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− →
lím h(x^ )
x 0
lím h(x^ )
x 0
− →
lím x^0
x 0
− →
Universidad Nacional de La Plata
Facultad de Ciencias Médicas
Cátedra Ciencias Exactas
Trabajos Prácticos de Matemática
Ejercicios resueltos de Límite – Continuidad – Derivadas – Máximos
y Mínimos.
Cálculo de valor del límite de una función.
1- Se tiene la siguiente función:
2
x si x
h x x si x
x si x x
−^ >
<^ ≤
Calcular si existen los siguientes límites
a) ( )
x 0
lím h x →
b) ( )
x 1
lím h x →
c) ( )
x 2
lím h x →
Resolución:
a) Para determinar el valor límite de la función cuando x tiende a 0 (x→0) , hay que evaluar
los límites laterales (por derecha (x→ 0
) y por izquierda (x→ 0
- )). Si los límites laterales son
iguales, entonces se concluye que existe el límite de la función cuando x→0.
Este límite se evalúa sobre la parte de la función que está definida para los valores de x < 0,
que están en el entorno cercano de 0: h(x) = - x
x
2 si 0 < x ≤ 2
8 - x si x > 2
Ciencias Exactas. Matemática
→
lím h(x^ )
x 0
→
lím h(x^ )
x 0
lím x^0
2
x 0
→
− →
lím h(x^ )
x 0
lím h(x)^0
x 0
→
lím h(x^ )
x → 0
lím h(x)^0
x 0
→
− →
lím h(x^ )
x 1
lím h(x^ )
x 1
− →
lím x^1
2
x 1
− →
Este límite se evalúa sobre la parte de la función que está definida para los valores de x > 0;
que están en el entorno cercano de 0: h(x) = x
2
Por lo tanto:
Se concluye que, como los límites laterales son iguales, entonces:
Ǝ y su valor es
Para resolver los incisos b) y c) se procede de la misma manera:
b) Para determinar el valor límite de la función cuando x tiende a 1 (x→1) , hay que
evaluar los límites laterales (por derecha (x→ 1
) y por izquierda (x→ 1
laterales son iguales, entonces se concluye que existe el límite de la función cuando x→1.
Este límite se evalúa sobre la parte de la función que está definida para los valores de x < 0,
que están en el entorno cercano de 1: h(x) = x
2 :
Nota: en todos los casos, para calcular el límite se reemplaza el valor del punto
(en este caso 0), en la función. El valor obtenido es el valor del límite para x
tendiendo a ese punto. Si al reemplazar por el punto se obtiene una
indeterminación matemática (0/0 , ∞ / ∞ , 0. ∞ , 0
0 ) hay que trabajar
algebraicamente sobre la función (sin alterarla) para lograra simplificaciones que
permitan salvar la indeterminación.
Ciencias Exactas. Matemática
− →
lím h(x^ )
x 2
lím h(x^ )
x 2
→
lím h(x^ )
x → 2
Por lo tanto:
Se concluye que, como los límites laterales son distintos, entonces:
Ǝ (no existe el límite de la función para x→2)
Gráfico h(x) :
x
Ciencias Exactas. Matemática
Cálculo de límites
1- Calcular
2
3 2
lim x 5 6
x
→ x x
Si aplicamos el límite, se tiene una indeterminación de la forma
, para evitarla se
descompone en factores el numerador y el denominador, simplificamos y por último
sustituimos x por 3: En el numerador desarrollamos la diferencia de cuadrado:
2 x − 9 = x − 3. x + 3 y en el denominador obtenemos las raíces de la función cuadrática
aplicando la fórmula resolvente.
2 4
b b ac x a
2
3 2 3 3
9 3.^33
x (^) 5 6 x (^) 3. 2 x 2 1
x x^ x x lím lím lím → (^) x x → (^) x x → x
− −^ + +
2- Calcular 3
x 3
x lím → x
Si aplicamos el límite, se tiene una indeterminación de la forma
; para resolverlo en
este caso se multiplica el numerador y se divide por la expresión conjugada del numerador
(racionalización), se simplifica y luego se sustituye x por 3:
( ) (^ )
2
3 3 3 3 3
x (^) 3 x (^) 3. 1 2 x (^) 3. 1 2 x (^) 3. 1 2 x 1 2 4
x x x x x x x lím lím lím lím lím → (^) x → (^) x x → (^) x x → (^) x x → x
3- Calcular
(^2 )
0 0
x x
x (^) x x lím lím → (^) x → x
Si aplicamos el límite, se tiene una indeterminación de la forma
.Para evitarla se saca
factor común x en el numerador y se lo cancela con x del denominador
(^2 )
0 0
x x
x (^) x x lím lím → (^) x → x
2
0 0 0
x x x
x x x^ x lìm lím lím x → (^) x → (^) x →
Ciencias Exactas. Matemática
Aplicando la definición
1- f ( 2 ) = 4
( ) ( ) ( ) (^2 22 2) ( ) ( )
x x x x 2. 2 4 4
x
lím f x lím f x lím f x lím existe límite de f x cuando x tiende a y es igual a
x x
→ +^ →−^ → →
2
x 4
lím f x f →
Se concluye que f ( x ) no es continua en x = 2 porque no se cumple la condición 3; como
existe ( )
2
x 4
lím f x →
= ; la discontinuidad es evitable.
