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Página
Índice Modelado de circuitos eléctricos usando ecuaciones
- Introducción a las ecuaciones diferenciales
- Ecuaciones diferenciales de primer orden
- Circuito RL CD ODE's
- Teorema de Taylor
- Deducción de la fórmula numérica de Euler
- Circuito RL CA ODE's
- Circuito RC CD ODE's
- Circuito RC CA ODE's
- Transformada de Laplace
- Circuito RL CD Laplace
- Circuito RL CA Laplace
- Circuito RC CD Laplace
- Circuito RC CA Laplace
- Circuito RLC CD Laplace
- Circuito RLC CA Laplace
Diseñar un sistema es hacer que responda como se desea
Para diseñar el sistema se requiere dominar conceptos tales como:
Trigonometría
Álgebra (Fracciones parciales)
Cálculo diferencial
Cálculo integral (Integración por partes)
Las integrales son la puerta hacia nuevos universos abstractos
La Transformada Z Modela sistemas discretos (muestreo, electrónica, discontinuidades)
Un caso especial es la Transformada de Fourier Modela funciones periodicas (frecuencia, oscilaciones, números complejos)
Un caso especial es la Transformada de Laplace Crea un universo abstracto donde no hay trigonometría, derivadas, integrales,
todo se resuelve con álgebra
Modelar la naturaleza
Predecir la respuesta de los sistemas
La naturaleza se modela prestando atención a los cambios Los cambios se modelan usando ecuaciones diferenciales
En las ecuaciones diferenciales la incognita es una función o ecuación, no una variable Se llevan cientos de años resolviendo ecuaciones diferenciales y estamos lejos de dominarlas
Ecuaciones diferenciales
¿Se pueden resolver? R. Algunas
¿Cuáles? R. Las Ordinarias y Lineales, órden 1 y algunas de órden superior
¿Hay algún método rápido y general? R. No
Hay algunas técnicas (variables separables, coeficientes indeterminados, variacion de parámetros, series de potencias, etc.)
Fórmulas que aplican a casos específicos
Soluciones numéricas (Euler, Runge Kutta, etc.)
Técnica de Elemento Finito
Obtener las ecuaciones del sistema (95 % del esfuerzo)
Resolver ecuaciones diferenciales (5% )
Transformada de Laplace
Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales
(^) i t ce e e f tdt
p tdt ptdt ptdt ( ) ()
() () ()
dt
dit i tn itn tn tn n
( ) ( (^) 1 ) ( )( 1 )
DISEÑO DE SISTEMAS
Finalmente ya podemos modelar sistemas físicos
^ j^ n
X z Zxn xn Ae
() [] []
0
F ( s) f(t)(s) e f(t )dt
st L
Dado el siguiente circuito calcular la i(t).
Aplicando la Ley voltajes (mallas) de Kirchhoff, se obtiene:
En la ecuación anterior la fuente tiene signo positivo y las cargas
negativo.
En la resistencia se utiliza la Ley de Ohm.
El voltaje de la bobina está dado por:
Sustituyendo en la ecuación 1 se obtiene.
La ecuación anterior se puede resolver usando la siguiente ecuación
v v V
v v v
v
R L
R L
0
0
1
2
R 2
v 5 V
L 0. 1 H
3
i(t) Ce e e f(t) dt
p(t)dt p(t)dt p(t)dt
v dt
di t i t R L
L R ^
v R (t )iR(t)R
dt
dit vLt L
Circuito RL en CD usando
ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden
RL CD EDO.xlsx
RL CD EDO.mp
t
t
t
u u
t
t t
t t t
e
e dt
e dt
du dt
dt
du
u t
e du e
e dt
e dt e dt
i(t) Ce e e dt
p(t)dt dt dt t
i t
dt
di t
i t
dt
di t
i t
dt
di t
20
20
20
20
20 20
20 20 20
20
1
20
20
1
20
20
20
20
20
50 50 50
50
20 20 1 20
20 ( ) 50
( )
- 1
5 ( )
- 1
( ) 2
- 1
5 ( )
- 1
( ) 2
Sustituyendoenlaecuaciónseobtiene:
t t t t t
t t t
i(t) Ce e e Ce e
e dt e e
t i(t) e
20
50
20
50
SOLUCIÓN
20
50
20
50
Sustituyendoenlasoluciónseobtienefinalmente:
20
50
20
50 0
20
50
Sustituyendoestacondicióninicialseobtiene:
cierreelinterruptorescero,porlotantoi(t 0) 0
untiempoconocido,enestecasolacorrienteantesdeque
ParaevaluarlaconstanteC,sesustituyelacorrienteen
20
50 ( 1 )
20
50
20
20
20 20
t
t
t t
i(t) e
C
C
i(t) Ce
i(t) Ce Ce
. Cambios experimentados por la botella . Valor inicial de la función, punto donde se deja caer la botella . Lugar donde la botella deja de moverse (playa de una isla), "solución"
En la figura se ilustran dos casos. Si la
botella se deja caer en el punto A, las
corrientes hacen que la botella llegue a
un destino donde se deja de mover
(solución), la playa de una isla por
ejemplo. A esto se le llama que el
sistema converge.
