 1 + 3x 2 + x 3 = 3,
3 x 1 + 9x 2 + 4x 3 = − 7
2 x 1 − x 2 + x 3 = 6.
- Escribir en forma vectorial y matricial el sistema de ecuaciones lineales siguiente
3 x 2 − 6 x 3 + 6x 4 + 4x 5 = − 5
3 x 1 − 7 x 2 + 8x 3 − 5 x 4 + 8x 5 = − 9
3 x 1 − 9 x 2 + 12x 3 − 9 x 4 + 6x 3 = 15..
- Calcular el producto F G de las siguientes matrices
F =
, G =
- Las matrices de Pauli son las siguientes tres matrices
σ 1 =
, σ 2 =
0 −i
i 0
, σ 3 =
a) Demostrar que son autoadjuntas. b) Calcular todos los productos σiσj (i, j =
1 , 2 , 3). c) Calcular todos los conmutadores [σi, σj ] (i, j = 1, 2 , 3).
- Considerar las siguientes tres matrices
0 −i 0
i 0 −i
0 i 0
0 i 0
a) Demostrar que son autoadjuntas. b) Calcular todos los productos ΣiΣj (i, j =
1 , 2 , 3). c) Calcular todos los conmutadores [Σi, Σj ] (i, j = 1, 2 , 3).
- Calcular las inversas de las matrices siguientes.
(a) F =
, (b) G =
, (c) H =
- Determinar si las matrices siguientes tienen la forma escalonada y la forma escalo-
nada reducida
(a)
0 i − 1 2 1
(^) , (b)
(^) (c)
- Encontrar la forma escalonada reducida de las matrices
(a)
, (b)
3 − i 1 − 2 i −7 + 5i 4 + 3i
1 + 3i 1 + i − 6 − 7 i 4 i
0 1 1 − 3
- Reducir a la forma escalonada la matriz
- Sean los subespacios de R
3
M 1 = {(x 1 , x 2 , x 3 ) : − 5 x 1 +x 2 +3x 3 = 0}, M 2 = lin{(2, 0 , 1), (10, 1 , 3), (2, 3 , −5)}.
a) Hallar una base de M 1. b) Hallar una base de M 2 y sus ecuaciones impl´ıcitas.
c) Una base de la intersecci´on M 1
M 2.
d) Una base de M 1 + M 2.
- Sean los subespacios de R
4
M 1 = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) : x 1 + x 2 + x 3 = 0, x 2 + x 3 + x 4 = 0, x 1 + x 4 = 0},
M 2 = lin{(0, 1 , 0 , 0), (1, − 1 , 0 , 1), (0, 0 , 1 , 2)}.
Hallar bases de su suma M 1 + M 2 y de su intersecci´on M 1
M 2. Probar que
R
4 = M 1
M 2
- Sean los subespacios de R
4
M 1 = lin{(1, 1 , 0 , 1), (2, 1 , a, 0), (1, 0 , 3 , −1)}.
M 2 = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) : x 1 − x 2 = 0, x 1 + x 2 + x 4 = 0},
siendo a un par´amero real.
a) Hallar una base de M 2
b) Determinar los valores de a para los que M 1 + M 2 = M 1
M 2.
- Sea la aplicaci´on lineal T : R
3 7 → R
3 tal que
T (e 1 + e 2 ) = 4e 3
T (e 1 − e 2 ) = 2e 2
T (e 2 + e 3 ) = 2e 3 − e 2
a) Calcular la matriz asociada en la base can´onica B = {e 1 , e 2 , e 3 }.
b) Calcular bases de KerT e ImT.
- Sea la aplicaci´on lineal T : R
4 7 → R
4 tal que
T (e 1 + e 2 ) = e 3 + 2e 4
T (e 1 − e 2 ) = 3e 3 + e 4
T (e 3 + 2e 4 ) = 0
T (3e 3 + e 4 ) = 0
Calcular la matriz asociada en la base can´onica B = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 }.
- Hallar el n´ucleo y la imagen de la aplicaci´on lineal dada en la base can´onica de C
3
por la matriz
A =
3 i 3 0
1 + i 1 1
- Sea la aplicaci´on lineal T dada en la base can´onica de R
4 por la matriz
A =
Determinar KerT , ImT , KerT + ImT y KerT ∩ ImT.
- Sean los subespacios de R
3
M 1 = {(x 1 , x 2 , x 3 ) : x 1 + x 2 + x 3 = 0}, M 2 = lin{(0, 1 , 2), (− 1 , 3 , 4), (2, − 8 , −12)}.
a) Hallar bases de M 1 + M 2 y de M 1
M 2.
b) Sea T : R
3 7 → R
3 una aplicaci´on lineal tal que KerT = M 1 y T (0, 1 , 1) = (0, 2 , 2).
Calcular la matriz asociada de T en la base can´onica.
- Sean las permutaciones en S 4 :
σ =
, τ =
a) Calcular στ.
b) Descomponer en transposiciones σ, τ y στ y calcular sus paridades.
- Sea la permutaci´on en S 5 :
σ =
a) Calcular σ
− 1 y σσ.
b) Determinar la paridad de σ.
- Probar que si A es una matriz n × n triangular superior (aij = 0 si i > j) o inferior
(aij = 0 si i < j), entonces
|A| = a 11 a 22 · · · ann.
- Calcular: (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 0 0 0
- Calcular mediante operaciones con combinaciones lineales de filas y columnas
1 − α 1 1 1
1 1 + α 1 1
1 1 1 − β 1
1 1 1 1 + β
