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LABORATORIO DE COMPETENCIA PERFECTA
1. En un mercado de competencia perfecta se da las funciones de oferta y demanda
respectivamente como sigue:
Q
O
= 150 + 3 p y
Q
d
= 250 – 2 p
. Así mismo se sabe que se
tiene una función de costos: C T =Q
2
+ 2 Q+ 10
Se pide:
a) Calcule que cantidad producirá para maximizar beneficios.
*Precio de equilibrio
Q
O
=Q
d
150 + 3 P= 250 – 2 P
5 P= 100
P= 20
*Calculamos el CMg
CMg=
∂ ( CT )
∂ Q
CMg=
∂ (Q
2
+ 2 Q+ 10 )
∂ Q
CMg= 2 Q+ 2
*Aplicamos la maximización de beneficios
P=CMg
20 = 2 Q+ 2
18 = 2 Q
Q= 9
b) Halle que beneficio obtendrá.
B=IT −CT
B= 20 ∗ 18 −( 2 Q+ 2 )
B= 180 − 2 ( 9 )− 2
B= 160
c) Represente gráficamente el equilibrio de mercado.
P OFERTA DEMANDA
2 156 246
4 162 242
6 168 238
8 174 234
10 180 230
12 186 226
14 192 222
16 198 218
18 204 214
20 210 210
22 216 206
24 222 202
26 228 198
140 160 180 200 220 240 260
0
5
10
15
20
25
30
EQUILIBRIO DE MERCADO
OFERTA
DEMANDA
Q
P
d) Calcule y represente gráficamente el punto de nivelación
CMe=
CT
Q
CMe=
Q
2
+ 2 Q+ 10
Q
CMe=Q+ 2 +
Q
CMe =
∂ ( CMe)
∂Q
CMe =
(
Q+ 2 +
Q
)
∂ Q
CMe = 1 −
Q
2
¿ CMe = 0
Q
2
Q=−3,16 ;Q=3,
*reemplazando en cme:
CMe=3,16+ 2 +
CMe=8,
a) Calcule que cantidad producirá para maximizar beneficios.
***** COSTO MARGINAL
CMg=
∂ ( CT )
∂ Q
CMg=
500 + 80 Q
2
+ 4 Q
3
∂ Q
CMg= 12 Q
2
+ 160 Q
*PRINCIPIO DE MAXIMIZACIÓN
P=CMg
1460 – 15 Q= 12 Q
2
+ 160 Q
12 Q
2
+ 175 Q− 1460 = 0
Q=−20,51; Q=5,
*REEMPLAZAMOS Q EN PRECIO
P= 1460 – 15 Q
P= 1460 − 15 ( 5,93)
P=1371,
b) El beneficio máximo que obtendrá
B=IT −CT
B=P∗Q−
500 + 80 Q
2
+ 4 Q
3
B=5,93∗1371,05− 500 − 80 ( 5,93)
2
3
B=8130,33−4147,
B=3983,
c) Hallar el punto de cierre y graficar
*COSTO VARIABLE MEDIO
CVMe=
80 Q
2
+ 4 Q
3
Q
CVMe= 80 Q+ 4 Q
2
*PUNTO DE CIERRE
CMg=CVMe
12 Q
2
+ 160 Q= 80 Q+ 4 Q
2
8 Q
2
+ 80 Q= 0
8 Q ( Q+ 10 )= 0
Q=− 10 ; Q= 0
*REEMPLAZANDO
CVMe= 80 ( 0 ) + 4 ( 0 )
2
CVMe= 0
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
200
400
600
800
1000
0
PUNTO DE CIERRE
CVMe
Q
P
4. Dado: CT =0.2Q
2
+ 5 Q+ 30.
Si la empresa se enfrenta a un precio de 6
a) ¿Qué cantidad debe vender para maximizar?
*COSTO MARGINAL
CMg
∂( CT )
∂ Q
CMg=
0.2 Q
2
+ 5 Q+ 30
∂ Q
CMg=0,4 Q+ 5
*PRINCIPIO DE MAXIMIZACIÓN
P=CMg
6 =0,4 Q+ 5
Q=2,
b) ¿Qué beneficio se obtiene a este precio?