Un tercer caso puede ser que las
corrientes hagan que la botella se aleje
mas y mas de la isla (solución). Esto
significa que el sistema diverge y las
fuerzas que empujan a la botella crecen
en vez de ir disminuyendo.
Si la botella se deja caer en el punto B, las corrientes hacen que
la botella nunca se deje de mover ya que cae en un bucle, esto
significa que el sistema no converge a una solución.
Por ejemplo, suponga una botella vacia y sellada que se arroja al mar, el
mar se esta moviendo, la botella es empujada mas fuerte por las olas
más próximas (primeras derivadas), pero su trayectoria depende
tambien aunque en menor medida de las olas más lejanas (derivadas de
orden superior). Lo que si es evidente, es que si los patrones de
movimiento no cambian, la botella llegará al mismo destino, no importa
en que parte de la trayectoria se suelte.
B
A
n n
n
x a dx
d f a
n
x a dx
d f a x a dx
df a f x f a
( )
!
1 ...
( )
2!
( ) 1
1!
1 ( ) ( )
2 2
2
Dada la serie de Taylor
Tomando solo la primer derivada y despreciando las derivadas de orden superior
El error se minimiza si "x" y a son muy próximos, a esto se llama incremento o paso de integración
Normalmente el paso de integración es muy pequeño.
Debido a este error a los métodos numéricos se les denomina métodos aproximados
En la fórmula anterior: "f" es la variable desconocida (en nuestro caso la corriente)
"x" es la variable independiente (en nuestro caso t)
"f(a)" es el valor de la incognita en un punto conocido (en nuestro caso, la corriente en algun tiempo conocido, en t=0),
"a" es un valor específico de la variable independiente (en nuestro caso es el paso de integración inmediato anterior)
Sustituyendo estas consideraciones en la ecuación anterior se obtiene:
La última ecuación es la fórmula iterativa para encontrar la curva solución de cualquier ODE orden 1.
n
n
n
x a
dx
d f a
n
x a
dx
d f a
x a
dx
d f a
f x f a
2
2
2
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA NUMÉRICA DE EULER
x a Error dx
df a f x f a ( )
( ) ( ) ( )
dt
dit it it t t
dx
df x f x f x x x
x x dx
df x f x f x
n n n n n
n n n n n
n n
n n n
1 1
1 1
1 1
Dado el siguiente circuito calcular la i(t)
Aplicando la Ley voltajes (mallas) de Kirchhoff, se obtiene:
En la ecuación anterior la fuente tiene signo positivo y las cargas
negativo.
En la resistencia se utiliza la Ley de Ohm.
El voltaje de la bobina está dado por:
Sustituyendo en la ecuación 1 se obtiene.
La ecuación anterior se puede resolver usando la siguiente ecuación
Solo si cumple con los requisitos de ser una ecuación Diferencial
Ordinaria Lineal, de Orden 1 y estar acomodada en su forma estandar
1
2
3
v (^) R ( t ) iR ( t ) R
Circuito RL en CA usando
ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden
RL CA EDO.xlsx
RL CA EDO.mp
i(t) Ce e e f(t) dt
p(t)dt p(t)dt p(t)dt
()
0
0
v v v t
v v v
v
R C
R C
dt
di t v t L
L L
( ) ( )
vt v sen t
dt
di t i t R L p
L R ^ ()^
Considerando que i (^) L e i (^) R tienen la misma trayectoria ( son iguales)
Derivando y reacomodando la ecuación 2 se obtiene:
Comparando la ecuación 5 con la ecuación 4 se ve que tienen la misma
forma.
Entonces se puede utilizar la ecuación 3 para obtener la solución:
PROCESO DE SOLUCIÓN
Usando la fórmula para solucionar se obtiene:
Sustituyendo en la ecuación solución
() ( )
( ) sen t L
V it L
R
dt
d it p
t L
R dt L
R p(t)dt
i(t) Ce e e f(t)dt
p(t)dt p(t)dt p(t)dt
^
e sen t dt L
V i(t) Ce e
sen t dt L
V i(t) Ce e e
t L
R Lt p
R t L
R
Lt p
R t L
R t L
R
( )
( )
4
()() ()
( ) pt it f t dt
d it
5
ptit f t dt
d it
() ( )
()
() ( )
()
DividiendoentreL
() ( )
()
sen t L
V it L
R
dt
dit
sen t L
V it L
R
dt
dit
L
L
Rit Vsen t dt
dit L
p
p
p
sen t L
V
it L
R
dt
d it p
