ejercicios cinemática, Ejercicios de Dinámica de Fluídos

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Ejercicios

Cinemática

1. En un fluido donde la velocidad es 𝐯𝐯�⃗^ = 𝑢𝑢𝐢𝐢⃗ + 𝑣𝑣𝐣𝐣⃗ + 𝑤𝑤𝐤𝐤⃗, indicar razonadamente cómo sería la

derivada material de la siguiente propiedad:

𝑨𝑨��⃗^ = 𝐴𝐴𝑥𝑥(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝐢𝐢⃗ + 𝐴𝐴𝑥𝑥(𝑧𝑧, 𝑡𝑡)𝐣𝐣⃗

Si ahora, T, es el campo de temperaturas de una región del océano:

a) Razonar cómo se expresaría su derivada material en un punto de dicha región donde no

existe corriente y se está produciendo una reacción exotérmica.

b) Razonar cómo se expresaría su derivada material si además de los supuesto en el apartado

anterior existe una corriente horizontal dada por 𝐯𝐯�⃗ = 𝑢𝑢𝐢𝐢⃗ + 𝑣𝑣𝐣𝐣⃗

Solución:

x x

y y

A A

u v DA x^ y

Dt A A w t z

 ∂^ ∂ 

= ^ 

 ∂^ ∂ 

a)

DT T

Dt t

b)

DT T T T

u v Dt t x y

1. Si el campo de velocidad 𝐯𝐯�⃗ = 2𝑥𝑥𝑦𝑦𝐢𝐢⃗ − 𝑦𝑦 2 𝐣𝐣⃗ representa el flujo horizontal en una región costera

donde una planta desalinizadora ha vertido en su superficie sus salmueras que tiene la siguiente

concentración: 𝐶𝐶(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = 𝐶𝐶 0 𝑒𝑒

−𝑥𝑥

(^2) +𝑦𝑦 2 𝑅𝑅^2 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆^ donde C 0 , R, 𝜆𝜆=ctes

determinar la velocidad de cambio de la concentración del contaminante (d C /dt) en la superficie.

Solución:

2 2 2

2 3

2 2 0

x y dC x y y (^) R t C e e dt R R

λ

  −^ − = − (^)  + +   

1. Las trayectorias de las partículas de un fluido vienen dadas por las siguientes ecuaciones,

donde a y ω son constantes, 𝑥𝑥 = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 (𝜔𝜔𝑡𝑡)𝑒𝑒 𝑎𝑎𝜆𝜆; 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝜔𝜔𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑎𝑎𝜆𝜆; 𝑧𝑧 = 𝑒𝑒 −2𝑎𝑎𝜆𝜆

Obtener el campo de velocidades del fluido en representación euleriana (𝐯𝐯�⃗ = 𝐯𝐯�⃗ (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)).

b) A partir del resultado anterior deducir la ecuación de las líneas de traza a los 3 segundos y,

la trayectoria de la partícula fluida que pasó por el punto de suministro de trazador 3

segundos después de haber iniciado dicho suministro.

Solución :

a) Líneas de traza:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 y

t

t

x t e e

t e e

λ

λ

− −

para cualquier 𝜆𝜆 𝜖𝜖 [𝑡𝑡 0 , 𝑡𝑡]

b) Líneas de traza a los 3s y trayectorias3s más tarde de haber iniciado el suministro:

( ) ( )

( ) ( )

2 3

2 3

y 9

x e e

e e

λ

λ

λ

λ

− −

( ) ( )

( )

( ) ( )

0

0

2 2 3 0

2 2 3 0

y 3

t t

t t

x t t e e

t t e e

− +

1. Para un fluido que se mueve con velocidad: 𝐯𝐯�⃗ = 𝐵𝐵𝑦𝑦𝑧𝑧𝐢𝐢⃗ + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑧𝑧𝐣𝐣⃗ + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑦𝑦𝐤𝐤⃗ donde B=cte.

a) Determinar la ecuación de las líneas de corriente,

b) Calcular el flujo a través de una superficie cuadrada de lado L, paralela al plano XY.

Solución:

a) Líneas de corriente:

2 2 2 2 2 2

1 ;^2 ; 3 2 2 2 2 2 2

x y x z y z − = C − = C − = C

b) Flujo volumétrico:

4

4

B

Q = L

7. Para el siguiente flujo: 𝐯𝐯�⃗ = 𝑥𝑥𝑡𝑡𝐢𝐢⃗ + 2𝑦𝑦𝑡𝑡𝐣𝐣⃗ + 𝑧𝑧𝑡𝑡𝐤𝐤⃗

a) Determinar la ecuación de las líneas de corriente. Particularizar el resultado anterior a las

que pasan por el punto (1,1,1).

b) Determinar la ecuación de las líneas de traza que forman las partículas fluidas que a partir

del instante t=0 pasan por el punto (1,1,1).

Solución :

a)

2 2 x = C z 1 ; y = C 2 (^) x ; y = C 3 z

En el punto (1,1,1):

2 2 x = z ; y = x ; y = z

b) Líneas de trazas:

2 2

2 2

2 2

2

2

y

t

t

t

x e

e

z e

λ

λ

λ

−

−

−

para cualquier 𝜆𝜆 𝜖𝜖 [0, 𝑡𝑡]

1. El movimiento de un fluido de densidad uniforme, ρ, está gobernado por el siguiente campo de

velocidades 𝐯𝐯�⃗ = 𝐴𝐴𝑥𝑥𝑦𝑦𝐢𝐢⃗ − 𝐴𝐴𝑥𝑥 2 𝐣𝐣⃗ donde A= cte.

a) Calcular el flujo másico, 𝑚𝑚̇, a través de una superficie cuadrada de lado L perpendicular al

eje X que pasa por el punto x= L.

b) En las condiciones del apartado anterior calcular el flujo de momento lineal, 𝑝𝑝⃗̇.

c) Si el campo de temperaturas viene dado por 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 0 𝑒𝑒

− 𝑥𝑥

2 𝑎𝑎𝑎𝑎 (^) donde T 0 y a son constantes,

determinar su tasa de cambio con el tiempo. Particularizar esta tasa al caso que no haya

transporte advectivo.

Solución:

a)

m  = ρ AL

b)

2 6

p ρ A L

= ^ 

c) (^) [ ]

2

2 1 2

Dt x Ayt T Dt at