B=IT −CT
B=P∗Q−
0.2Q
2
+ 5 Q+ 30
B= 6 ∗2,5−0.2 ( 2,5)
2
B= 15 −43,
B=−28,
5. Una empresa competitiva tiene una función de costos totales dada por:
20 40 60 80 100 120 140 160 180
0
10
20
30
40
50
60
70
80
50
EQUILIRBIO DE MERCADO
DEMANDA
OFERTA
Q
P
d) Calcule y represente gráficamente el mínimo de explotación.
*COSTO VARIABLE MEDIO
CVMe=
CV
Q
CVMe=
Q
3
− 6 Q
2
+ 50 Q
Q
CVMe=Q
2
− 6 Q+ 50
*MINIMO DE EXPLOTACIÓN
Mín .de explotación=
∂( CVMⅇ)
∂Q
Mín .de explo .=
Q
2
− 6 Q+ 50
∂Q
Mín de explotación= 2 Q− 6
*IGUALAMOS A 0
2 Q− 6 = 0
2 Q= 6
Q= 3
*REEMPLAZAMOS Q EN CVMe
CVMe=Q
2
− 6 Q+ 50
CVMe= 3
2
CVMe= 9 − 18 + 50
Punto de cierre= 41
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
10
20
30
40
50
60
41
PUNTO DE CIERRE
Q
P
e) Calcule y represente gráficamente el punto de nivelación.
*COSTO MEDIO
CMe=
CT
Q
CMe=
Q
3
− 6 Q
2
+ 50 Q+ 12
Q
CMe=Q
2
− 6 Q+ 50 +
Q
*COSTO MEDIO MARGINAL
CMe
min.
∂( CMe )
∂ Q
CMe
min.
∂(Q
¿ 2 − 6 Q+ 50 +
Q
∂Q
CMe
min.
= 2 Q− 6 −
Q
2
*IGUALAMOS EL
CMe
min.
2 Q− 6 −
Q
2
2 Q
3
− 6 Q
2
Q
2
2 Q
3
− 6 Q
2
Q=3.
*REEMPLAZAMOS EN CMe
CMe=Q
2
− 6 Q+ 50 +
Q
CMe=( 3,82)
2
CMe=44,
Reemplazamos 20:
CM g
'
CM g
'
(máximo)
Reemplazamos 5:
CM g
'
CM g
'
(mínimo)
Rpta :Con 20 unidades se maximizaráel beneficio.
b) Halle qué beneficio obtendrá.
π=IT −CT
π=( P∗Q)−( 2 Q
3
− 75 Q
2
+ 1000 Q+ 361 )
π=( 400 ∗ 20 )−( 2 ( 20 )
3
2
π= 8000 − 6361
π= 1639
Rpta :Se obtendrá unbeneficio de 1639.
Suponga que la demanda varía pasando a ser Q d
= 17328 − 12 P
c) Calcule qué cantidad producirá para maximizar beneficios.
Precio de equilibrio
Q
o
=Q
d
20 P− 2000 = 17328 − 12 P
19328 = 32 P
P= 604
Igual con la función de costo marginal con el precio.
CMg=
∂ CT
∂ Q
CMg=
∂ ( 2 Q
3
− 75 Q
2
+ 1000 Q+ 361 )
∂ Q
CMg= 6 Q
2
− 150 Q+ 1000
CMg=P
6 Q
2
− 150 Q+ 1000 = 604
6 Q
2
− 150 Q+ 396 = 0
Q
2
− 25 Q+ 66 = 0
Q= 22 o Q= 3
CM g
'
= 6 Q
2
− 150 Q+ 1000
CM g
'
= 12 Q− 150
Reemplazamos 22:
CM g
'
CM g
'
= 114 ( máximo)
Reemplazamos 3:
CM g
'
CM g
'
=− 114 ( minimo)
Rpta :Con 22 unidades se maximizará el beneficio.
d) Halle qué beneficio obtendrá.