2- Estudiar la continuidad de la función en el punto x = 1
x si x f x x si x
^ +^ ≤
−^ >
Verificar las condiciones de continuidad:
1- la función está definida en el punto x = 1; f (1) = 4
2- se estudia la existencia de límite de f ( x )en x =1; se calculan los límites laterales:
1 1
x x
lím f x lím x → −^ →−
1 1
x x
lím f x lím x → +^ →+
Los límites laterales son distintos en consecuencia, no existe límite en f ( x )
cuando x→1, es decir Ǝ 1
x
lím f x →
1
x
f lím f x →
Por lo tanto la función tiene una discontinuidad inevitable en x=1 porque no existe el límite
de la función en ese punto.
3- Calcular el valor k para que la siguiente función sea continua en x = 2
2 4 ; 2 ( ) (^2)
x si x f x (^) x
k
Resolución: Para que f ( x ) sea continua en x = 2, se debe cumplir:
Ciencias Exactas. Matemática
1.- que exista f (2)
2.- que exista 2
( ) x
lím f x →
3.- que los valores obtenidos en 1 y 2 ambos puntos sean iguales; 2
x
f lím f x →
Evaluamos en primer lugar el
2
( ) x
lím f x →
2
2 2 2
x x (^) 2 x 2
x x x lím f x lím lím → → (^) x → x
Por lo tanto para que f ( x )sea continua en x = 2 se debe cumplir:
1- f (2) = 4
2
x
lím f x →
2
x
f lím f x →
Como k es el valor que toma la función cuando x=2, es decir:
f(2) = k
Entonces, para que la función sea continua en x = 2 k debe valer 4.
Derivada por definición y por reglas
1- Aplicando la definición, calcular la derivada de la siguiente función:
x f x x
función derivada se define como:
0
x 1 1
x x x f x lím x ∆ → x x x
0
x ( 1).( 1).
x x x x x x f x lím ∆ → x x x x
2 2
0
x ( 1).( 1).
x x x x x x x x x f x lím ∆ → x x x x
Ciencias Exactas. Matemática
ln x
x
(lnx)
( 1 / 2 x).lnx− x. 1 /x
c) f(x) =
f’ (x) =
Derivadas aplicando la regla de la cadena
1- f ( ) x = sen ln (1 −3 ) x
´( ) cos ln (1 3 ).. .( 3)
- ln(1 3 )^1
f x x x x
5 f ( ) x =cos (5 ) x
4 f ′( )^ x = 5.cos (5 ).( x − sen (5 )).5 x
4 f ′( )^ x = −25. sen (5 ).cos (5 ) x x
2 f ( ) x = sen (cos(2 )) x
f ′ ( ) x = 2. sen (cos(2 )).cos(cos(2 )).( x x − sen (2 )).2 x
2 (2 3 ( ) cos( )
sen x f x x
[ ]
2 2
2
cos(2 3).(4 ).cos( ) (2 3).( ( )) ( )
cos( )
x x x sen x sen x f x
x
2 3
2
x f x x
( )
2 2 2 2
2 2 2
x x x x x f x x (^) x
6- f ( ) x = sen ln(1 −3 ) x
( ) (^ )
( ) cos ln(1 3 ).. .( 3)
- ln 1 3 1 3
f x x x x
aplicamos : derivada de un cociente , derivada de √ x y
derivada de ln x.
Ciencias Exactas. Matemática
Aplicación de derivada: Máximos y Mínimos
Para calcular si una función continua tiene máximos o mínimos relativos, se determinan
primero los puntos críticos o extremos relativos de la función; para esto se realiza la
derivada primera de la función f ( x ); luego se iguala a 0 y por último se determinan las
raíces.
Ejercicios:
1- Determinar los puntos críticos relativos de la siguiente función
2
x f x x
2
2 2
x x x f x x
2 2
2 2
x x f x x
2 2 2 2 2.( x + 1) − 4 x = 0.( x + 1) = 0
2 2
2 2
2 2
2
2 2 1 cos : (^) c (^1) c 1
x x
x x
x x
x x que hay dos puntos críti x y x
Reemplazando en f ( x );
2
f = = ⇒ Pc
y 2
f Pc
La f ( x )tiene dos valores críticos (1;1) y (-1;-1).
Determinar , si existen, los máximos y mínimos relativos:
Para determinar si en estos puntos críticos existe máximos o mínimos relativos, se calcula la
derivada segunda de f ( x ). Luego se evalúa la derivada segunda en los puntos críticos para
ver si son máximos o mínimos relativos según el siguiente criterio:
- Si f ‘’(x 0 ) <0 → la función f(x) tiene un máximo relativo en x (^0)
- Si f ‘’ (x 0 ) > 0 → la función f(x) tiene un mínimo relativo en x (^0)
( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 (^ 1)^ (^ 1)
x x x x x f x
x x^ x
+ +^ +
Ciencias Exactas. Matemática
C ′ t = ⇒ − t = ⇒ t = + =
Se realiza la derivada segunda para encontrar el tiempo de la máxima concentración.
( )
2 3 2 3 2 3
3 4
t t t t t
C t t
+ − ^ + −
( )
2 3 2 3 2
3 4
C
− + − ^ + −
Conclusión: la concentración del medicamento en la sangre tiene un valor máximo a las 2h
38 min.
Autores: Ing. Angélica Hlinka. Prof. Marcelo Lucioni
Quím. Silvana Peirano
Ciencias Exactas. Matemática