π=IT −CT
π=( P∗Q)−( 2 Q
3
− 75 Q
2
+ 1000 Q+ 361 )
π=( 604 ∗ 22 )−( 2 ( 22 )
3
2
π= 13288 − 7357
π= 5931
7. Una empresa competitiva tiene una función de costos totales como la siguiente:
CT =
Q
3
− 10 Q
2
+ 80 Q+ 648
a) Calcule su mínimo de explotación
*COSTO VARIABLE MEDIO
CVMe=
CV
Q
CVMe=
Q
3
− 10 Q
2
+ 80 Q
Q
CVMe=
Q
2
− 10 Q+ 80
*PUNTO DE CIERRE
Mín .de explotación=
∂( CVMⅇ)
∂Q
Mín .de explotación=
(
Q
2
− 10 Q+ 80
)
∂Q
Mín de explotación=
2 Q
*IGUALAR A 0
2 Q
2 Q
Q= 15
*REEMPLAZAMOS Q EN LA FUNCIÓN DE CVME
CVMe=
Q
2
− 10 Q+ 80
CVMe=
2
CVMe= 75 − 150 + 80
Punto de cierre= 5
4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
50
100
150
200
250
300
143
PUNTO DE NIVELACION
CTMe
Q
P
d) Calcule la cantidad que producirá esa empresa, así como los beneficios que
obtendrá, si el precio de equilibrio existente en el mercado del bien que fabrica es de
p∗¿ 4
*COSTO MARGINAL
CMg=
∂ ( CT )
∂ Q
CMg=
(
Q
3
− 10 Q
2
+ 80 Q+ 648
)
∂ Q
CMg=Q
2
− 20 Q+ 80
P=CMg
4 =Q
2
− 20 Q+ 80
Q
2
− 20 Q+ 76 = 0
Q=5,10 ; Q=14,
8. Una empresa que trabaja en un mercado de competencia perfecta tiene una función de
costos totales:
CT = 2 Q
3
− 72 Q
2
+ 964 Q+ 10580
El precio de equilibrio en el mercado en el que trabaja es P= 1114
a) Calcule que cantidad producirá para maximizar beneficios
Maximización de Beneficios :P=CMg
P= 1114
CMg=
∂ ( 2 Q
3
− 72 Q
2
+ 964 Q+ 10580 )
∂(Q)
CMg= 6 Q
2
− 144 Q+ 964
P=CMg
1114 = 6 Q
2
− 144 Q+ 964
0 = 6 Q
2
− 144 Q− 150
Q= 25 ∧ Q=− 1
Q= 25
b) Halle que beneficio obtendrá y represente gráficamente el equilibrio de la empresa
π=IT −CT
π=(P∗Q)−( 2 Q
3
− 72 Q
2
+ 964 Q+ 10580 )
π=
− 2 Q
3
+ 72 Q
2
− 964 Q− 10580
π= 27850 − 2 Q
3
+ 72 Q
2
− 964 Q− 10580
π=− 2 Q
3
+ 72 Q
2
− 964 Q+ 17270
π=− 2 ( 25 )
3
2
π= 6920
Gráfica:
CTM =
2 Q
3
− 72 Q
2
+ 964 Q+ 10580
Q
CTM = 2 Q
2
− 72 Q+ 964 +
Q
CVM =
2 Q
3
− 72 Q
2
+ 964 Q
Q
CVM = 2 Q
2
− 72 Q+ 964
CMg= 6 Q
2
− 144 Q+ 964
0 2 4 6 8 10 12
0
2
4
6
8
10
12
Competencia Perfecta
CTM CVM CMg
Q
P
c) Calcule gráficamente el mínimo de explotación
CVMe=CMg
2 Q
2
− 72 Q+ 964 = 6 Q
2
− 144 Q+ 964
0 = 4 Q
2
− 72 Q
Q= 18 ∧ Q= 0
Q= 18
b) Halle qué beneficio obtendrá.
B=IT −CT
B=
P∗Q
Q
3
−52,5Q
2
+ 1050 Q+ 6750
B=( 852 ∗ 33 )−( 33 ¿¿¿ 3 + 52 , 5 ( 33 )
2
− 1050 ( 33 )− 6750 )
B
Max.
Rpta :Se obtendrá unbeneficio de 7951,5.
c) Represente gráficamente los equilibrios del mercado
Cantidad de equilibrio
Q
O
= 2 P− 704
Q
O
Q
O
Q
O
Q
d
= 5260 − 5 P
Q
d
Q
d
Q
d
985 990 995 1000 1005 1010 1015
848
849
850
851
852
853
854
855
EQUILIBRIO DE MERCADO
OFERTA
DEMANDA
Q
P
d) Calcule y represente gráficamente el mínimo de explotación.
Mímimo de explotación=
∂( CVMⅇ)
∂Q
Mímimo de explotación=
Q
2
−52,5Q+ 1050
∂ Q
Mímimo de explotación= 2 Q−52,
Igualar a 0
2 Q−52,5= 0
2 Q=52,
Q=26.
Reemplazamos
2
Punto de cierre=360,
25.6 25.8 26 26.2 26.4 26.6 26.8 27
361
[VALOR DE
Y]
MÍNIMO DE EXPLOTACIÓN
CVme
Q
P
e) Calcule y represente gráficamente el punto de nivelación.
Hallar el mínimo del CTme e igualar a 0
CMe=Q
2
−52,5 Q+ 1050 +
Q
CMe
Mín
∂(Q
2
−52,5 Q+ 1050 +
Q
∂ Q
CMe
Mín
= 2 Q−52,5−
Q
2
Igualar a 0 el min CTme Beneficio es 0
2 Q−52,5−
Q
2
2 Q
3
−52,5Q
2
Q
2
2 Q
3
−52,5 Q
2
Las soluciones son:
X = 30
X =
+i
√
π=IT −CT
π=(P∗Q)−(Q
3
− 6 Q
2
+ 50 Q+ 12 )
π=( 50 ∗ 4 )−(( 4 )
3
2
π= 200 − 180
π= 20
c) Represente el equilibrio del mercado
Para gráfico del mercado:
Q
D
= 150 −P ; Q
O
=− 50 + 3 P
Q
D
Q
D
Q
O
Q
O
Para gráfico de empresa:
CMg= 3 Q
2
− 12 Q+ 50
CVMe=
Q
3
− 6 Q
2
+ 50 Q
Q
CVMe=Q
2
− 6 Q+ 50
CTMe=
Q
3
− 6 Q
2
+ 50 Q+ 12
Q
CTMe=Q
2
− 6 Q+ 50 +
Q
y
iv
− 5 y
ìi
r
4
− 5 y
2
( r
2
2
− 5 r
2
u
2
− 5 u+ 4 = 0
( u− 4 ) ( u− 1 )= 0
r
2
=u
u= 4 ;u= 1
Volviendo a la variable principal:
r
2
= 4 ; r
2
r = 4 ; r =− 4 ; r= 1 ; r− 1
CFS=
{ e
2 x
, e
− 2 x
, e
x
, e
−e
}
Y
g
=C
1
e
2 x
+C
2
e
− 2 x
+C
3
e
x
+C
4
e
−x
y
i
2
y=x
2
dy
dx
2
y =x
2
Cumple lacondición q ( x ) ≠ 0 ; la ecuacionno es exacta.
p
x
= 3 x
2
;q
x
=x
2
→ Aplicamos el siguiente mètodo :
y=e
− ∫
p ( x) dx
[
e
∫
p (x )dx
∗q ( x ) dx +c
]
y=e
− ∫
3 x
2
dx
[
e
∫
3 x
2
dx
∗x
2
dx +c
]
y=e
−x
3
[∫
e
x
3
∗x
2
dx+ c
]
y=e
−x
3
[
e
x
2
]
y=e
−x
3
1
e
x
2
−x
3
c ; c=cte
Aplicamos sustitución:
u=x
3
→ du= 3 x
2
